《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》第七條指出，“要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里”[1].可以說，把握教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)是實現(xiàn)有效教學(xué)的根基.不論課堂教學(xué)形式怎樣變化，教師教學(xué)技能多么高超，如果一個教師不能深刻認(rèn)識并準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，就不能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，也就不能實現(xiàn)學(xué)習(xí)中的有效遷移.

因此，教師必須深刻理解所教內(nèi)容的本質(zhì)，把握知識之間的縱橫聯(lián)系，并在教學(xué)中，合理選用、恰當(dāng)運(yùn)用教學(xué)方法或方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用聯(lián)系的觀點指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，認(rèn)識內(nèi)容本質(zhì)，并在持續(xù)的學(xué)習(xí)中通過相互詮釋意義，進(jìn)一步深刻理解這一本質(zhì)，進(jìn)而在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容過程中實現(xiàn)思維的“正遷移”，從而不斷提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力.

1 提出問題

例如“等比數(shù)列的前n項和”是數(shù)列這一章的重要內(nèi)容之一，特別是等比數(shù)列前n項和公式及其推導(dǎo)更是重中之重.在眾多的推導(dǎo)方法中，教材中選擇的所謂“錯位相減法”尤為重要，主要是因為此法可以解決一類數(shù)列求和問題，更具有一般性.

但是在實際教學(xué)中，很多教師都對這個公式推導(dǎo)過程中，等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（q≠0，1）兩邊同時乘以公比q感到難以理解，學(xué)生更是在這種模模糊糊、似懂非懂的教學(xué)中感到一頭霧水，最后只得記住結(jié)論會應(yīng)用、記住步驟會操作罷了.到底乘以公比q是怎么想到的？理論根源到底是什么卻始終不能參透.

有的教師認(rèn)為：“錯位相減法”的本質(zhì)可以類比等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)過程中的“倒序相加法”，即構(gòu)造一個新的式子，通過兩式的線性運(yùn)算，得到一組常數(shù)列，從而推出公式.但是此種說法還是不能很自然地解釋“等式兩邊同時乘以公比q是如何想到”的.那么等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法到底是如何想到的呢？

2 本質(zhì)探尋

我們先來看下面的事實.

在整式乘法中，平方差公式是一個重要的恒等式，我們總是習(xí)慣寫成如下形式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

其實，如果寫成（a-b）（a+b）=a2-b2的形式，通過類比會得到下面一系列式子：

（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，

（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4，

……

（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn.

如果我們令上式中的a=1，b=q，就得到下面的式子：

（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn.

對比等比數(shù)列前n項和的式子Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，不難發(fā)現(xiàn)：如果等式的右邊提出公因式a1，等式就變成了Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）的形式.而其中的一部分因式與等式（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn中的一部分因式完全相同.于是就會想到，如果在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的兩邊同都乘以1-q，便會得到：

（1-q）Sn=a1（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）. （1）

即（1-q）Sn=a1（1-qn），當(dāng)q≠1時，就得到了等比數(shù)列的前n項和公式的一種表達(dá)式.

觀察（1）式還可以發(fā)現(xiàn)，此式可以看成是在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 （2）兩邊同時乘以公比q，得到等式qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn （3），然后（2）和（3）兩式再對應(yīng)相減而得到的.至于為什么要“錯一位”，則是在等式相減的過程中，注意到了兩個式子中有一些相同項，為了兩式做減法更為方便直觀而進(jìn)行的一種“技術(shù)操作”.

因此，“錯位相減法”的本質(zhì)問題也就是教學(xué)難點，既不在于錯位，也不在于相減，而是為什么要在等式（2）兩邊同時乘以公比q，理解了這個本質(zhì)問題，“錯位相減”這一方法就會顯得自然而然.

至此，我們看到了在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式中“等式兩邊同時乘以公比q是如何想到的”這一本質(zhì)問題的內(nèi)因.教學(xué)中，如果能夠抓住這個本質(zhì)問題，就可以在此基礎(chǔ)上，探索出新的推導(dǎo)方法.比如：

因為Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

變形得Sn=a1+q（a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2），

即Sn=a1+qSn-1.

進(jìn)一步變形可以得到Sn=a1+q（Sn-1+a1qn-1-a1qn-1），

即Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

移項得到（1-q）Sn=a1（1-qn），以下略.

3 基本結(jié)論

“大道至簡”，從上面對等比數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)過程中所運(yùn)用的“錯位相減法”本質(zhì)的認(rèn)識和理解過程，我們不難看出，對方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識越是深刻，對數(shù)學(xué)方法本身的理解就越會是自然的，越會覺得這個方法是簡單的，而這樣自然簡單的方法當(dāng)然是值得推廣的，至少可以解決一類這樣的問題.

盡管“學(xué)之道在于悟”，但是如果缺少了教師適時、適當(dāng)、適度地點撥和指導(dǎo)，學(xué)生又如何想的深、悟的透.僅僅依賴學(xué)生自身領(lǐng)悟能力的“悟”，必然導(dǎo)致讓學(xué)生在大量機(jī)械重復(fù)的練習(xí)中，自己去感悟所學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的情形，耗時費(fèi)力，效果甚微[2].

章建躍博士在文章《追求數(shù)學(xué)課堂的本來面目》提出了“三個理解”的觀點，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)這一有效教學(xué)的觀點，其中，理解數(shù)學(xué)是第一位的.因此，深刻把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，準(zhǔn)確抓住教學(xué)過程的真實問題是教師科學(xué)施教的根基.

深刻理解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，需要教師認(rèn)真研讀整節(jié)、整章、乃至整個學(xué)科的全套教材，將本節(jié)課的內(nèi)容放置于一章、一個模塊甚至整個中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中來審視，明了本節(jié)知識在整個中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中的地位和作用，明晰知識之間縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系[3].特別是，要充分利用先行知識為后續(xù)學(xué)習(xí)的知識提供穩(wěn)定的認(rèn)知固著點，并能夠有效利用后續(xù)的知識較為全面和理性地詮釋先行的知識，從而做到在整體上和系統(tǒng)上準(zhǔn)確把握教材，引導(dǎo)學(xué)生理解內(nèi)容本質(zhì)，解決真實問題，這樣做也可以避免一步到位，提高教材使用的有效性.

例如，三角函數(shù)起源并服務(wù)于平面幾何，是圓的幾何性質(zhì)的一種解析表達(dá).而三角公式實質(zhì)上就“脫胎”于幾何命題.為了促進(jìn)學(xué)生抓住三角函數(shù)的“靈魂”，避免把公式的理解陷于機(jī)械記憶與訓(xùn)練的窠臼，教師需要設(shè)計有效的教學(xué)情境，增強(qiáng)學(xué)生的直觀操作和感性認(rèn)識，使學(xué)生不僅能夠看到形式公式內(nèi)部隱藏的幾何背景，還可以使學(xué)生感悟到平面幾何法研究三角的真正價值，并且領(lǐng)悟到知識的形式演變與研究動機(jī)之間的內(nèi)在聯(lián)系[4].同時，教師還要抓住三角函數(shù)與向量、函數(shù)等相關(guān)知識之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)識和整體把握知識.

當(dāng)然，深刻理解數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，還需要教師認(rèn)真仔細(xì)地分析教材的編寫意圖，特別是要深入體會教材中一些重要欄目的教法預(yù)設(shè)，明確這些欄目的教學(xué)作用.另外，在教學(xué)設(shè)計與實施的過程中，教師還應(yīng)該具有文獻(xiàn)研究意識，對某一數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展歷史、相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)研究現(xiàn)狀以及存在的問題進(jìn)行文獻(xiàn)梳理，在充分研究的基礎(chǔ)上結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗，創(chuàng)造性的開展教學(xué)設(shè)計與實施.正如我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生所重視和提倡的，教學(xué)不是為了創(chuàng)造新知識，而是為了更有效的傳承知識，汲取前人的經(jīng)驗和智慧.

可以說，基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)理解基礎(chǔ)上的縱橫關(guān)聯(lián)、互相詮釋是培養(yǎng)學(xué)生理性精神和發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的有效方法.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考[J].數(shù)學(xué)通報，2011.6.

[3]章建躍.數(shù)學(xué)教育改革中幾個問題的思考[J].數(shù)學(xué)通報，2005.7.

[4]徐章韜.面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識——基于數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角[M].北京：科學(xué)出版

社，2013.119-123

作者簡介 白雪峰，男，1972年生，北京人，中學(xué)高級教師，北京市優(yōu)秀教師，北京市特級教師，北京數(shù)學(xué)會理事.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作.在全國中學(xué)數(shù)學(xué)青年教師教學(xué)觀摩與評比中獲一等獎，主持或參與了國家、市區(qū)多個課題的研究工作，多篇論文獲得全國和北京市一等獎.近年主編了《教師教學(xué)基本能力解讀與訓(xùn)練（中學(xué)數(shù)學(xué)）》《幫你邁好教師職業(yè)生涯第一步》等教師培訓(xùn)教材，參與編寫了《數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)》等10余部論著，發(fā)表數(shù)學(xué)教學(xué)論文40余篇.