周津名

（1.中國礦業(yè)大學 理學院，江蘇 徐州 221116；2.合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥 230601）

1 引言

設n是正整數(shù)，Mn（R）為含幺交換環(huán)R上所有n×n矩陣構成的R－代數(shù)，X為R－模。記A是R－代數(shù)（可以是非結合的）且其上的乘法記為＊，A2為所有形式為x＊y，x，y∈A的元素。假設｛.，.｝：A×A→X是R－雙線性映射，考慮如下兩個條件：

（1）對x，y∈A，若x＊y＝0，則 ｛x，y｝＝0。

（2）存在一個R－線性映射f：A2→X滿足｛x，y｝＝f（x＊y）。

顯然，條件（2）蘊含條件（1）。進一步地，如果對任意R－模X和R－雙線性映射｛·，·｝：A×A→X，上述兩個條件等價，則稱A為零積決定的代數(shù)。假設A是結合代數(shù)，如果取 ＊ 為若當運算 ○：x○y＝xy＋yx，則A為若當代數(shù)。特別地，如果若當代數(shù)A對若當運算來說是零積決定的代數(shù)，則簡稱A是零若當積決定的代數(shù)。類似地，如果?。獮槔钸\算 ［·，·］：［x，y］＝xy－yx，則A為李代數(shù)。進一步地，若對李運算來說李代數(shù)A是零積決定的代數(shù)，則簡稱A是零李積決定的代數(shù)。

在［1］中，Bresar等學者首次定義了零積決定的代數(shù)的概念，其后涌現(xiàn)很多論文研究此類代數(shù)，參見［2］－［5］。由于代數(shù)系統(tǒng)上一些經(jīng)典的保持問題，比如：保零積，保零若當積，保交換性等等，均可通過考慮類似性質(zhì)的雙線性映射來解決問題，而且解決方法更簡單有效，從而學者們定義了各種由局部性質(zhì)決定的代數(shù)的概念（詳見引文［6］），比如：平方零元決定的代數(shù)，三元零積決定的代數(shù)等等，并開始此類課題的研究。例如：文獻［1］證明了含幺代數(shù)B上的全矩陣代數(shù)Mn（B），（n≥2）是零積決定的代數(shù)；若2∈B可逆，則Mn（B），（n≥3）是由零若當積決定的；當B是零李積決定的代數(shù)時，Mn（B），（n≥2）也是零李積決定的代數(shù)。Ghahramani在［2］中證明了復Hilbert空間上的有限套代數(shù)是由零積決定的，也是由零若當積決定的。Grasic在文獻［3］中證明了特征不等于2的域上的n×n斜對稱矩陣李代數(shù)是由零李積決定的，且辛李代數(shù)也是由零李積決定的。［4］證明了代數(shù)閉域上的每個（有限維）單李代數(shù)的拋物子代數(shù)均為零李積決定的代數(shù)，并推廣了文獻［3］的結論。文獻［5］中，Grasic證明了對稱矩陣構成的若當代數(shù)在一定條件下是由零若當積決定的。文獻［7］討論了三角代數(shù)是零積決定的代數(shù)或者零李積決定的代數(shù)的充要條件。［8］研究了零積決定的三角代數(shù)。［9］研究了零積決定的矩陣代數(shù)。［10］給出了平方零元決定的代數(shù)的定義，并證明了若2∈R可逆，則R上嚴格上三角矩陣代數(shù)Nn（R），（n≥2）一定是平方零矩陣決定的代數(shù)，但全矩陣代數(shù)Mn（R）不是由平方零矩陣決定的。其后，［11］證明了全矩陣代數(shù)Mn（R）與平方零矩陣決定的代數(shù)之間僅僅有微小差別。［12］給出了三元零積決定的代數(shù)和三元零若當積決定的代數(shù)的定義，并證明了含幺交換環(huán)R上的全矩陣代數(shù)Mn（R）（n≥3）是三元零積決定的，特征不是2的域F上的若當全矩陣代數(shù)Mn（F）（n≥3）是三元零若當積決定的。［13］討論了廣義矩陣代數(shù)是三元零積決定的代數(shù)或者三元零若當積決定的代數(shù)的充要條件。［14］研究了單位積決定的若當矩陣代數(shù)。

受上述工作所啟發(fā)，本文給出了二階元決定的若當代數(shù)的定義（若一個若當矩陣代數(shù)是二階元決定的若當代數(shù)，也稱此若當矩陣代數(shù)是對合矩陣決定的若當代數(shù)），并證明了當2∈R可逆時，若當全矩陣代數(shù)Mn（R）是由對合矩陣決定的。作為該結論的一個應用，本文具體刻畫了全矩陣代數(shù)Mn（R）上的穩(wěn)定單位陣并保對合矩陣的可逆線性映射。

2 預備知識

若A為含幺代數(shù)，記e為A的單位元（特別地，對矩陣代數(shù)Mn（R），e指的是單位陣）?，F(xiàn)在，把零若當積決定的代數(shù)的定義（參見引言）中的條件（1）（對x，y∈A，若x○y＝0，則 ｛x，y｝＝0。）弱化為：當 （e－x）○（e＋x）＝0時，｛e－x，e＋x｝＝0。易見，如果該雙線性映射是對稱的，則弱化后的條件與下面條件等價：

（1）′當x2＝e時，｛x，x｝＝｛e，e｝。

用條件（1）′和引言中的條件（2）我們定義一類二階元決定的代數(shù)。

定義2.1 設R是含幺交換環(huán)，A為R上的含幺若當代數(shù)。若對任意R－模X和任意對稱雙線性映射 ｛.，.｝：A×A→X來說，條件（1）′和條件（2）均等價，則稱A是二階元決定的若當代數(shù)，或稱若當代數(shù)A是由二階元決定的。特別地，若一個若當矩陣代數(shù)是由二階元決定的，則稱之為對合矩陣決定的若當代數(shù)。

下文中，我們再約定一些符號：記R是含幺交換環(huán)，且2∈R可逆。對任意給定的正整數(shù)n，如不另加說明，i，j，k，l均默認為1≤i，j，k，l≤n且兩兩不同。對1≤i，j≤n，記eij是（i，j）元為1其余元均為0的n階矩陣。設 ｛.，.｝：Mn（R）×Mn（R）→X是一個對稱雙線性映射，且在任意對合矩陣x處均有 ｛x，x｝＝｛e，e｝。接下來，我們引入本文的一些重要引理。

引理2.2 若A±B為對合矩陣，則｛A，B｝＝0，｛A，A｝＋ ｛B，B｝＝｛e，e｝。

證明 由A±B為對合矩陣可知，｛A＋B，A＋B｝＝｛e，e｝，｛A－B，A－B｝＝｛e，e｝，化簡可得 ｛A，B｝＝0，｛A，A｝＋｛B，B｝＝｛e，e｝。

引理2.3 ｛eii，eii｝＝｛e，eii｝。

證明 由e－2eii為對合矩陣可知｛e－2eii，e－2eii｝＝｛e，e｝，故有 ｛eii，eii｝＝｛e，eii｝。

引理2.4 當n≥2時，則

（1）｛eii，ejj｝＝｛eij，eij｝＝｛eji，eji｝＝0；

（2）｛eij，eji｝＝｛e，eii＋ejj｝；

（3）｛eii，eij｝＝｛ejj，eij｝＝｛e，eij｝。

證明 易驗證e－2eii－2ejj為對合矩陣，從而｛e－2eii－2ejj，e－2eii－2ejj｝＝｛e，e｝，故

－｛e，eii｝－｛e，ejj｝＋｛eii，eii｝＋｛ejj，ejj｝＋2｛eii，ejj｝＝0。

由引理2.3，上式可簡化為 ｛eii，ejj｝＝0。令A＝e＋eii－3ejj，B＝eij－3eji，C＝3eij－eji，則A±B，A±C均為對合矩陣。由引理2.2可知

對比（2）式和（4）式可得 ｛B，B｝＝｛C，C｝，進而 ｛eij，eij｝＝｛eji，eji｝。又 （e－eii－ejj）±（eij＋eji）為對合矩陣，故 ｛e－eii－ejj，e－eii－ejj｝＋｛eij＋eji，eij＋eji｝＝｛e，e｝，從而有

把（4）式展開可得3｛e，eii＋ejj｝＋10｛eij，eij｝－6｛eij，eji｝＝0，結合（5）式可知 ｛eij，eij｝＝0，故 ｛eij，eji｝＝｛e，eii＋ejj｝。由（1）式和（3）式可得 ｛A，B±C｝＝0，從而

將（6）式中的i與j互換可得

（6）＋（7）可得

（6）－（7）式可得

從而由（8）式和（9）式可推出 ｛eii，eij｝＝｛ejj，eij｝＝｛e，eij｝。

引理2.5 當n≥3時，｛eii，ekj｝＝｛eki，ekj｝＝｛eik，ejk｝＝0，｛eik，ekj｝＝｛e，eij｝。

證明 易證對任意a，b∈R，e－2eii－2ejj＋aeki＋bekj為對合矩陣，從而 ｛e－2eii－2ejj＋aeki＋bekj，e－2eii－2ejj＋aeki＋bekj｝＝｛e，e｝，進 而2a｛ejj，eki｝＋2b｛eii，ekj｝＝ab｛eki，ekj｝。由a，b的任意性可知 ｛eii，ekj｝＝｛eki，ekj｝＝0。同理，由e－2eii－2ejj＋aeik＋bejk，?a，b∈R是對合矩陣可得 ｛eik，ejk｝＝0。又因 （e－eii－ekk＋ekj）±（eik＋eki－eij）也是對合矩陣，故 ｛e－eii－ekk＋ekj，eik＋eki－eij｝＝0，從而 －｛eik，ekj｝＋｛eii，eij｝＝0，進而 ｛eik，ekj｝＝｛eii，eij｝＝｛e，eij｝。

引理2.6 當n≥4時，｛eij，ekl｝＝0。

證明 令A＝eii－3ejj－eij＋3eji，B＝ekk－3ell－ekl＋3elk，則e＋A＋B，e＋A和e＋B均為對合矩陣，從而 ｛e，e｝＝｛e＋A＋B，e＋A＋B｝＝3｛e，e｝＋2｛e＋A，e＋B｝－2｛e，e＋A｝－2｛e，e＋B｝，化簡可得 ｛A，B｝＝0，即 ｛eij－3eji，ekl－3elk｝＝0。同理可得 ｛eij－3eji，3ekl－elk｝＝0，故 ｛eij－3eji，ekl｝＝｛eij－3eji，elk｝＝0。類似可得 ｛3eij－eji，ekl｝＝｛3eij－eji，elk｝＝0，所以 ｛eij，ekl｝＝0。得證。

3 主要結論

由引理2.3－2.6，可推出本文主要定理。

定理3.1 設R為含幺交換環(huán)，且2∈R可逆。記Mn（R），（n≥2）為R上所有n×n矩陣構成的若當全矩陣代數(shù)，則Mn（R）是對合矩陣決定的若當代數(shù)。

證明 顯然Mn（R）○Mn（R）＝Mn（R）。依據(jù)定義2.1，要證明Mn（R）是對合矩陣決定的若當代數(shù)，即證對任意的R－模X，任意的對稱雙線性映射｛.，.｝：Mn（R）×Mn（R）→X，以下兩個條件總是等價的：

（1）′當x2＝e時，｛x，x｝＝｛e，e｝；

（2）存在線性映射f：Mn（R）→X使得 ｛x，y｝＝f（x○y），?x，y∈Mn（R）。

顯然（2）蘊含（1）′。反之，假設對稱雙線性映射｛.，.｝：Mn（R）×Mn（R）→X滿足條件（1）′，下面我們構造一個從Mn（R）到X的線性映射f，使得｛x，y｝＝f（x○y），?x，y∈Mn（R）。

當n＝1時，定義f：Mn（R）→X，xa｛e，e｝。易證對任意x，y∈Mn（R）均有 ｛x，y｝＝f（x○y）。

當n≥2時，由引理2.3－2.6和 ｛0，x｝＝｛x，0｝＝0，x∈Mn（R）可知，對所有1≤i，j，k，l≤n均有｛eij，ekl｝＝｛e，eij○ekl｝。令f（x）＝｛e，x｝，則易證f是從Mn（R）到X的一個線性映射，且滿足｛eij，ekl｝＝f（eij○ekl），1 ≤i，j，k，l≤n。從 而 由｛.，.｝的雙線性性質(zhì)及f的線性性質(zhì)可知，對任意x，y∈Mn（R），有 ｛x，y｝＝f（x○y）均成立。

由定理3.1，我們可得如下結論。

推論3.2 設R為含幺交換環(huán)，且2∈R可逆，則對任意R－模X和任意對稱雙線性映射 ｛.，.｝：Mn（R）×Mn（R）→X，以下四條等價：

（1）當x○y＝0時，｛x，y｝＝0；

（2）當x2＝e時，｛x，x｝＝｛e，e｝；

（3）當x2＝x時，｛x，x｝＝｛e，x｝；

（4）當xy＝y(tǒng)x＝e時，｛x，y｝＝｛e，e｝。

證明 為證明本結論，引入條件（5）：

（5）存在線性映射f：Mn（R）→X，使得 ｛x，y｝＝f（x○y），?x，y∈Mn（R）。

由x2＝e可得 （x＋e）○（x－e）＝0。當條件（1）成立時，有 ｛x＋e，x－e｝＝0，從而 ｛x，x｝＝｛e，e｝，即條件（2）成立。由定理3.1可知條件（2）成立時條件（5）也成立。而且顯然有條件（5）蘊含條件（1）成立，從而由條件（2）能推出條件（1）。故條件（1）和條件（2）等價。同理可得條件（2）和條件（4）等價。下證條件（2）和條件（3）等價。由定理3.1可知條件（2）和條件（5）等價。文獻［5］中已經(jīng)證明了對稱雙線性映射 ｛.，.｝：Mn（R）×Mn（R）→X滿足條件（3），則條件（5）成立，又顯然（5）可推出（3），故條件（5）和條件（3）。從而（2）和（3）等價。得證。

設F為域，［15］和［16］刻畫了域F上的全矩陣代數(shù)Mn（F）上的保對合矩陣的可逆線性映射。但卻沒有論文研究含幺交換環(huán)上矩陣代數(shù)Mn（R）上保對合矩陣的可逆線性映射。作為定理3.1的一個應用，本文證明了若2∈R可逆，則若全矩陣代數(shù)Mn（R）上的可逆線性映射φ穩(wěn)定單位陣（即φ（e）＝e）且保對合矩陣（即：當x2＝e時，（φ（x））2＝e），則φ是Mn（R）的一個若當自同構。

推論3.3 設R是含幺交換環(huán)，且2∈R可逆。若φ：Mn（R）→Mn（R）為可逆線性映射，且φ穩(wěn)定單位陣（即φ（e）＝e）并保對合矩陣（即：當x2＝e時，（φ（x））2＝e），則φ是Mn（R）的一個若當自同構。

證明 利用φ構造一個從Mn（R）×Mn（R）到Mn（R）的一個對稱雙可逆線性映射 ｛·，·｝：｛x，y｝＝φ（x）○φ（y）。易證當x2＝e時，恒有 ｛x，x｝＝2（φ（x））2＝2e＝2（φ（e））2＝｛e，e｝。由定理3.1可知，存在線性映射ψ：Mn（R）→Mn（R）使得 ｛x，y｝＝ψ（x○y），?x，y∈Mn（R）。從而

則只需證明φ＝ψ即可得證φ是Mn（R）的若當自同構。在（10）式中取y為單位陣，可得

由題設可知φ（e）＝e，從而φ（x）＝ψ（x），?x∈Mn（R），故φ＝ψ。所以φ是Mn（R）的若當自同構。得證。

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