●熊豐羽(寧波中學(xué)浙江寧波315040)

高考選擇題解題策略

●熊豐羽(寧波中學(xué)浙江寧波315040)

1 題型解讀

選擇題是高考的三大題型之一.縱觀浙江省近10年數(shù)學(xué)高考試題，選擇題的題量和分值都十分固定，題量占到全卷近，分值占，從這2個(gè)比例可以看出選擇題的重要性.同時(shí)，選擇題又是學(xué)生考試過程中要過的第一道關(guān)，學(xué)生對(duì)選擇題的得分期望往往也大于填空題和解答題.因此，能否解好選擇題，往往是高考成功的關(guān)鍵.

解好選擇題，除了準(zhǔn)確之外，還要求迅速.在高考中，平均每道選擇題要在3分鐘內(nèi)解完.完成這個(gè)要求對(duì)于選擇題的前幾題來說問題不大，但對(duì)最后2道題而言就比較困難.經(jīng)常有學(xué)生在最后2道選擇題上花了20分鐘甚至更多的時(shí)間而導(dǎo)致“超時(shí)失分”.因此，解好選擇題除了需要扎實(shí)的基礎(chǔ)功外，還需要一定的策略和技巧.

選擇題不同于解答題，它不需要寫解答過程，這就允許進(jìn)行合理地“猜想”.選擇題也不同于填空題，它提供了4個(gè)選擇項(xiàng)，其中必有1個(gè)正確答案.因此，在解答選擇題時(shí)應(yīng)該突出一個(gè)“選”字，可以充分利用題干和選擇支提供的信息.一般來說，選擇題的解答策略有2種:1)直接法，即從題干出發(fā)，探求結(jié)果，一般適用于題號(hào)在前1～5的題目;2)間接法，即從選項(xiàng)出發(fā)，或者將題干與選項(xiàng)聯(lián)合考察而得到結(jié)果.間接法中常見的方法包括數(shù)形結(jié)合、特值代驗(yàn)、邏輯排除、極端分析等等.下面主要就間接法中常見的幾種方法分別舉例說明之.

2 典題分析

2.1 數(shù)形結(jié)合

例1設(shè)0＜x1＜x2＜π，則的大小關(guān)系是( )

A.a＞b B.a＜b

C.a=b D.無法確定

評(píng)析數(shù)形結(jié)合作為一種解題策略，并非為選擇題所專有，它是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和解題策略.數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”，在選擇題中更常見的是前一種策略.運(yùn)用這種策略的前提是:熟悉常見的函數(shù)、方程、不等式所對(duì)應(yīng)的圖形.

圖1

本題也可以利用特殊值代入，但是由于選項(xiàng)D的存在，用特值法有一定風(fēng)險(xiǎn).

例2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，

若對(duì)任意x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )

分析本題如果直接求解，則十分復(fù)雜.可以考慮作出函數(shù)y=f(x)的圖像，通過比較y=f(x－1)和y=f(x)的圖像求解.因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，

所以當(dāng)0≤x≤a2時(shí)，

當(dāng)a2＜x＜2a2時(shí)，

當(dāng)x≥2a2時(shí)，

圖2

2.2 特值法

例3已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a，b，c，d∈R)的圖像如圖3所示，則b的取值范圍是( )

A.(－∞，0) B.(0，1)

C.(1，2) D.(2，+∞)

分析根據(jù)圖像，不妨設(shè)函數(shù)

此時(shí)a=1，b=－3，c=2，d=0.故選A.

評(píng)析這類題目如果腳踏實(shí)地地求解，不僅運(yùn)算量大，而且極易出錯(cuò)，而利用圖像提供的信息，構(gòu)造特例，既快又準(zhǔn).當(dāng)然，有時(shí)可能構(gòu)造1個(gè)特例只能排除1個(gè)或2個(gè)選項(xiàng)，此時(shí)可以考慮多取幾次特值.但要特別注意，所選的特殊值必須滿足已知條件.常用的特例有特殊值、特殊函數(shù)，特殊數(shù)列、特殊圖形、特殊點(diǎn)等.特值法一般適用于解答“對(duì)某種關(guān)系恒成立”、以全稱命題形式出現(xiàn)的題目.

圖3

例4如圖4，在空間中，過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A).設(shè)α，β是2個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ［fα(P)］，Q2=fα［fβ(P)］，恒有PQ1=PQ2，則( )

圖4

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°

取特例，令A(yù)D1和A1D的交點(diǎn)為P，取2個(gè)相鄰面ADD1A1和A1B1BA檢驗(yàn)選項(xiàng)A可以成立;取2個(gè)相對(duì)的面AD1DA1和B1C1CB檢驗(yàn)選項(xiàng)C顯然不成立，面AB1C1D與面AD1DA1所成角為60°，此時(shí)若面AB1C1D為α，面AD1DA1為β，則，同理，若另構(gòu)造一個(gè)平面與面ADD1A1所成角為45°，則.故選A.

評(píng)析不滿足恒成立有2種情況:一是恒不成立，一種是不恒成立.在取特例時(shí)要特別注意后面這種情況.本題中檢驗(yàn)選項(xiàng)C時(shí)，如果取相對(duì)面ABCD和A1B1C1D1，則選項(xiàng)C可以成立.因此舉特例可以成立不一定就是答案.本題中要解決這個(gè)問題，可以將點(diǎn)P取得更平凡一點(diǎn)，比如說線段A1A的四等分點(diǎn)，或者多取幾種情況驗(yàn)證.

例5設(shè)S，T是2個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:1)T={f(x)|x∈S};2)對(duì)任意x1，x2∈S，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f(x1)＜f(x2)，那么稱這2個(gè)集合“保序同構(gòu)”.以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是( )

A.A=N*，B=N

B.A={x|－1≤x≤3}，B={x|x=－8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1}，B=R

D.A=Z，B=Q

分析本題的背景知識(shí)是集合的勢，了解高等數(shù)學(xué)知識(shí)，很容易選出答案為D.對(duì)學(xué)生而言，比較合適的方法是利用題目所提供的條件構(gòu)造特殊函數(shù)，逐一驗(yàn)證.函數(shù)f(x)為定義域S上的增函數(shù)，值域?yàn)門.構(gòu)造函數(shù)f(x)=x－1，x∈N*，則f(x)的值域?yàn)镹，且為增函數(shù)，故選項(xiàng)A正確;構(gòu)造函數(shù)

滿足題設(shè)條件，故選項(xiàng)B正確;構(gòu)造函數(shù)

滿足題設(shè)條件，故選項(xiàng)C正確.答案為D.

2.3 排除法

例6設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

分析本題直接做較難，學(xué)生往往無從下手，而分析選項(xiàng)后可以發(fā)現(xiàn)，4種情況都比較特殊，因此我們可以對(duì)每種情況逐一驗(yàn)證排除錯(cuò)誤選項(xiàng).對(duì)于選項(xiàng)A，由向量數(shù)量積的幾何意義可知:，不可能當(dāng)時(shí)最小，同理對(duì)選項(xiàng)B，

圖5

評(píng)析排除法適用于不易直接求解的選擇題，特別是條件探索性的題目，即結(jié)論已知，讓我們探索結(jié)論成立的條件.這類題目選擇支所給的往往是幾種特殊情況，我們可以從特殊情況出發(fā)，再結(jié)合題目中的條件，進(jìn)行逐一排除.排除法可以分步進(jìn)行，即先根據(jù)某些條件排除明顯不成立的選項(xiàng)，再根據(jù)另一些條件在縮小的范圍內(nèi)找出矛盾，直至選出正確答案.排除法也常常與特值法、圖像法結(jié)合使用.

A.min{|a+b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C.max{|a+b|2，|a－b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2，|a－b|2}≥|a|2+|b|2

分析選項(xiàng)A和B比較容易排除.對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，不等式不成立;對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a=b≠0時(shí)，不等式不成立;對(duì)于選項(xiàng)C，D，如圖6，設(shè)，構(gòu)造?OACB，根據(jù)平行四邊形法則，∠AOB與∠OBC至少有1個(gè)大于或等于90°，根據(jù)余弦定理知

圖6

成立.故選D.

2.4 極端分析法

例8已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線y=ax+b(其中a＞0)將△ABC分割為面積相等的2個(gè)部分，則b的取值范圍是( )

分析可以利用極限位置和特值法.由于a＞0，可以先考慮當(dāng)a=0時(shí)的情況，即直線與邊AB平行，易得;考慮另一種極限位置即斜率不存在，CO即所求，如圖7，將CO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，與BC，AB分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則△CEP的面積必須等于△OFP的面積.由面積公式可知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)必須小于，因此答案為B.

圖7

評(píng)析極限分析法一般適用于求取值范圍或運(yùn)動(dòng)變化類的問題，利用變化過程中的極端情況，化動(dòng)為靜，簡化問題.當(dāng)然，如何取極端情況是一個(gè)難點(diǎn)，解題中可以多考慮幾種特殊的位置進(jìn)行比較.

以上各種方法在實(shí)戰(zhàn)中需靈活應(yīng)用，有時(shí)要多法并用.“冰凍三尺，非一日之寒”，要讓學(xué)生能熟練掌握解選擇題的各種技巧:首先應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生解選擇題時(shí)“小題小做，多想少算”;其次要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地積累一些經(jīng)典題型，分門別類，經(jīng)常玩味，以提高自己在這方面的能力.

4 精題集萃

1.設(shè)f(x)=|3x－1|，a＞b＞c且f(c)＞f(a)＞f(b)，則下列關(guān)系中一定成立的是( )

A.3c＞3bB.3b＞3a

C.3c+3a＞2 D.3c+3a＜2

3.已知邊長都為1的正方形ABCD與DCFE所在的平面互相垂直，點(diǎn)P，Q分別是線段BC，DE上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，設(shè)線段PQ中點(diǎn)的軌跡為R，則R的長度為( )

5.已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )

A.y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(π，0)中心對(duì)稱

D.f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

6.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn=am(n－1)+1+ am(n－1)+2+…+am(n－1)+m，cn=am(n－1)+1·am(n－1)+2·…· am(n－1)+m(其中m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是( )

A.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm

B.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m

C.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2

D.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm

7.有4根長都為2的直鐵條，若再選2根長都為a的直鐵條，使這6根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則的取值范圍是( )

8.在△ABC中，已知∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)M，且BM∶MC=2∶3.若∠AMB=60°，則==( )

參考答案

1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D