蔣振濱

2016年全國(guó)高考新課標(biāo)1卷參考省份越來越多，作為一線教師，認(rèn)真細(xì)致地研究新課標(biāo)1卷是必做的功課，認(rèn)真研讀近5年試卷，從中我們可以感悟到新課標(biāo)1卷的許多特點(diǎn).

近幾年來，全國(guó)新課標(biāo)1卷理科試題難度較為穩(wěn)定，題型穩(wěn)中求變，沒有難題和怪題，試題結(jié)構(gòu)仍為12+4+5再加3選1，方法上靈活多變又不失本質(zhì).注重考查學(xué)生的五大能力、兩個(gè)意識(shí)，即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；注重考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，在試卷表述形式上力求簡(jiǎn)潔，方法考查上力求回歸本質(zhì)，在新增內(nèi)容算法的考查上，把最基本的數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)知識(shí)作為考查對(duì)象，刪減繁瑣的計(jì)算，摒棄人為技巧化的難題，克服雙基異化傾向，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本文就新課標(biāo)卷的試題特點(diǎn)、思想方法、選拔功能做些探究.

1 試題結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔美

簡(jiǎn)潔美體現(xiàn)在試題形式的一目了然，卻又不失方法考查的深刻性，一道好題，不在試題本身的“山路十八彎”，應(yīng)讓學(xué)生一看便知，想去做、會(huì)去做，但要做對(duì)做全，卻又不太容易，如2014年高考試題的第11題.題目：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是（ ）.

A.（2，+∞） B.（1，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，-1）

解 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x2+1=0，解得x=±3[]3[SX）]，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，令f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-2[]a[SX）]）=0，解得x=0或x=2[]a[SX）]>0，列表如下：

f′（x）+0-0+

f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因?yàn)閤→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1>0，所以存在x<0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，應(yīng)舍去.

當(dāng)a<0時(shí)，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-2[]a[SX）]）=0，解得x=0或x=2[]a[SX）]<0，列表如下：

f′（x）-0+0-

f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

而f（0）=1>0，x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，所以存在x0>0，使得f（x0）=0，

因?yàn)閒（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，所以極小值f（2[]a[SX）]）=a（2[]a[SX）]）3-3（2[]a[SX）]）2+1>0，化為a2>4，因?yàn)閍<0，所以a<-2.

綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）.

故選：C.

本題題干簡(jiǎn)潔，給出的函數(shù)是學(xué)生所熟知的三次函數(shù)，讓學(xué)生有做好本道試題的心理準(zhǔn)備，但要做好做對(duì)它，卻有些難，因參數(shù)位置在立方項(xiàng)系數(shù)，需分類討論方能品味其內(nèi)涵，這樣的試題能多方向、多角度的考查學(xué)生的各種思維品質(zhì)，給出的函數(shù)讓人歡喜讓人憂，簡(jiǎn)潔而又不簡(jiǎn)單.

又如2014年的第12題：

如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）.

A.62[KF）] B.6 C.42[KF）] D.4圖1 圖2

解答 幾何體的直觀圖，如圖2，AB=4，BD=4，C到BD的中點(diǎn)的距離為4，所以BC=CD=22+42=25[KF）]，AC=42+（25[KF）]）2[KF）]=6，AD=42[KF）]，顯然AC最長(zhǎng).長(zhǎng)為6.故選：B.

對(duì)于三視圖的考查，全國(guó)1卷近幾年都放在較后的位置，2012年第7題，2013年第8題，2014年第12題，2015年第11題，對(duì)空間想象能力的要求昭然若揭，2014年的這道題，直接給出網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，簡(jiǎn)潔至極，削去了許多標(biāo)注，簡(jiǎn)化了許多描述，在學(xué)生眼中很是常規(guī)，但要還原為直觀圖卻并非易事，可借助正方體，將三視圖逐個(gè)嵌入還原，思維含量高，對(duì)空間想象能力要求高，試題簡(jiǎn)潔卻又有一定的思維含量.

2 試題能力考查的深刻性

近幾年全國(guó)新課標(biāo)1卷強(qiáng)調(diào)以能力立意，考查能力就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，把握數(shù)學(xué)的整體意義，全國(guó)新課標(biāo)1卷對(duì)各種能力考查應(yīng)有盡有，其中數(shù)據(jù)處理能力的考查讓筆者印象深刻，2010年考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，2012年考查利潤(rùn)分布列與數(shù)學(xué)期望，2014年考查頻率分布直方圖與正態(tài)分布，二項(xiàng)分布綜合，2015年考查回歸方程，試題年年都以新姿態(tài)呈現(xiàn)，一年一個(gè)新，傳統(tǒng)式教學(xué)難以應(yīng)對(duì)這些試題，新課標(biāo)以思維能力為核心強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性的教學(xué)模式值得探究，現(xiàn)以2014年與2015年為例做些說明.

2014年試題：從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖（圖3）：圖3

（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（Ⅱ）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.

（?。├迷撜龖B(tài)分布，求P（187.8

（ⅱ）某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（?。┑慕Y(jié)果，求EX.

附：150[KF）]≈12.2.

若Z～N（μ，σ2）則P（μ-σ

解答 （Ⅰ）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

s2=（-30）2×0.02+（-20）2×0.09+（-10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲猌～N（200，150），從而P（187.8

=0.6826；

（ⅱ）由（ⅰ）知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，

依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26.

本題主要考查頻率分布直方圖的統(tǒng)計(jì)原理，離散型隨機(jī)變量的期望和方差，以及正態(tài)分

布的特點(diǎn)及概率求解，考查運(yùn)算求解能力，第1小題較為常規(guī)，考查樣本平均數(shù)與樣本方差

的基本統(tǒng)計(jì)知識(shí)，第2步讓筆者眼前一亮，給出“3σ原則”數(shù)據(jù)，巧妙地考查了正態(tài)分布的μ

和σ，既減輕了學(xué)生背3σ原則的繁瑣性，又考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，重視應(yīng)用，避開

難題怪題，對(duì)學(xué)生能力的考查很是深刻，一味的背誦、大量的題海戰(zhàn)術(shù)、傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)已經(jīng)跟不上高考改革.

2015年試題：某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到散點(diǎn)圖（圖4）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.圖4

∑8i=1（xi-）2∑8i=1（wi-）2∑8i=1（xi-）（yi-）∑8i=1（wi-）（yi-）

46.65636.8289.81.61469108.8

表中wi=xi，=18∑8i=1wi.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+dx哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：

（?。┠晷麄髻M(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

（ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：[AKβ^]=∑ni=1（ui-）（vi-）∑ni=1（ui-）2，[AKα^]=[AKv-D]-[AKβ^][AKu-D].

解析 （1）y=c+dx適宜，由圖像分析可知符合拋物線的方程.

（2）d=∑8i=1（wi-）（yi-）∑8i=1（wi-）2=108.81.6=68，

=-d=563-68×6.8=100.6，

所以y=68x+100.6.

（3）z=0.2y-x=13.6x+20.12-x=-x+13.6x+20.12，由x=49可得z=-49+13.6×7+20.12=66.32，z=-（x）2+13.6x+20.12，當(dāng)x=6.8可得x=46.24時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大

本道題考查散點(diǎn)圖，回歸方程，試題新穎，不偏不怪，給出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，需要學(xué)生能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息，并作出判斷，會(huì)整理分析并解決問題，對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力要求較高，有很好的考查功能.

3 試題選拔功能的加強(qiáng)

高考試題是為高等學(xué)校招生服務(wù)的，它的功能就是選拔，近幾年的全國(guó)1卷的第21題均考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，對(duì)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力要求很高，有很高的信度、效度和區(qū)分度，現(xiàn)以2015年全國(guó)1卷第21題為例作說明.

2015年試題：已知函數(shù)f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx

（Ⅰ）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解析：

（Ⅰ）根據(jù)已知，f′（x）=3x2+a，若x軸為曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則可得

f′（t）=0，

f（t）=0，即3t2+a=0，

t3+at+14=0，解得a=-34，

t=12.

所以當(dāng)a=-34時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線.

（Ⅱ）當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）=3x2+a>0，于是f（x）單調(diào)遞增，而f（0）=14，于是y=f（x）與y=g（x）

有唯一交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)P∈（0，1），此時(shí)函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

當(dāng)-340，

此時(shí)y=f（x）與y=g（x）在（0，1）內(nèi)有唯一交點(diǎn)，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

當(dāng)a=-34時(shí)，此時(shí)極小值為0，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)-54

當(dāng)a=-54時(shí)，此時(shí)y=f（x）與y=g（x）相交于（1，0），函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)a<-54時(shí)，此時(shí)y=f（x）與y=g（x）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，此時(shí)函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

綜上可得，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

1，a<-54或a>-34，

2，a=-54或a=-34，

3，-54

本試題很樸素又很大氣，學(xué)生很熟悉卻又很難答滿分，會(huì)做但不太容易做全對(duì)，試題考查的區(qū)分度躍然紙上，第一題較為簡(jiǎn)單，考查曲線與直線相切有關(guān)內(nèi)容，第二步考查零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想要求較高，試題平淡無奇，卻凸顯能力，展示學(xué)生智慧，深層次考查學(xué)生綜合解題能力，其高考選拔功能不言而喻.

緊扣課本，命制試題；少些華麗，多些本質(zhì)；來點(diǎn)升華，體現(xiàn)選拔；我想這正是命制者的本意吧.