李彥蒼，于洋，王杰 （河北工程大學土木工程學院，河北 邯鄲056038）

隨著國民經(jīng)濟的不斷增強和綜合國力的不斷進步，在城市建設過程中建筑結構形式的多樣化為城市帶來了諸多現(xiàn)代化的元素。建筑結構體系隨之也越來越復雜，設計過程中面臨著影響因素多、設計計算工作量大等問題。因此，設計出的建筑結構往往存在著諸多問題，達不到應有的設計標準，遭到破壞的情形時有發(fā)生，對我國國民寶貴的財產(chǎn)和人身安全會造成不可預測的傷害，所以對結構優(yōu)化設計的實驗和探索具有重要意義［1，2］。

結構優(yōu)化是指在限定的條件下，使結構的某些性能表現(xiàn)最優(yōu)。柳春光等根據(jù)投資－效益準則，提出了基于遺傳算法的全壽命抗震性能的海橋梁結構多目標優(yōu)化設計方法［3］；楊繼超等針對工程結構承受擾動載荷，最優(yōu)解難以準確獲得的問題，對剛架體結構穩(wěn)健優(yōu)化設計方法進行了相關研究［4］；王曉軍等提出了一種基于非概率凸模型可靠性的結構優(yōu)化設計方法并取得相關結論［5］；Mohammed Jameel等提出了一種對高層建筑及其負載作用下的造型結構優(yōu)化設計方法［6］；Sabouri－Ghomi S等調查研究了每個組件的剛度、強度對結構整體的強度、剛度的影響并提出其進行優(yōu)化設計的方法［7］；Giuseppe等提出了一種基于微分金華算法并將其應用在預應力混凝土梁的優(yōu)化設計中，取得了顯著成果［8］；AndréTeófilo Beck等對確定性、可靠性和基于風險的不確定性條件下的結構優(yōu)化進行對比研究取得了相關結論［9］。以上研究均推動了結構優(yōu)化設計的研究和發(fā)展，但如何克服優(yōu)化過程中存在著控制目標多、目標量化難和計算復雜等難題仍需進一步深入研究。

2008年，劍橋學者Yang Xinshe提出了一種全新的群智能仿生優(yōu)化算法：螢火蟲算法（Firefly Algorithm，簡稱FA）［10］。該算法通過模擬野生環(huán)境中螢火蟲在覓食、尋偶和警戒等過程中發(fā)出熒光的現(xiàn)象而來的，是基于智能群體的隨機非線性搜索優(yōu)化算法，廣泛應用于模式識別、網(wǎng)絡路由選擇、自動控制、組合優(yōu)化、機器人路徑規(guī)劃以及社會科學等多個領域［11］。

筆者嘗試將螢火蟲算法引入到桁架結構的優(yōu)化設計過程中，同時針對該算法存在的缺陷，對其進行適當改進，以期待解決優(yōu)化設計后期控制目標多、計算復雜、收斂速度慢和收斂精度低等問題。

1 桁架結構的形狀優(yōu)化模型

各節(jié)點坐標和各桿件截面面積是結構形狀優(yōu)化設計的關鍵問題［12］，也是建立數(shù)學模型的關鍵變量，綜合考慮這2點因素才能得到最優(yōu)解。因此，以桁架結構的總重量為目標函數(shù)，以節(jié)點位移、應力和穩(wěn)定性為約束條件，已知結構的基本設計參數(shù)（材料密度、最大應力、截面形狀、彈性模量、剪切模量和最大位移等）建立數(shù)學模型。

設計變量：

式中，Ai為桿件的截面面積；Xi為桿件的節(jié)點坐標；n為桿件的組數(shù)。目標函數(shù)：

式中，f（x）為結構的重量；ρi為材料密度；Ai為截面面積；Li為第i組桿件的長度。約束條件包括：

式中，（A）為應力約束；（A）為位移約束；K為總的桿件數(shù)；σt為最不利應力； ［σt］為容許應力；ujl為節(jié)點j在方向l上的最不利位移；［ujl］為節(jié)點j在方向l上的容許位移；m為節(jié)點總數(shù)；w為節(jié)點位移約束的維數(shù)；Amin為桿件截面積的下限；Amax為桿件截面積的上限；為第k坐標的下限；為第k坐標的上限；z為節(jié)點變量數(shù)。

2 改進的螢火蟲算法

自身亮度和吸引度是螢火蟲彼此間的吸引能力的2個關鍵因素［13］。其中，每一個螢火蟲所在的位置都代表了一個目標初始解，該位置決定該螢火蟲發(fā)出的熒光亮度，位置越好亮度越高，目標值越佳。每個螢火蟲的吸引度與其自身的熒光亮度相關，越亮吸引度越大，較暗的螢火蟲會自發(fā)的向較亮的螢火蟲方向移動，同時吸引度會隨彼此間距離的增加而減??；若亮度相同，則隨機移動。算法的數(shù)學描述如下。

熒光亮度：

式中，I0為螢火蟲的最大熒光亮度；γ為光強吸收系數(shù)，一般為常數(shù)；rij為螢火蟲i和j之間的空間距離。

吸引度為：

式中，β0為最大吸引度。

位置更新公式：

式中，xi、xj為螢火蟲i和j的所在位置；α為步長因子，一般為常數(shù)，且在［0，1］之間取值；rand為［0，1］上服從均勻分布的隨機因子。

螢火蟲算法雖然在全局尋優(yōu)的問題上具有很大的優(yōu)勢，但算法自身也存在著一些不可忽視的缺陷：對初始解的分布具有較強的依賴性、易于在早期發(fā)生停滯、求解結果精度低和后期收斂速度緩慢等［14，15］。

為了避免FA出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，減少陷于局部最優(yōu)的可能，因此，在螢火蟲位置的初始化時，利用Logistic方程（7）對初始解群進行分布：

式中，Xk為映射到［0，1］區(qū)間的變量；μ為控制參數(shù)。

設置最大迭代次數(shù)Np，進行全局搜索，針對全局最優(yōu)解，依式（8）：

作高斯擾動。其中，NGbest為擾動后的位置。

然后依式（9）求最終最優(yōu)解Gbest：

尋優(yōu)流程如圖1所示。

3 實例應用

圖2所示為37桿桁架橋結構，長10m，高1m，桿件各節(jié)點坐標如表1所示?，F(xiàn)假設下弦各節(jié)點受到垂直向下的節(jié)點荷載（P＝10kN）作用，且已知橫架橋結構的對稱性在荷載作用和優(yōu)化的過程中不變，節(jié)點10的豎向位移最大值為10mm，各連接桿材料相同且同為圓桿，彈性模量E＝220GPa，密度ρ＝7900kg／m3，最小截面積為60mm2，允許應力σcr為265MPa。

依實例，建立目標函數(shù)，在已知相關基本參數(shù)的條件下建立滿足強度、剛度和穩(wěn)定性等條件的約束方程。應用改進的螢火蟲算法對其進行優(yōu)化，步驟如下：

Step 1 依實例初始化：m為螢火蟲種群個體數(shù)量，N為螢火蟲種群規(guī)模，γ為熒光強度吸收系數(shù)，β0為螢火蟲最大吸引度，maxT為迭代閥值；

Step 2 螢火蟲位置初始化：選擇綜合表現(xiàn)優(yōu)秀的螢火蟲個體設定為實踐案例中可行解空間的初始個體；

Step 3 由式（4）變新熒光亮度；式（5）變新吸引度；式（6）變新位置；

圖1 算法的流程圖

Step 4 由式（8）對局部最優(yōu)值做高斯擾動，式（9）求出的全局最優(yōu)值；

Step 5 如果滿足停機準則，則停止；否則轉入Step 3，進行下一循環(huán)繼續(xù)尋優(yōu)，迭代次數(shù)＋1；

Step 6 輸出Gbest且結束算法。

圖2 桁架的初始設計

表1 37桁架桿各節(jié)點坐標

局部穩(wěn)定性約束為：

設計變量：

優(yōu)化結果見表2，優(yōu)化形狀見圖3。

表2 37桿桁架橋形狀優(yōu)化結果比較

由表2和圖4可知，改進的螢火蟲算法經(jīng)過大約350次迭代，曲線己無限接近收斂值，且結果優(yōu)于其他算法。

圖3 形狀優(yōu)化結果

圖4 迭代次數(shù)

4 結語

筆者基于結構優(yōu)化的相關理論，結合37桿桁架橋結構案例，建立了桁架橋結構的數(shù)學模型，引入螢火蟲算法并采用Logistic方程和高斯干擾對其改進，利用改進后的螢火蟲算法對37桿桁架橋結構的數(shù)學模型進行了優(yōu)化計算，該研究為結構優(yōu)化設計提供了一種新的思路和方法。

［1］宋述芳，呂震宙 .基于高階矩的穩(wěn)健優(yōu)化設計研究 ［J］.力學學報，2012，44（4）：735～744.

［2］張瑞軍，邱繼偉，賈慶軒 .基于靈敏度附加項的多目標可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設計 ［J］.應用基礎與工程科學學報，2013，21（4）：777～785.

［3］柳春光，張士博，柳英洲 .基于全壽命抗震性能的近海橋梁結構多目標優(yōu)化設計方法 ［J］.大連理工大學學報，2015，55（1）：39～46.

［4］楊繼超，戴宗妙 .不確定載荷下剛架體結構穩(wěn)健優(yōu)化設計 ［J］.哈爾濱工程大學學報，2015，36（5）：1～6.

［5］王曉軍，王磊，賈曉 .基于非概率凸模型可靠性的結構優(yōu)化設計 ［J］.北京航空航天大學學報，2012，38（5）：630～635.

［6］Mohammed Jameel1，Saiful Islam A B M，Raja Rizwan Hussain，et al.Optimum Structural Modelling for Tall Buildings［J］.The Structural Design of Tall and Special Buildings，2013，22：1173～1185.

［7］Sabouri－Ghomi S，Payandehjoo B.Investigating the effect of stiffness and strength of each component on overall stiffness and strength of yielding damped braced core（YDBC）［J］.The Structural Design of Tall and Special Buildings，2011，20（7）：747～756.

［8］Giuseppe Quaranta，Alessandra Fiore，Giuseppe Carlo Marano.Optimum Design of Prestressed Concrete Beams Using Constrained Differential Evolution Algorithm ［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2014，49（3），441～453.

［9］AndréTeófilo Beck，Wellison Joséde Santana Gomes.A Comparison of Deterministic，Reliability－Based and Risk－Based Structural Optimization Under Uncertainty ［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2012，28：18～29.

［10］Yang Xinshe.Firefly Algorithms for Multimodal Optimization ［A］.SAGA’09：Proceedings of the 5th International Conference on Stochastic Algorithms：Foundations and Applications ［C］.Berlin：Springer－Verlag，2009：169～178.

［11］Fister Iztok，F(xiàn)ister Jr.Iztok，Yang Xinshe，et al.A Comprehensive Review of Firefly Algorithms［J］.Swarm and Evolutionary Computation，2013，13：34～46.

［12］張成，吳慧，高博青 .非概率不確定性結構的魯棒性分析 ［J］.計算力學學報，2013，30（1）：51～56.

［13］Rahmani A，Mirhassan S A.A Hybrid Firefly－Genetic Algorithm for the Capacitated Facility Location Problems［J］.Information Sciences，2014，238：70～78.

［14］Gandomi A H，Yang Xinshe S，Talatahari A H.Alavi，F(xiàn)irefly Algorithm with Chaos［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18：89～98.

［15］Yang Xinshe，DEB S.Eagle Strategy Using Walk and Firefly Algorithms for Stochastic Optimization ［J］.Studies in Computational Intelligence，2010，284：101～111.

［16］李麗娟，黃志斌，劉鋒 .啟發(fā)式粒子群優(yōu)化算法及其在空間結構優(yōu)化中的應用 ［J］.空間結構，2008，14（3）：47～55.

［17］王棟，張衛(wèi)紅，姜節(jié)勝 .桁架結構形狀與尺寸組合優(yōu)化 ［J］.應用力學學報，2002，19（3）：72～76.