聶建軍 （中原工學(xué)院機(jī)電學(xué)院，河南 鄭州450001）

吳笑偉 （河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車學(xué)院，河南 鄭州450005）

變異五桿切削機(jī)構(gòu)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡豐富，能夠?qū)崿F(xiàn)各種異形斷面的切削以滿足實(shí)際隧道的需要，因而可以作為異形盾構(gòu)切削的高精度、高轉(zhuǎn)速、高負(fù)載且柔性較大的多自由度閉環(huán)混合驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)［1～5］的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)。由于該機(jī)構(gòu)屬于阿蘇爾運(yùn)動(dòng)鏈或阿蘇爾組（阿式分類Assur group）的二級(jí)機(jī)構(gòu)［6，7］，能夠采用解析法得到機(jī)構(gòu)中已知的尺寸參數(shù)、運(yùn)動(dòng)變量與未知的運(yùn)動(dòng)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式［8，9］，把機(jī)構(gòu)分析與機(jī)構(gòu)綜合相聯(lián)系，以便對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行更深入的研究。下面，筆者應(yīng)用桿組理論對(duì)混合驅(qū)動(dòng)變異五桿切削機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，以獲得該機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)與輸入運(yùn)動(dòng)的位置、速度及加速度之間的關(guān)系，為進(jìn)行切削機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

1 復(fù)數(shù)矢量法

復(fù)數(shù)矢量法是公認(rèn)的用于復(fù)雜多桿平面連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的最好方法，以機(jī)構(gòu)各桿件作為向量［10］，把在復(fù)平面上的連接過(guò)程用復(fù)數(shù)形式加以表達(dá)，對(duì)包括結(jié)構(gòu)參數(shù)和時(shí)間參數(shù)的解析式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后，即可得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能。

1.1 矢量的復(fù)數(shù)表示

平面內(nèi)的點(diǎn)與矢量一一對(duì)應(yīng)，而平面內(nèi)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)也是一一對(duì)應(yīng)的，故可以建立復(fù)數(shù)與平面矢量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

設(shè)單位矢量以復(fù)數(shù)表示為：

圖1中所示的矢量可表示為：

圖1 復(fù)數(shù)矢量及其導(dǎo)數(shù)

式中，r為矢量的模；θ為的幅角（逆時(shí)針為正）；為矢量在實(shí)軸（x軸）上的投影；為在虛軸（y軸）上的投影。

1.2 復(fù)數(shù)矢量的導(dǎo)數(shù)

M點(diǎn)的速度vM和加速度aM分別為式（2）對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：

式（3）的運(yùn)動(dòng)學(xué)意義表明，M點(diǎn)的速度vM由2部分組成：第1項(xiàng)表示徑向速度，第2項(xiàng)表示切向速度。式（4）的運(yùn)動(dòng)學(xué)意義表明，M點(diǎn)的aM由4部分組成：第1項(xiàng)和第2項(xiàng)表示徑向加速度，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)表示切向加速度。如果M為滑塊上的點(diǎn)，且該滑塊沿轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)軌OM移動(dòng)，則第1項(xiàng)表示M相對(duì)導(dǎo)桿OM的相對(duì)加速度，第2項(xiàng)表示牽連向心加速度，第3項(xiàng)表示哥氏加速度，第4項(xiàng)表示牽連切向加速度。

2 變異五桿切削機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

采用復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析，需要首先在給定的機(jī)構(gòu)示意圖中畫封閉矢量回路圖，然后按封閉矢量以復(fù)數(shù)形式得到機(jī)構(gòu)位置矢量方程，并依次將位置方程對(duì)時(shí)間求一階、二階導(dǎo)數(shù)即可得到速度和加速度矢量方程，即先進(jìn)行位置分析，再進(jìn)行速度分析和加速度分析，可以最大限度地減少未知變量個(gè)數(shù)，且方程形式簡(jiǎn)單，易于求解。

圖2所示為變異五桿切削機(jī)構(gòu)示意圖，取鉸鏈A為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xAy。桿l1由常速電機(jī)驅(qū)動(dòng)，桿l4由可控電機(jī)驅(qū)動(dòng)，P點(diǎn)為輸出點(diǎn)，則其軌跡方程為：

2.1 變異五桿切削機(jī)構(gòu)的位置方程分析

各構(gòu)件的尺寸參數(shù)l1、l2、l3、l4、l5、l6和2原動(dòng)件l1、l4的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，即相位角θ1和θ4、角速度和、角加速度和為已知條件。

1）以 Ⅱ 級(jí)桿組ABC分析B、C點(diǎn)及θ1、θ2。B點(diǎn)的位置方程為：

圖2 混合驅(qū)動(dòng)變異五桿切削機(jī)構(gòu)

ABC回路的復(fù)數(shù)矢量方程為：

將式（7）沿坐標(biāo)軸x、y方向分解，則得到C點(diǎn)的位置方程：

亦即：

由圖2得：

2）以Ⅱ級(jí)桿組ABP分析P點(diǎn)及θP。ABP回路的復(fù)數(shù)矢量方程為：

將式（12）沿坐標(biāo)軸方向分解為標(biāo)量形式，則得P點(diǎn)的位置方程：

亦即：

由圖2得：

式中，θP＝arctan2（xP，yP）表示雙輻角反正切函數(shù)；sgn（yP）表示符號(hào)函數(shù)：

3）以Ⅱ級(jí)桿組CDE分析D點(diǎn)及θ3、θ4。D點(diǎn)的位置方程為：

由圖2得：

將式（20）代入式（17）得D點(diǎn)位置為：

2.2 變異五桿切削機(jī)構(gòu)的速度方程分析

1）以Ⅱ級(jí)桿組ABC分析B、C點(diǎn)的速度。將式（6）和式（8）分別對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得B點(diǎn)和C點(diǎn)的速度方程分別為：

2）以 Ⅱ 級(jí)桿組ABP分析P點(diǎn)的速度及。將式（13）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得P點(diǎn)的速度方程為：

將式（12）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得：

根據(jù)式（1），分離式（25）的實(shí)部和虛部并整理得：

用克萊姆法則解方程組（26）得：

3）以Ⅱ級(jí)桿組CDE分析D點(diǎn)速度及。將式（17）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得D點(diǎn)的速度方程為：

CDE回路的復(fù)數(shù)矢量方程為：

將式（30）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得：

根據(jù)式（1），分離式（31）實(shí)部和虛部并整理得：

列出ACE回路的復(fù)數(shù)矢量方程：

將式（33）沿x、y方向分解為標(biāo)量形式得：

將式（34）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得：

由式（35）和式（32）得：

用克萊姆法則解方程組（36）得：

2.3 變異五桿切削機(jī)構(gòu)的加速度方程分析

1）以Ⅱ級(jí)桿組ABC分析B、C點(diǎn)的加速度。將式（6）對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得B點(diǎn)的加速度方程為：

將式（8）對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得C點(diǎn)的加速度方程為：

2）以Ⅱ級(jí)桿組ABP分析P點(diǎn)加速度及¨θP、¨θ2。將式（13）對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得P點(diǎn)的加速度方程為：

將式（12）對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)并整理得：

由式（1），分離式（42）的實(shí)部和虛部得：

式中：

用克萊姆法則解方程組（43）得：

3）以Ⅱ級(jí)桿組CDE分析D點(diǎn)加速度及。將式（17）對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得D點(diǎn)加速度方程為：

將式（30）對(duì)時(shí)間求二階微分并整理得：

由式（1），分離式（47）的實(shí)部和虛部得：

式中：

用克萊姆法則解方程組（48）得：

3 結(jié)語(yǔ)

利用復(fù)數(shù)矢量法對(duì)異形盾構(gòu)變異五桿切削機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，推導(dǎo)了變異五桿切削機(jī)構(gòu)的位置方程、速度方程和加速度方程，得到了輸出運(yùn)動(dòng)與輸入運(yùn)動(dòng)的位置、速度以及加速度之間的關(guān)系。在后續(xù)的研究中，將根據(jù)不同異形斷面切削的實(shí)際需要進(jìn)一步分析可控電機(jī)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并在此研究基礎(chǔ)上進(jìn)行該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模擬，為該機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)用提供技術(shù)支持。

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