金 浩，劉維寧，周順華，孫曉靜

(1.同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

利用Periodic Fourier法研究橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)對軌道振動的影響

金 浩1，劉維寧2，周順華1，孫曉靜2

(1.同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

地下鐵道軌道減振措施研究是一個(gè)受到持續(xù)關(guān)注的問題，本文創(chuàng)新性地引入橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)這一概念。并利用Peiodic-Fourier方法，探討了橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)物理參數(shù)對鋼軌振動位移的影響。研究結(jié)果表明：（1）高頻激勵(lì)荷載引起的鋼軌位移比低頻激勵(lì)荷載引起的鋼軌位移?。唬?）橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)剛度越大，相應(yīng)的共振頻率越大，但引起的鋼軌振動位移越??；（3）橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)阻尼越大，相應(yīng)的共振頻率越小，且引起的鋼軌振動位移也越小。

振動與波；橡膠混凝土；地下鐵道；減振；Periodic-Fourier方法；鋼軌位移

近幾年，地下鐵道引起的環(huán)境振動問題[1]和鋼軌波形磨耗問題[2]日益受到關(guān)注。大量科研工作者[3-5]對環(huán)境振動預(yù)測方法和軌道減振措施進(jìn)行了卓有成效的探究。經(jīng)過前期的調(diào)查和分析，本文提出了一種創(chuàng)新性的軌道減振措施，即橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)[6]。

橡膠混凝土（Crumb Rubber Concrete，CRC）是一種采用廢舊橡膠作為集料配制而成的新型水泥混凝土[7]。通過調(diào)配橡膠粒徑大小以及橡膠的摻入量，可以調(diào)節(jié)橡膠混凝土的剛度和阻尼等物理參數(shù)。相比目前常規(guī)使用的混凝土基礎(chǔ)，橡膠混凝土基礎(chǔ)將具有可調(diào)節(jié)性等優(yōu)點(diǎn)。橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)鋪設(shè)方式如圖1所示。

Periodic-Fourier方法最早見D J Mead[8]對周期結(jié)構(gòu)波傳播和振動響應(yīng)的分析。1996年，P M Belot-serkovskiy[9]利用該方法對簡諧荷載作用下的無限周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析。2001年，H Kruse[10]等利用前面的研究，總結(jié)出了一種用于分析線形、周期車輛－軌道結(jié)構(gòu)的算法。2006年，Mohammed利用Perioic-Fourier方法，對離散浮置板軌道進(jìn)行了移動簡諧荷載作用和移動單點(diǎn)轉(zhuǎn)向架的動力分析，Periodic-Fourier方法最大的特點(diǎn)就是運(yùn)算的高效性和Fourier-repeating-uint方法相對比，同樣的算例花了19分鐘，而Periodic-Fourier方法僅花了2秒鐘[12]。

鑒于此，本文將利用Periodic Fourier方法，分析橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)物理性質(zhì)（剛度和阻尼）對鋼軌振動的影響。

圖1 橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)示意圖

1 隔振基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型

由于考慮的鋼軌為離散支撐軌道，輪軌耦合作用形成的力通過扣件及支承塊將以近似點(diǎn)荷載的形式作用在隔振基礎(chǔ)上。因此，隔振基礎(chǔ)對扣件的支撐作用近似為（中間支承塊）串聯(lián)的彈簧－阻尼系統(tǒng)[13]。扣件、支承塊和隔振基礎(chǔ)串聯(lián)如圖2所示。

圖2 扣件、支承塊和隔振基礎(chǔ)復(fù)合剛度計(jì)算示意圖

扣件剛度為kfs，阻尼為cfs，則扣件復(fù)合剛度ckfs為

橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)剛度為kfo，阻尼為cfo，則橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)復(fù)合剛度ckfo為

因此，扣件、支承塊和橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)的復(fù)合剛度為

式中ms為支承塊質(zhì)量，角頻率ω=2πf。

2 移動簡諧荷載作用下軌道模型

假定鋼軌為Bernoulli-Euler梁，線密度為ρ，抗彎剛度為EI。鋼軌由間距為l的扣件系統(tǒng)支撐，扣件下面為支承塊以及隔振基礎(chǔ)。沿鋼軌方向?yàn)閤，x的法線方向?yàn)閥。設(shè)鋼軌位移為y(x,t)。單位簡諧荷載eiω0t作用在鋼軌上，移動速度為v，出發(fā)位置為x=0處，如圖3所示。

圖3 移動簡諧荷載作用下軌道模型

假定y(x,t)滿足以下周期性條件[9]

式中無量綱Ω0=ω0l/v，表示力相位隨時(shí)間的變化。

根據(jù)Bernoulli-Euler梁理論，可以得到鋼軌的控制方程

式中δ為Dirac函數(shù)。

根據(jù)周期性條件(1)，可以得到相鄰單元位移、變形、剪力以及彎矩之間的關(guān)系如下

式中，上標(biāo)I和II分別代表單元I和單元II。

對周期性支撐的Bernoulli-Euler梁進(jìn)行受力分析，如圖4單元所示。

圖4 周期性單元受力分析

可以得到相鄰單元位移、變形、剪力以及彎矩之間的關(guān)系

將方程(3)代入方程(4)和方程(5)，可以得到公式(2)的邊界條件。即對于重復(fù)性單元（譬如單元I），認(rèn)為鋼軌位移的零階偏導(dǎo)數(shù)?0y(x,t)/?x0（位移）、1階偏導(dǎo)數(shù)?1y(x,t)/?x1（變形）以及2階偏導(dǎo)數(shù)?2y(x,t)/?x2（彎矩）在周期性支撐條件下具有式(6)關(guān)系；鋼軌位移的3階偏導(dǎo)數(shù)?3y(x,t)/?x3（剪力）在節(jié)點(diǎn)處不相等，具有式(7)關(guān)系。

所以，方程(8)的通解為

令x=0，代入方程(12)，得到

將通解(12)代入邊界條件方程(9)和(10)，以及結(jié)合方程(13)，得到

為了方便求解以及書寫清晰，將上式寫成矩陣形式

根據(jù)高斯消元法，即可得到a1，a2，a3和a4。代入式(12)，得到頻域下鋼軌位移為

而后，通過Fourier逆變換，可以得到時(shí)域下的響應(yīng)解

3 動力響應(yīng)結(jié)果

鋼軌線密度為ρ=60 kg/m，彈性模量E=2.1×1011Pa，截面慣性矩I=3.04×10-5m4。鋼軌由間距為l=0.625 m的DTVI2扣件系統(tǒng)支撐，扣件剛度為kfs=7.8 ×107N/m，扣件阻尼為cfs=5×104N/(m/s)。支承塊質(zhì)量ms=50 kg。簡諧荷載移動速度為v=10 m/s，從x=0處出發(fā)，角頻率分別取ω0=640πrad/s、1 600πrad/ s和2 560π rad/s（即f0=320 Hz、800 Hz和1 280 Hz）。

3.1 不同激勵(lì)荷載頻率

從圖5可以看出，鋼軌最大位移頻率由外部激勵(lì)荷載頻率決定；并且外部激勵(lì)荷載頻率越高，鋼軌最大位移響應(yīng)越小。

圖5 鋼軌位移響應(yīng)（x=0.5 l，kfo=1×107N/m，cfo=1×104N/(m/s)）

3.2 不同隔振基礎(chǔ)剛度

圖6 鋼軌位移響應(yīng)(x=0.5 l，f0=800 Hz，cfo=1×104N/(m/s))

3.3 不同隔振基礎(chǔ)阻尼

從圖7可以看出，隔振基礎(chǔ)阻尼越大，由支承塊質(zhì)量引起的自振頻率就越小，相應(yīng)幅值也越小。和隔振基礎(chǔ)剛度對鋼軌位移影響相同，外部激勵(lì)頻率引起的響應(yīng)，不隨隔振基礎(chǔ)阻尼的改變而改變。

圖7 鋼軌位移響應(yīng)（x=0.5 l，f0=800 Hz，kfo=1×107N/m）

4 結(jié)語

通過不同激勵(lì)荷載頻率、不同橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)剛度以及不同橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)阻尼對鋼軌振動位移響應(yīng)影響分析，得到如下結(jié)論：

(1)高頻激勵(lì)荷載引起的鋼軌位移比低頻激勵(lì)荷載引起的鋼軌位移??；

(2)橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)剛度越大，相應(yīng)的共振頻率越大，但是引起的鋼軌振動位移越小；橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)阻尼越大，相應(yīng)的共振頻率越小，且引起的鋼軌振動位移也越小。

因此，從控制鋼軌振動位移的角度，宜選擇高剛度和高阻尼的橡膠混凝土隔振基礎(chǔ)。

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Study on Vibration Reduction Characteristics of the CRC Foundation Using Periodic-Fourier Method

JIN Hao1,LIU Wei-ning2，ZHOU Shun-hua1,SUN Xiao-jing2
(1.Key Laboratory of Rood and Traftic Engineering of Ministry of Education,Tongi University, Shanghai 201804,China; 2.School of Civil Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China)

A novel type of a crumb rubber concrete（CRC）foundation was proposed for vibration reduction of railway tracks of subways.The Periodic-Fourier method was adopted to build the mathematical model and analyze the influence of different physical parameters of the CRC foundation on the vibration displacement of the rails.The results show that in comparison with the conventional foundations,the rail displacement induced by high-frequency excitation is greatly reduced, and the rail displacement induced by high-frequency excitation is smaller than that by low-frequency excitation;the larger stiffness of the CRC foundation can lead to larger resonant frequency and smaller vibration displacement of the rails;increasing the damping of the CRC foundation can reduce the resonant frequency and the vibration displacement of the rails.

vibration and wave;crumb rubber concrete(CRC);subway;vibration reduction;periodic-Fourier method;rail displacement

U231

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.031

1006-1355(2015)02-0144-05

2014－12－03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51278043)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51408033)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20110009120023)

金浩(1986－)，男，浙江諸暨人，講師，博士，從事軌道振動控制研究。E-mail:zhujijinhao@gmail.com