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        也談曲線切點弦的處理方法

        2015-12-05 09:33:52吳斌王懷明會宮中學(xué)安徽樅陽246740
        關(guān)鍵詞:極線切點切線

        ●吳斌 王懷明(會宮中學(xué)安徽樅陽246740)

        也談曲線切點弦的處理方法

        ●吳斌 王懷明(會宮中學(xué)安徽樅陽246740)

        文獻[1]由一道測試題提出一個問題:過圓外一點作圓的2條切線,如何求2個切點所在直線的方程?然后通過對大綱版教材和人教A版教材處理方法的比較,得出結(jié)論:大綱版教材的處理方法(即下面的解法1,筆者注)“求解思維轉(zhuǎn)彎多,且對圓的一般位置需要另行推理,這對學(xué)生而言,有一定的困難”;人教A版教材的處理方法(即下面的解法2,筆者注)“優(yōu)于大綱版教材,主要表現(xiàn)在計算快、轉(zhuǎn)化少,突出圓的地位而淡化切(直)線方程”.

        事實真的是這樣嗎?本文先列舉文獻[1]中的2種解法,并增加解法3;然后通過解法的應(yīng)用,比較3種解法,得到不同解法的適用范圍.

        1 解法呈現(xiàn)

        為了方便說明,將文獻[1]中的問題一般化:

        過圓C:x2+y2=r2外一點A(x0,y0)作圓的2條切線,切點分別為P(x1,y1),Q(x2,y2),求切點弦PQ所在的直線方程.

        解法1因為圓C在點P(x1,y1)處的切線垂直于OP,當(dāng)x1y1≠0時,,所以圓C在點P處的切線斜率為,方程為

        當(dāng)x1=0或y1=0時,切點弦也滿足方程

        同理圓C在點Q(x2,y2)處的切線方程為

        而點A(x0,y0)在切線上,有

        這說明點P,Q的坐標滿足x0x+y0y=r2,因此切點弦PQ的方程為x0x+y0y=r2.

        解法2由題意知,OP⊥AP,OQ⊥AQ,因此,點P,Q在以AO為直徑的圓上.設(shè)點M(x,y)是以AO為直徑的圓上任意一點,則

        即以AO為直徑的圓的方程為

        由題意知點P,Q既在圓C上,又在以AO為直徑的圓上,x(x-x0)+y(y-y0)=0與x2+y2=r2相減得x0x+y0y=r2,因此切點弦PQ的方程為

        解法3當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線斜率為k,則過點P(x1,y1)的切線方程為

        同理可得圓C在點Q(x2,y2)處的切線方程為

        而點A(x0,y0)在切線上,得

        這說明點P,Q的坐標滿足x0x+y0y=r2,因此直線PQ的方程為

        當(dāng)切線的斜率不存在時,切點弦也滿足方程

        說明解法1利用性質(zhì)“圓心和切點的連線垂直于過該點的切線”,直接求出切線的斜率;解法3從代數(shù)角度處理問題,利用直線和圓相切時的判別式Δ=0求出斜率,它們后面的處理方法完全一樣.

        2 解法的應(yīng)用

        例1已知拋物線C的頂點為原點,其焦點為F(0,c)(其中c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的2條切線PA,PB,其中A,B為切點.

        1)求拋物線C的方程;

        2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;

        3)略.

        (2013年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

        解1)過程略,拋物線C的方程為x2=4y.

        2)拋物線C的方程為x2=4y,即,求導(dǎo)得.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(其中),則切線PA,PB的斜率分別為,,從而切線PA的方程為

        同理可得切線PB的方程為

        因為切線PA,PB均過點P(x0,y0),所以

        從而(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y-2y0=0的2組解,因此直線AB的方程為

        由上述解題過程知,當(dāng)圓換成拋物線時,解法1和解法3仍然適用,而解法2則不適用.切點弦問題在高考試題中很常見,如:

        例2拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(其中p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過點M作C1的切線,切點為A,B(當(dāng)M為原點O時,A,B重合于點O).當(dāng)時,切線MA的斜率為

        1)求p的值;

        2)當(dāng)M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(當(dāng)A,B重合于點O時,中點為O).

        (2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題)

        解1)p=2(過程略).

        2)同例1的解法得到切點弦AB的方程為

        聯(lián)立x0x-2y-2y0=0與x2=4y得

        設(shè)N(x,y),由點N為AB的中點,得

        由點N在直線AB上,得

        由點M在C2上,得

        式(1),式(2),式(3)消x0,y0,得,從而AB中點N的軌跡方程為

        與參考答案相比,該解法思路簡單,易于掌握.同樣地,該題求切點弦AB的方程時,只適用于解法1和解法3.

        例3設(shè)點P(x0,y0)在直線x=m(其中y≠m,0<m<1)上,過點P作雙曲線x2-y2=1的2條切線PA,PB,切點為A,B,定點

        1)略;

        2)求證:點A,M,B共線.

        證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),切線PA的方程為

        同理可得PB的方程為

        又P(m,y0)在PA,PB上,得

        即點A(x1,y1),B(x2,y2)都在直線y0y=mx-1上,亦即AB的方程為

        說明這里主要是求切點弦的問題.我們發(fā)現(xiàn),不僅解法2不適用,解法1也不適用,因為沒有辦法直接求斜率,所以必須利用解法3的思路求解.

        3 不同解法比較及求解策略

        首先,從難度來看,解法1的難點在于先求2個切點P,Q處的切線方程,再利用點A(x0,y0)在切線上直接得到切點弦方程.解法2的難點在于: 1)能看出點P,Q在以AO為直徑的圓上;2)能順利寫出圓的方程;3)注意到PQ是2個圓的公共弦,由2個圓方程相減得到直線PQ的方程.解法3與解法1的區(qū)別是:解法3沒有直接寫出斜率,利用一元二次方程根的判別式Δ=0求出斜率,其他相同.因此3種解法難度差不多,即便是圓的一般位置,處理起來也沒有多大區(qū)別.

        其次,從適用范圍來看,解法1或解法3不僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法,也適用于直線與一般的圓錐曲線相切時切點弦的求法;解法2僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法.

        因此,在求二次曲線的切點弦問題時,可遵循以下要求:若過圓外一點作圓的切線,則3種解法都可以,只是解法1和解法2相對簡潔一點.若過一般的二次曲線外一點作曲線的切線,則要具體情況具體對待,能直接求切點處斜率的,按照解法1的思路即可;不能直接求切點處斜率的,則要按照解法3的思路,聯(lián)立方程組,消元后由Δ=0求斜率.再由曲線外一點是2條切線的公共點,寫出切點弦方程.

        讀者可以做下面2道練習(xí)題,從中進一步體會3種解法適用范圍的不同.

        練習(xí)1過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的2條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為()

        A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0

        C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

        (2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

        (3種解法均可,答案為A.)

        (本題是由2014年“華約”自主招生試題改編而成的,只有解法3適用,切點弦AB的方程為,答案為)

        4 高等數(shù)學(xué)背景

        曲線切點弦問題的知識背景是高等數(shù)學(xué)中圓錐曲線的極點和極線問題.

        已知圓錐曲線C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(其中A2+C2≠0),則稱點P(x0,y0)和直線l: Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線的一對極點和極線.

        若極點在曲線C上,則極線l就是曲線C在點P處的切線;若過極點可作曲線C的2條切線,P,Q為切點,則極線就是直線PQ.若利用極點和極線的有關(guān)性質(zhì),則可以直接寫出切點弦方程.

        如本文開始的引例,極點A(x0,y0)相應(yīng)的極線方程為x0x+y0y=r2,即為切點弦PQ的方程.例1中曲線C:x2=4y,極點A(x0,y0)相應(yīng)的極線方程為

        例2同例1(解法略).例3中曲線C:x2-y2=1,極點P(m,y0)相應(yīng)的極線方程為

        5 結(jié)束語

        通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn),解法2(即新教材的處理方法)是最特殊的解法,只能適用于直線與圓相切的問題.解法1比解法2適用范圍更廣,只要切點的斜率能求即可,如文獻[1]中的2個題目和本文的例1、例2.解法3的適用范圍最廣,只要是直線與二次曲線相切的問題,都可以求解.因此,這3種解法之間是特殊與一般的關(guān)系,我們要正確看待特殊方法與一般方法的關(guān)系.不僅要通過研究教材例題和習(xí)題,尋求解決一個問題的最優(yōu)途徑,更要透過現(xiàn)象看本質(zhì),尋求一類問題的普遍適用的解決方法,讓學(xué)生能觸類旁通,舉一反三.

        教材是教學(xué)的出發(fā)點和歸宿,教師在教學(xué)中既不能全盤否定教材,另起爐灶,也不能過分盲從、迷信教材的權(quán)威,照本宣科.要有自己的理解和思考,用批判的眼光看待教材,創(chuàng)造性地使用教材.只有這樣,我們的課堂教學(xué)才會充滿生機和活力.

        作為學(xué)生,無需知道曲線切點弦的高等數(shù)學(xué)知識背景,必須利用他們所掌握的知識方法解決問題.但作為教師,不僅要知道切點弦問題的不同解法,以及解法的適用范圍,更要知道方法所隱含的高等數(shù)學(xué)知識背景.教師要有一桶水,才能給學(xué)生一杯水,才能輕松自如,舉重若輕.

        [1]李秀元.從一道測試題到自主招生考試題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2014(7):25-26.

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