李錦昱++楊玉昌?コ滔慊?

1 整體評價

2015年高考全國各地全部進入課標高考（最早的四省區(qū)是第9個年頭），全國共命制了16套試卷，其中教育部考試中心命制2套：全國Ⅰ卷（河南、河北、山西、江西等4省使用）、全國Ⅱ卷（海南、寧夏、黑龍江、吉林、遼寧、新疆、云南、內蒙古、西藏、貴州、甘肅、青海、廣西等13省區(qū)使用），自主命題14套（廣東、山東、北京、天津、江蘇、安徽、浙江、福建、陜西、湖南、湖北、四川、重慶、上海）.試卷側重考查數(shù)學基礎素養(yǎng)，兼顧數(shù)學的選拔效能，又努力貼近中學生的實際生活；試題仍堅持以能力立意，重點考查數(shù)學學科重點知識與能力以及創(chuàng)新意識，體現(xiàn)了引領中學數(shù)學教學的“指揮棒”作用.全卷突出通性通法，不過分強調覆蓋面，在知識交匯點命題，揭示了各考點間的內在聯(lián)系.命題人大膽堅持改革與創(chuàng)新的嘗試，強調“突出中華傳統(tǒng)文化，強調學科的基礎性，重在考查獨立思考能力”，尤其是基本技能和基本數(shù)學思想方法的考查，有多處探索意識融入試題，對于日常教學有重大警醒和良好的導向作用.

2 試題特點

整套試卷（以全國Ⅰ卷II卷為藍本，涉及少量自主命題高考卷）不偏不難，試題既延續(xù)了對傳統(tǒng)主干知識點的重點考查的慣例，也刻意避開“猜押題”“題海戰(zhàn)術”，對課標內容如算法、三視圖、統(tǒng)計概率等進行了考法、命題方式、題型題量的大膽創(chuàng)新，部分古代數(shù)學典籍經典內容也得以順利進入高考，讓試卷多處出現(xiàn)諸多新意和正能量，不過試題題目難度和編排順序有待進一步精細化，布局有待合理調整.

2.1 整卷難度明顯降低，淡化壓軸題運算量，側重基礎知識技能

試卷難度構成基本符合3∶5∶2的比例，在選擇題壓軸題（文12、理11）、文科填空題（15、16）、解答題的解析幾何題“提速降費”效果明顯.例如Ⅰ卷理科試卷（1）—（4）、（7）、（9）、（10）、（13）、（14）、（15）、（17）都是考查基礎知識基本技能，大多數(shù)直觀感覺是樸實無華，但考查的廣度、深度把握的恰如其分；而（5）、（8）、（11）、（12）、（18）、（21）則重點考查學生對重點知識的理解和運用，學生分析問題、解決問題能力的試題穿插全卷

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2.2 破除難度排列慣例，突出中華傳統(tǒng)文化，增加探究思維元素

盡管試卷客觀題降低了難度，但得分并不理想，這或許和部分試題編排順序有直接關系，比如Ⅰ卷理科試卷第（5）題，以雙曲線為背景，通過向量語言的“翻譯”，借助運算和推理方可準確解答，雖然難度和運算量都不很大，但要想解答好這道題，卻并不容易（關于該題的來龍去脈，歡迎參閱筆者的《扒一扒一道高考題的演變史》）.

今年高考不少試題加入了博大精深的“中華傳統(tǒng)文化”元素，如Ⅰ卷文理科（6）將《九章算術》與錐體體積、Ⅱ卷文理科（8）將《九章算術》更相減損術與程序框圖、湖北卷文理科（2）《數(shù)書九章》與幾何概型、湖北卷文理科（19）將《九章算術》中“陽馬”“鱉臑”和現(xiàn)代立體幾何中的四棱錐、三棱錐聯(lián)系起來，這些不約而同的舉動均讓人眼前一亮.更有網友吐槽，湖北卷真的讓自己“漲姿勢”，感覺文字功底差的不是“一兩條街”！

Ⅰ卷文理科（16）、Ⅱ卷文科（11）理科（10）、廣東理科（8）等題，都以探索性知識為載體考查創(chuàng)造性應用所學知識解決具體問題的能力.解答題在加大思維量的同時，注意降低運算的難度，側重通性通法，避免特殊技巧；如Ⅰ卷理科（20）題，題干簡明，將傳統(tǒng)的橢圓與直線的關系改用拋物線與直線相切，第二問重拾存在性問題獨具匠心；Ⅰ卷文科（20）題，一改傳統(tǒng)的橢圓與直線的關系改用圓與直線的位置關系，符合新課標的基本要求.最重要的一點是，這種命題方式，有力地破除了考生對解析幾何“思路自然、運算繁難”的恐懼心理，大大降低了運算量和書寫篇幅，也一舉改寫了壓軸題幾乎得不了分的尷尬記錄.

2.3 考冷點成為新常態(tài)，不再強調覆蓋全面，重點考查應用能力

課程標準下的《考試大綱》對于考試范圍有明確的規(guī)定，但這并沒有說哪些是必考的“熱點”，哪些知識點就只能被打入冷宮成為“冷點”.比如，Ⅰ卷文理科（19）完全相同，出乎相當多人的意料，更讓人想不到的是試題涉及的知識點：散點圖、線性回歸方程、最小二乘估計、預報值等都是以前幾乎沒有涉及過的“冷點”（筆者印象中僅2007年廣東卷在解答題里考過，但今年北京卷文（14）的散點圖、重慶卷文（17）的回歸方程及預報、福建卷理（4）回歸直線方程），正是如此不常見的考法，令原本設想中的“送分題”，有相當數(shù)量的考生硬是一分未得，直接放棄.

再比如定積分、正態(tài)分布等這些冷點，2014年理（18）統(tǒng)計概率既要計算加權平均數(shù)，還要用正態(tài)分布等應用知識，2015年考試中都得到了應有的重視，如很少考定積分的天津卷理科（11）就是定積分；山東卷理科第（8）題是正態(tài)分布求概率，山東卷理科第（13）題順手將定積分安排在程序框圖中，而且還連續(xù)求兩次；福建卷理科第（13）題將定積分和幾何概型相結合；陜西卷理科第（16）題則是以定積分為背景的最大流量問題；湖南卷理科第（6）題把正態(tài)分布與幾何概型組合在一起；湖北卷理科考正態(tài)分布已經是其一大特色，今年第（4）題又如期而至（湖北高考在2009、2013年兩次以解答題形式考過正態(tài)分布）；廣東多年沒考過的期望方差也出現(xiàn)在了理科第（13）題的位置上；浙江卷甚至專門在理科第（15）題設計了一道空間向量與不等式相結合的填空題，以上列舉的示例足以說明，備考中務必要重視《考試大綱》中所涉及的所有知識點，不可專門劃分出“熱點”“冷點”而厚此薄彼.

數(shù)學應用方面，概率統(tǒng)計部分均加大了對統(tǒng)計內容的考核，這顯然是高考命題的一個重要導向：教學中不僅應該讓學生會“算統(tǒng)計”，更要會“用統(tǒng)計”.

而應用題的考查，應引導考生關注社會熱點，比如Ⅱ卷文理科（3）的二氧化硫排放，北京卷理科（8）汽車燃油效率、文科（8）汽車平均耗油量，重慶卷理（3）文（4）氣溫、文科（17）居民儲蓄存款，福建卷理科（16）銀行卡密碼安全、文科（18）全網傳播融合指數(shù)，陜西卷理科（19）交通暢通，江蘇卷（17）山區(qū)公路設計等，設計的可圈可點.

2.4 文理科差異在縮小，為文理不分科試水，探索文理合卷可能

全卷21道題（不包括最后的三選一試題），文理完全相同的選擇題增至4道（6、8、9、11）、解答題1道（19），和2014年基本不一樣相比，相同題的分值從15分加到了32分，體現(xiàn)了文理科學生在數(shù)學融合方面的趨勢（這個或許是為今后幾年開始的數(shù)學文理不分科考試做一些試水性的鋪墊），今年的概率統(tǒng)計題完全相同（往年多為姊妹題）.從結果上看文理生考試差距十分顯著，以河北省教育考試院提供的數(shù)據(jù)為例：文理科全卷平均分約為66.05分（38.12+23.77+4.16）和87.65分（44.26+35.15+8.24），相差21.60分，其差距主要體現(xiàn)在二卷的15.46分的差異上，2014年二卷文理分別約為35.8分（2013年31分）和45.2分（2013年37分）相差近10分（2013年相差6分）（2012年則為25分和35分，差10分），從以上數(shù)據(jù)不難看到，要想真正搞好數(shù)學不分科（文理科生共用一張試卷），教育部考試中心還需要多方調研，從某些有代表性的點搞實驗試點，成熟后方可大面積推廣，而不是僅僅依靠行政命令強行推廣執(zhí)行，搞“一刀切”的后果那便是很難體現(xiàn)“不同的人學不同的數(shù)學”的課標理念.

3 存在的問題及改進建議

3.1 流連數(shù)列解答題，有誤導教學之嫌

2015年高考Ⅰ卷理科（17）命題人再一次在數(shù)列這個點上命制解答題，沒有完全按照“數(shù)列與三角輪流坐莊”的“規(guī)則”出牌，出乎諸多行家預測之外，明年高考是輪換還是繼續(xù)賭數(shù)列，估計命題人實在是騎虎難下.兩套全國卷2014年理科均一選一填，文科兩套均一大，各有側重，2013年也基本如此.應該說，這幾年的數(shù)列題難度在降低，等差和等比都有所涉及，所占比例與課標課時比例相比明顯偏高，解答題里仍然主要考查錯位相減（難度也偏大）.

3.2 三角函數(shù)占比偏少，應增加基礎知識的考查

三角函數(shù)的圖象和性質試題考查偏少且較單一，區(qū)分效果不明顯.Ⅰ卷文理第（8）題雖然考查余弦型函數(shù)的圖象和性質，但可歸結為正弦型函數(shù)的圖象和性質，且一反常態(tài)圖象的周期是2k，不是2kπ，解答既可由圖象先求解析式，再根據(jù)解析式求解函數(shù)的單調遞減區(qū)間，又可先求周期，借助圖象的對稱性得出x=34是其中一條對稱軸，數(shù)形結合直接寫出圖象的單調遞減區(qū)間.既能考查學生對余弦函數(shù)圖象和性質的真正理解，又能考查學生的觀察能力、推理能力、運算求解的能力以及數(shù)形結合的思想.推陳出新的結果是得分不高.這部分的誘導公式及三角恒等變換、正弦定理與余弦定理、圖像變換、向量等都是必不可少的數(shù)學工具，命題人應下大力氣研究如何體現(xiàn)這部分試題的甄別功能.

3.3 統(tǒng)計加量適可而止，既要突出重點，也應該注重數(shù)學文化

理科還是應該突出離散型隨機變量的分布列、期望方差等知識點的考查，畢竟選修23里有計數(shù)原理和統(tǒng)計案例（各種分布都要照顧到）兩部分區(qū)別于文科的知識點.概率統(tǒng)計重點不再囿于概率，而是概率和統(tǒng)計并重（甚至后者分量超過了前者），這些是與教學要求里的課時比例相吻合的.從今年各地一擁齊上的對正態(tài)分布等知識點進行考查看（湖北卷和2014課標Ⅰ卷考大題的后遺癥），仍不宜作為重點，畢竟這部分內容課標和考綱里都不過是了解層次的要求；文科除古典概型、幾何概型外，獨立性檢驗和線性回歸分析等涉及統(tǒng)計圖表類型是新的增長點.希望數(shù)學文化和數(shù)學史的內容每年都能出現(xiàn)在試卷中，且不僅僅是點綴.

3.4 立體幾何回歸本質，注重空間想象

盡管立體幾何小題靈活（特別是對球情有獨鐘），但大題不管是證明平行垂直還是求空間角、面積和體積，師生都更青睞空間向量法（傳統(tǒng)方法本應有一席之地），機械性的“算”代替了推理論證等思維過程，從長遠看不利于空間想象能力與邏輯推理論證等考查核心的教學，命題應“折、轉、展、構造”等多法并舉，引導中學教學走向正確的軌道.另外，從提高得分的角度看，文科考生更適合機械套用空間向量法.

3.5 解析幾何再降難度，合理深挖教材

解析幾何部分的試題盡管課標高考已經將傳統(tǒng)重點線錐關系悄然轉向定義、性質、曲線與圓，形式上也有向量等載體的創(chuàng)新，但試題難度依然還有進一步降低的空間.

比如，2015年高考全國卷（Ⅰ）文第16題是一道利用定義“化曲為直求最值”的雙曲線試題：

如圖1，已知F是雙曲線C：x2-y28=1的右焦點，P是C的左支上一點，A（0，66）.當△APF周長最小時，該三角形的面積為 .圖1

點評 本題考查雙曲線的定義、性質及化曲為直求最值原則的理解（也可利用間接法計算S△APF=S△AF′F-S△PF′F=3×66-3×26=126），很好地考查了學生對等價轉化（化歸與轉化）思想、數(shù)形結合思想的駕馭程度.圖2

空間中給定圓錐和平面（截面），如圖2所示，若截面與軸垂直，則截面曲線是圓（含點圓）；若截面與一條母線平行，則截面曲線是拋物線；若截面與軸平行或與對頂圓錐頂點兩側都相交，則截面曲線是雙曲線；若截面只與圓錐頂點一側相交（不與軸垂直），則截面曲線是橢圓.

2015年浙江卷文科第7題就很好地考查了圓錐曲線的本質定義：圖3

如圖3，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是

A.直線

B.拋物線

C.橢圓

D.雙曲線的一支

思路點撥 顯然AP是以AB為軸的圓錐面的母線，因為∠PAB=30°且平面α與圓錐的軸線所成的角為60°，則截面是橢圓，故選C.

其詳細的解答可參考下面的題源：圖4

試題追蹤 （2014年5月浙江湖州二模理6）如圖4所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，點M是底面正方形ABCD內的一個動點，若直線C1D，C1M所成的角等于30°，則以下說法正確的是

A.點M的軌跡是圓的一部分

B.點M的軌跡是橢圓的一部分

C.點M的軌跡是雙曲線的一部分

D.點M的軌跡是拋物線的一部分

思路點撥 以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設正方體棱長為1，則D（0，0，0），C1（0，1，1），設M（x，y，0）（其中0≤x≤1，0≤y≤1），那么C1M=（x，y-1，-1），C1D=（0，-1，-1），直線C1D，C1M所成的角等于30°，則C1M·C1D|C1M|·|C1D|=（x，y-1，-1）·（0，-1，-1）2·x2+（y-1）2+（-1）2=32，整理可得x2+（y+1）23=1，其軌跡是橢圓的一部分.圖5

C1D與底面ABCD所成的角等于45°，直線C1D，C1M所成的角等于30°，則問題等價于以C1D為軸，母線C1M繞軸C1D旋轉形成圓錐面（如圖5），再用與軸C1D成45°角的平面ABCD截圓錐面，得到圓錐曲線部分.因為截面只與圓錐頂點一側相交，所以點M的軌跡是橢圓的一部分.

2015年高考全國卷（Ⅰ）理第20題命題人避開了熟悉的橢圓載體，轉而借助拋物線的形式，從切線入手，考查導數(shù)工具的運用.此舉雖好，卻對提高得分率沒起到預期的作用！這里，先回顧前兩年的做題情況：

2013年課標Ⅰ卷理科第20題（文科第21題）河北省理科得分率25.60%，文科5.46%，2014年課標Ⅰ卷文科第20題河北省得分率9.26%，都低的可憐！

涉及動圓圓心的軌跡問題，2011廣東卷、2013全國Ⅰ卷高考都已出現(xiàn)，它們都出自課標教材人教A版選修21（2007年2月第2版）第50頁習題2.2B組第2題及第80頁復習參考題A組第3（2）題，并且命題人刻意將教材上的圓的一般方程改成標準方程，減小了考生的運算量和思維難度，只要稍加留意這些教材上的東西，平均分決不至于出現(xiàn)尷尬的不足1分的局面！

再比如2015年高考全國卷（Ⅱ）對直線的斜率之積為-b2a2（a>b>0）做了考查，應該引起我們對于教材例習題研究的重視，其中2015年高考全國卷（Ⅱ）理科第20題是：

已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

（Ⅱ）若l過點（m3，m），延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l的斜率；若不能，說明理由.

2015年高考全國卷（Ⅱ）文科第20題是：

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，點（2，2）在C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

上面兩道20題中，文科第（Ⅱ）問kl·kOM=-12、理科第（Ⅰ）問kl·kOM=-9，對應定值都與-b2a2有關（除去常規(guī)解法外，用點差法來求解更簡單），最早2010年高考北京卷理科第14題第（1）問中的斜率之積，其實就源于課標教材人教A版選修21第41頁例3的結論.

3.6 部分題目相似度高，疑有改編之嫌

全國Ⅰ卷文理（22）題：如圖6，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E.（Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；

（Ⅱ）若OA=3CE，求∠ACB的大小.

本題的主要考點有圓的切線判定與性質、圓周角定理、直角三角形射影定理等，考點比較多，考生可能上手比較慢.圖6 圖7

來源于2009年某市期末考試題：

如圖7所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于E點，點D是BC邊的中點，連結DE.

（Ⅰ）請判斷DE與⊙O是怎樣的位置關系？請說明理由.

（Ⅱ）若⊙O的半徑為4，DE=3，求AE的長.

類似的還有北京卷文（6）與某刊物2013～2014選修（11）人教A版第3期第1版《常用邏輯用語復習指導》跟蹤練習第1題簡直一模一樣.還有浙江卷理（13）與某刊物命制的一道題目相同.

3.7 個別題目命制與2015年考試大綱有差異

2015年高考新課標卷考試大綱（文理）說明中明確指出不等式選講中的會利用絕對值的幾何意義求解ax+b≤c、ax+b≥c、x-c+x-b≥a三類絕對值不等式，而2015年全國Ⅰ卷文理（24）出現(xiàn)了求解x+1-2x-1≥1的不等式，值得商榷，如果高考命題不依賴于考試大綱的話，不利于師生備考常常提到的“靠綱務本”.

2015年全國Ⅰ卷文（21）f（x）=e2x-alnx要用到復合函數(shù)求導，也有超綱嫌疑.