●馮海容(黃巖中學浙江臺州318020)

分類討論思想

●馮海容(黃巖中學浙江臺州318020)

1 知識內(nèi)容

1.1 分類討論的概念

分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決.這種思想方法，我們稱之為“分類討論思想”.分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設(shè)條件的解題策略.

1.2 產(chǎn)生分類討論的主要原因

1)由數(shù)學概念引起的分類討論:如絕對值定義、等比數(shù)列的前n項和公式等;

2)由數(shù)學運算要求引起的分類討論:如集合運算中有無空集、偶次方根非負、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式2邊同乘一實數(shù)對不等號方向的影響等;

3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論;

4)由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論;

5)由參數(shù)的變化引起的分類討論:某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法;

6)其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題、實際應(yīng)用題等.

產(chǎn)生分類討論的原因就是分類討論的外在表現(xiàn)形式.

1.3 運用分類討論思想解題的基本步驟

1)確定討論對象和確定研究的全域;

2)對所討論的問題進行合理的分類(分類時要做到不重復(fù)、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級)，確定分界點和分界線;

3)根據(jù)分界點和分界線逐類討論，逐步解決;

4)歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論.

其關(guān)鍵是找出分類標準，確定分界點和分界線.

1.4 合理利用其他數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)簡化甚至避免分類討論

因為分類討論比較繁瑣，特別是分類討論中又有分類討論時，思維嚴謹性要求高，容易失誤，所以如何簡化甚至避免分類討論就顯得非常必要.簡化和避免分類討論的方法有:

1)數(shù)形結(jié)合.利用圖像、幾何圖形的直觀性和對稱特點有時可以簡化甚至避開討論.

2)變更主元.分離參數(shù)、變參置換，構(gòu)造以討論對象為變量的函數(shù)，解題時可避開討論.

3)直接回避.如運用反證法、消參法等方法有時可以避開繁瑣討論.

4)合理運算.如利用函數(shù)奇偶性、變量的對稱輪換以及公式的合理選用等有時可以簡化甚至避開討論.

2 命題分析

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想在簡化研究對象、發(fā)展思維方面起著重要作用.因此，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位，是歷年高考的重點.

分類討論思想往往結(jié)合具體的數(shù)學知識(如函數(shù)、不等式、解析幾何等)進行考查;內(nèi)容上五彩繽紛，各種產(chǎn)生分類討論的原因均有出現(xiàn);從形式上看，近幾年從含一個參數(shù)的討論慢慢轉(zhuǎn)到含多個參數(shù)的討論，從簡單的分類討論轉(zhuǎn)到需運用邏輯、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學本質(zhì)的分類討論.解決分類討論問題首先要從落實產(chǎn)生分類討論的數(shù)學知識，其次要加強運用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想和數(shù)學本質(zhì)來簡化分類討論.

3 典題剖析

3.1 分類討論首先要選定討論的對象及角度

因為分類討論往往有多個對象(如字母、變量、函數(shù)等)，討論的角度也多種情況，選擇不同的討論對象及角度，討論的難易程度大不相同，所以要選定或確定討論的對象及角度.

例1已知a＞0，b∈R，函數(shù)f(x)=4x2－1，g(x)=－2x+1.當0≤x≤1時，函數(shù)h(x)=af(x)+bg(x).

1)證明:函數(shù)h(x)的最大值為|2a－b|+a;

2)證明:h(x)+|2a－b|+a≥0.

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第22題改編)

分析第1)小題的分類討論是確定的，或利用二次函數(shù)的性質(zhì)知:h(x)的最大值為max{h(1)，h(0)}，即max{3a－b，b－a}.

當2a－b≥0時，

當2a－b＜0時，

故函數(shù)h(x)的最大值為|2a－b|+a.

第2)小題涉及的變量有x，a和b，關(guān)于變量x是二次，而關(guān)于變量a和b是一次，故應(yīng)從a和b的角度進行分類討論:

注當分類討論涉及多個變量時，且對各個變量都沒有特殊要求時，應(yīng)根據(jù)條件選擇一個變量作為分類討論的對象.真正做到分類討論的知識背景清楚，分類討論的依據(jù)明白.

3.2 分類討論的關(guān)鍵

分類討論的關(guān)鍵是制定分類標準，確定分界點.當分類討論需并列多次討論時，應(yīng)找出各次分類的分界點，再制定分類標準;當分類討論需多層討論時，應(yīng)根據(jù)題意逐層討論，或根據(jù)各層的分界點重新制定分類標準.

例2解關(guān)于x的方程:ax2－(a+1)x+a≥0，其中a∈R.

分析記f(x)=ax2－(a+1)x2+a，首先分成a＞0，a=0及a＜0這3類不同的函數(shù)問題.對于a＞0及a＜0，又要分成Δ＞0，Δ=0，Δ＜0.對于Δ＞0最后還要討論2個根的大小，這樣共3層討論，可逐層討論，但書寫繁瑣.可考慮分界點:a＞0，a=0，a＜0;或Δ＞0，Δ=0，Δ＜0;或2個根的大小比較.

1)當a＞1時，原方程的解為

2)當a=1時，原方程的解為x≠1;

3)當0＜a＜1時，原方程無實數(shù)解;

4)當a=0時，原方程解為x＜0;

注當分類討論涉及多層次多角度時，應(yīng)根據(jù)條件綜合各層次各角度分類的分界點進行扁平化處理，達到簡化討論的目的，做到不重不漏.

3.3 分類討論應(yīng)盡量利用條件縮小討論范圍

有些分類討論問題可利用條件縮小討論范圍，不用全范圍討論，避開一些復(fù)雜的討論問題，達到簡化討論的目的.

(2014年7月浙江省數(shù)學學業(yè)水平考試試題)

分析由題意對任意t∈［3，5］，關(guān)于x的方程f(x)=g(t)在［3，5］上至少有2個不同的解，故函數(shù)在［3，5］上不單調(diào).而

①當6＜a＜10時，對任意的t∈［3，5］關(guān)于x的方程f(x)=g(t)在［3，5］上至少有2個不同的解，從圖形上知

注本題雖是學業(yè)水平測試題，但無論從難度及思想上均達到了高考的要求.本題首要難點是題意的理解:對任意t∈［3，5］，關(guān)于x的方程f(x)=g(t)在［3，5］上至少有2個不同的解，再用圖形得到

其次在具體討論上應(yīng)根據(jù)f(x)在［3，5］上不是單調(diào)函數(shù)這一必要條件縮小討論范圍，減少不必要的討論.

3.4 分類討論應(yīng)盡量運用其他數(shù)學思想簡化甚至避免分類討論

許多分類討論問題，若直接分類討論則將陷入運算復(fù)雜討論繁瑣情況，若換一角度運用化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，則分類討論將簡化甚至避免，達到柳暗花明又一村的境界.

例4設(shè)函數(shù)f(x)=x2－ax+b(其中a，b∈R).若存在實數(shù)a，使得當x∈［0，b］時，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此時a的值.

(2014年1月浙江省數(shù)學學業(yè)水平考試試題)

分析本題若直接分類討論則要分成4類討論，每類都比較繁.若從變量的作用、變量分離及數(shù)形結(jié)合角度分析本題，則討論將大大簡化.

方法1從變量作用簡化

要存在實數(shù)a，則必有

故b的最大值為3，此時a=2.

方法2從變量分離角度簡化

1)當x=0時，2≤f(0)=b≤6.

①當b=6時，不存在實數(shù)a.

②當b=2時，存在實數(shù)a=2，使得2≤f(x)≤6恒成立.

解得2＜b≤3.

故b的最大值為3，此時a=2.

方法3從數(shù)形結(jié)合思想簡化

原問題轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù)a，使得當x∈［0，b)時，2－x2≤－ax+b≤6－x2恒成立，求b的最大值.即當x∈［0，b)時，直線y=－ax+b始終在函數(shù)g(x)=2－x2圖像的上方，始終在函數(shù)h(x)=6－x2圖像的下方.

當直線y=－ax+b與函數(shù)g(x)=2－x2圖像相切時，

得切點的橫坐標為

下同方法1.

例5已知函數(shù)f(x)=x3+3|x－a|(其中a∈R).設(shè)b∈R，若［f(x)+b］2≤4對x∈［－1，1］恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析本題是關(guān)于導數(shù)的問題，2015年浙江高考將在模塊考試中考查.本題容易想到用函數(shù)的最值來討論，對分類討論能力、推理論證能力及運算能力要求高.從數(shù)形結(jié)合角度再看本題:

［f(x)+b］2≤4對x∈［－1，1］恒成立，即－x3－2≤3|x－a|+b≤－x3+2對x∈［－1，1］恒成立.

記g(x)=3|x－a|+b，h1(x)=－2－x3，h2(x)=2－x3.原問題等價于函數(shù)g(x)圖像在［－1，1］內(nèi)在h1(x)上方，在h2(x)下方(包括邊界).

如圖1，過函數(shù)h2(x)圖像的2個端點A(－1，3)，B(1，1)分別為直線l1:y=－3x和l2:y=3x－2.經(jīng)檢驗直線l1與函數(shù)h2(x)的圖像相切于點A，與函數(shù)h1(x)圖像相切于點D.

圖1

要使得函數(shù)g(x)圖像在［－1，1］內(nèi)在h2(x)下方，只要函數(shù)g(x)圖像的頂點F(a，b)既在直線l1的下方又在直線l2的下方(包括邊界).

要使得函數(shù)g(x)圖像在［－1，1］內(nèi)在h1(x)上方，只要函數(shù)g(x)圖像的頂點F(a，b)既在直線l1的上方或在曲線段CED上方(包括邊界).

綜上，函數(shù)g(x)圖像的頂點F(a，b)在曲線段CED，l1，l2所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)或在射線FD上時即可，從而－2≤3a+b≤0.

注如何簡化分類討論是分類討論問題關(guān)鍵所在，直接分類討論入口寬但要求高得分低，要多利用其他思想方法簡化分類討論.

4 精題集萃

A.λ＜3 B.λ＞－2

C.－2＜λ＜3 D.－2＜λ＜2

A.無論a為何值，均有2個零點

B.無論a為何值，均有4個零點

C.當a＞0時有4個零點，當a＜0時有1個零點

D.當a＞0時有3個零點，當a＜0時有2個零點

3.設(shè)函數(shù)f(x)=(x－a－1)|x－2a|(其中a∈R)，若函數(shù)f(x)在［－2，0］上的最小值為－1，則實數(shù)a的值為( )

4.與圓(x+2)2+y2=1相切，且在2個坐標軸上截距相等的直線方程為________.

6.已知函數(shù)f(x)=loga(2－ax)(其中a∈R)在［0，1］上是減函數(shù)，則實數(shù)a 的取值范圍是______.

7.若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則該四面體的體積為______.

8.若數(shù)列{an+2n}是首項為3、公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和為Sn.

9.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+a2+|x－a|(其中a∈R).

1)求函數(shù)f(x)的最值;

2)若不等式f(x)≥4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

1)若函數(shù)f(x)在［2，+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最小值;

參考答案