●周海軍(鎮(zhèn)海中學浙江寧波315200)

函數(shù)與方程思想

●周海軍(鎮(zhèn)海中學浙江寧波315200)

1 知識內容

函數(shù)的思想是用運動和變化的觀點分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.方程的思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.

函數(shù)與方程是2個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系.方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)－y=0通過方程進行研究.許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決.

2 命題分析

函數(shù)與方程思想是中學數(shù)學核心數(shù)學思想之一，在高中數(shù)學中的地位十分重要，也是高考考查的重點之一.在歷年高考中，函數(shù)與方程相關的試題一直占有相當大的份量.在高考試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題，涉及到的知識塊包括高中所有知識，如三角、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何等.

在近幾年的高考中，函數(shù)與方程思想的考查主要表現(xiàn)在2個方面:一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式，構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質，轉化為對方程的研究.

2 典題剖析

例1已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x2－4ax+2a+12(其中a∈R)的值都非負，求關于x的方程的根的范圍.

分析由二次函數(shù)的值都非負，知Δ≤0，可得實數(shù)a的取值范圍為.而關于x的方程的根可以轉化為函數(shù)g(a)=(a+2)(|a－1|+2)在上的值域問題，其解決問題的基本方法是去絕對值進行分類討論:當時，

當1≤a≤2時，原方程化為

因此，所求x的取值范圍即為

點評在此問題的解決中直接用二次函數(shù)的最值問題，同時也用到了方程與函數(shù)之間的轉化.特別是方程有解問題往往通過分離系數(shù)轉化為函數(shù)的值域問題.

例2已知f(x)=ax2+bx+1(其中a＞0)，設方程f(x)=x的2個實數(shù)根為x1和x2，如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求實數(shù)b的取值范圍.

分析1設g(x)=f(x)－x=ax2+(b－1)x+1，由題意知

另一種解題思路是將a，b直接轉化為x1，x2的函數(shù)關系式:

點評在解法1中運用條件得出變量a，b的關系，在求b的范圍中運用方程消元的思想，消去變量a即可得到b的取值范圍.在解法2中尋找變量a，b與x1，x2的關系，得到b與初始變量x1，x2的表達式，利用函數(shù)求值域的方法求b的取值范圍.

例3設a∈R，若x＞0時均有［(a－1)x－1］·(x2－ax－1)≥0，則a=______.

分析從填空題的結構上看，可以從特殊值代入再驗證的方法，如當x=2時，

圖1

另外，也可以將主變量變?yōu)閍，從而有以下的解法:

點評事實上，上述不等式等價于

圖2

它們的圖像都是直線，剛好相交于x軸上的點B，則

例4已知數(shù)列{an}和{bn}滿足(其中n∈N*)，若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2.

1)求an，bn.

分析此題為2014年浙江省數(shù)學高考題.第1)小題利用條件得到.由{an}為等比數(shù)列，得an=2n，但要注意對q＜0的否定，進而可得bn=n(n+1).

第2)小題本質上求Sn的最大項.首先利用分組求和得到

數(shù)列{Sn}的最大項則從數(shù)列{cn}的正項中分析，注意到c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0，可得當n≥5時，

又dn≤d5≤0，即當n≥5時，cn＜0.因此，對任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k=4.

點評當n≥5時，cn＜0的證明上述的證法較為巧妙，如果轉化為證2n＞n(n+1)，只要分析dn=2n－n(n+1)的增長規(guī)律即可，或用導數(shù)、數(shù)學歸納法、二項式定理等解決，要注意數(shù)列單調性的常用轉化方法.

例5如圖3，與圓(x+1)2+ y2=1相切的直線l:y=kx+t交橢圓于點M，N.若橢圓上一點C滿足，求實數(shù)λ的取值范圍.

圖3

分析根據(jù)直線l與圓(x+ 1)2+y2=1相切，得到k，t的關系式

從而2kt=t2－1，且有t≠0.

基本思想是找到k，t，λ之間的關系式，利用方程思想消元，得到λ與k或λ與t的函數(shù)關系式.把y=kx+t代入并整理得

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則

從而Δ=－48(t2－16k2－12)=

恒成立.

又因為點C在橢圓上，所以

因此λ的取值范圍為(－1，0)∪(0，1).

點評參數(shù)的范圍問題往往構建幾個參數(shù)之間的方程或不等式，而問題的解決往往需要用到方程中的消元思想與函數(shù)中求值域的方法，在解決過程中要注意定義域的要求.在此題中還要注意Δ的使用，在此問題中由于圓在橢圓內，從而當直線與圓相切時，直線與橢圓必相交.

3 精題集萃

A.x1+x2＞0，y1+y2＞0

B.x1+x2＞0，y1+y2＜0

C.x1+x2＜0，y1+y2＞0

D.x1+x2＜0，y1+y2＜0

2.設Sn是公差為d(其中d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是( )

A.若d＜0，則數(shù)列{Sn}有最大項

B.若數(shù)列{Sn}有最大項，則d＜0

C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N+均有Sn＞0

工藝過程：主反應鍋中加入A相攪拌，加熱至70～75 ℃，加入混合好的B相，攪拌溶解均勻后加入C相，攪拌溶解。冷卻至40～45 ℃時加入D相，混合均勻，繼續(xù)冷卻至30～35 ℃，加入E相。攪拌均勻，至25～30 ℃時加入F相、G相，混合均勻。

D.若對任意n∈N+均有Sn＞0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

3.設a，b，c為實數(shù)，f(x)=(x+a)(x2+bx+c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).記集合S={x|f(x}=0，x∈R}，T={x|g(x)=0，x∈R}.若|S|，|T|分別為集合S，T的元素個數(shù)，則下列結論不可能的是( )

A.|S|=1且|T|=0 B.|S|=1且|T|=1

C.|S|=2且|T|=2 D.|S|=2且|T|=3

4.已知函數(shù)f(x)=|lgx|.若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，

則a+2b 的取值范圍是______.

6.對于滿足0≤p≤4的實數(shù)p，使x2+px＞4x+p－3恒成立的x 的取值范圍是______.

7.已知實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，且a+b+c=m(其中m＞0)，則b 的取值范圍______.

8.已知集合M是同時滿足下列2個性質的函數(shù)f(x)的全體:①f(x)在其定義域上是單調增函數(shù)或單調減函數(shù);②在f(x)的定義域內存在區(qū)間［a，b］，使得f(x)在［a，b］上值域是.

1)判斷函數(shù)y=－x3是否屬于集合M.若不是，請說明理由;若是，請找出區(qū)間［a，b］.

9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，(其中n∈N*)，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式.

參考答案

8.解1)g(x)=－x3在R上為減函數(shù)，在定義域上是單調減函數(shù).

若g(x)∈M，則當x∈［a，b］時，

9.解由{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，且，知

經檢驗，當n=1時結論也成立.故數(shù)列{an}的通項公式為

10.解依題意，直線OP的方程為y=kx.設點P(x0，kx0)，由點P在橢圓上，知

因為a＞b＞0，kx0≠0，所以

由|AP|=|OA|，A(－a，0)，得