周 煜，孫賽龍，王昊塵

Zhou Yu，Sun Sailong，Wang Haochen

（北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191）

曲軸是內(nèi)燃機(jī)中最重要的運(yùn)動(dòng)部件之一，在工作過程中，曲軸的每個(gè)曲拐上都作用著大小和方向呈復(fù)雜周期變化的作用力，可能在發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)發(fā)生共振，從而產(chǎn)生噪聲和與曲軸相連齒輪系的磨損，甚至使曲軸扭斷[1]。隨著內(nèi)燃機(jī)向輕量化和高速化方向發(fā)展，扭振成為曲軸破壞的主要原因。因此對(duì)曲軸進(jìn)行扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)分析對(duì)曲軸的合理設(shè)計(jì)具有重要意義。

相關(guān)研究[2-4]在進(jìn)行曲軸的模態(tài)分析時(shí)，多同時(shí)對(duì)曲軸的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行分析，而且很少考慮曲拐上連桿大頭旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及活塞組、連桿小頭等往復(fù)質(zhì)量的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)曲軸固有頻率產(chǎn)生的影響。曲軸的彎曲剛度一般很大，很少因彎曲振動(dòng)引起破壞，為使研究更有針對(duì)性，文中針對(duì)某型號(hào)兩缸汽油機(jī)曲軸模型的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行了模態(tài)分析，求出各階固有頻率和振型。并對(duì)附加集中質(zhì)量和未加集中質(zhì)量的 2種三維有限元模型進(jìn)行了對(duì)比，為曲軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。

1 計(jì)算模型的建立

1.1 模態(tài)分析的基本方程

用有限元方法將連續(xù)結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元組成的模型，其結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)平衡方程[5]為

式中，M 為總質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為總剛度矩陣，˙˙u為加速度向量，˙u為速度向量，u為位移向量，F(xiàn)(t)為整體載荷向量。固有頻率可以通過分析結(jié)構(gòu)在無載荷時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)得到，此時(shí)不考慮阻尼，式（1）簡化為無阻尼的自由振動(dòng)方程

由此得到特征值問題方程

式中，ω為自由振動(dòng)的固有頻率，φ為特征向量。求解式（3）即可求出離散模型的固有頻率和相應(yīng)振型。

1.2 曲軸模型基本參數(shù)

以某型號(hào)兩缸二沖程汽油發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸為對(duì)象進(jìn)行扭振模態(tài)分析，曲軸模型幾何參數(shù)見表1。

表1 曲軸模型的幾何參數(shù)

1.3 三維模型

采用整體曲軸模型，在三維實(shí)體設(shè)計(jì)軟件UG中建立曲軸的三維模型，計(jì)算曲軸作為一個(gè)整體在轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的自由振動(dòng)特性。根據(jù)相關(guān)研究經(jīng)驗(yàn)，在建模過程中，綜合考慮有限元分析的計(jì)算工作量以及計(jì)算精度要求，對(duì)曲軸模型進(jìn)行適當(dāng)簡化，忽略對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大的圓角和油道，建成的三維曲軸模型如圖1所示。

進(jìn)行曲軸的扭振模態(tài)分析時(shí)，除了曲軸本身各元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量外，曲拐上連桿大頭旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及活塞組、連桿小頭等往復(fù)質(zhì)量的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也會(huì)對(duì)曲軸扭振的固有頻率產(chǎn)生影響。因此，采用 2種模型進(jìn)行對(duì)比分析，一種為直接由 UG導(dǎo)入有限元分析軟件中的曲軸三維模型，另一種為在導(dǎo)入的三維模型的基礎(chǔ)上，在曲軸兩個(gè)曲拐中心位置添加相應(yīng)集中質(zhì)量，如圖 2所示。

1.4 有限元模型

在有限元分析軟件中為模型添加材料屬性，曲軸所用材料為 40Cr，該材料的主要力學(xué)性能見表2。

表2 40Cr的主要力學(xué)性能

根據(jù)曲軸模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇有限元分析系統(tǒng)單元庫中的4節(jié)點(diǎn)線性四面體單元C3D4對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格數(shù)量為48340個(gè)。網(wǎng)格劃分后模型如圖3所示。

1.5 邊界條件

在曲軸的模態(tài)分析中計(jì)算曲軸在無載荷時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此不加載任何力邊界條件，只加載約束邊界條件。因要分析曲軸扭轉(zhuǎn)方向上的自由振動(dòng)，因此限制曲軸在其他方向上的運(yùn)動(dòng)。建立柱坐標(biāo)系，在其中約束曲軸所有節(jié)點(diǎn)的徑向和軸向的自由度，保留其繞 Z軸旋轉(zhuǎn)的自由度。添加約束后的有限元模型如圖4所示。

2 模態(tài)分析結(jié)果

利用Lanczos模態(tài)分析方法，分別提取加集中質(zhì)量和未加集中質(zhì)量2種曲軸模型的前5階模態(tài)。2種模型的固有頻率值見表3，振型如圖5～圖10（僅給出前3階）所示。

表3 曲軸模型的固有頻率

由模態(tài)分析的計(jì)算結(jié)果可知，2種模型的第1階固有頻率近似為零，為轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)，可以不考慮在內(nèi)，因此加集中質(zhì)量和未加集中質(zhì)量的 2種模型的最低扭振固有頻率分別為 6431 Hz和7722 Hz。發(fā)動(dòng)機(jī)的標(biāo)定轉(zhuǎn)速為7500 r/min，對(duì)應(yīng)的頻率為125 Hz。2種模型的最低階扭振固有頻率均高于發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的頻率，曲軸發(fā)生共振的可能性較小。從2種模型前5階固有頻率對(duì)比中可以看出，添加的集中質(zhì)量使曲軸模型的總體質(zhì)量增加，曲軸模型的固有頻率值降低，各階振型的振動(dòng)型式也有所不同。2種模型的2階振型相似，振型的節(jié)點(diǎn)位置位于2曲拐之間，2曲拐轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。未加集中質(zhì)量曲軸的 3階振型的節(jié)點(diǎn)位置位于2曲拐兩側(cè)，2個(gè)曲拐轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，而與 2曲拐間的曲柄臂轉(zhuǎn)向相反；加集中質(zhì)量曲軸的 3階振型，由于曲拐處集中質(zhì)量的影響，振動(dòng)主要發(fā)生在曲拐兩側(cè)的曲柄臂處，曲拐振動(dòng)較小。

3 結(jié) 論

針對(duì)曲軸軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率特性進(jìn)行了有限元分析，求出其前 5階固有頻率和振型。由于其最低階扭振固有頻率高于發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的頻率，曲軸發(fā)生共振的可能性較小。

通過對(duì)加集中質(zhì)量和未加集中質(zhì)量 2種模型的對(duì)比分析可知，曲拐上連桿大頭旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和活塞組、連桿小頭等往復(fù)質(zhì)量的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)曲軸扭振的固有頻率有很大的影響。在對(duì)曲軸進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，考慮活塞組和連桿的影響對(duì)模型的特定位置添加相應(yīng)的集中質(zhì)量，可以使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

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