鄭勛燁，陳保畢

（中國地質大學（北京）數理學院，北京100083）

小波去噪的方法很多，如小波變換模極大值法、非線性小波閾值法、平移不變量法、屏蔽相關法以及多小波法等。閾值去噪法是最常用的一種小波去噪法。

1 小波閾值去噪方法

小波閾值濾波去噪方法的原理是信號經小波變換后，其能量集中于少數小波系數［1］，由此可對變換系數進行截斷閾值，去除噪聲。

含噪信號［2］形如：

式中，s i（）為含噪信號；x i（）為原始信號；z i（）是高斯白噪聲。

從含噪信號s（i）中重建原始信號x（i），可依如下步驟［3～5］進行：①選擇合適的小波基和小波分解層數，將含噪信號作小波分解至層，得到相應的小波分解系數。②對小波系數作閾值，得到原始信號小波系數估值。③作小波逆變換，將閾值后的小波系數重構，得到原始信號。

去噪過程中的關鍵點如下：①選擇合適的小波基及小波分解層數；②選擇合適的小閾值和閾值函數。

2 選擇小波基和小波分解層數

確定合適的小波基和小波分解層數的解決方案如下：①依據小波優(yōu)越性判別標準，選擇具有較短緊支撐的正交小波基，擁有高階消失矩，對稱性良好，且具有一定的光滑性。②選定小波分解層數J，將含噪信號分解至J層，得到相應的系數。③改變小波分解層數J，重新進行分解并比較去噪結果，直至獲得最合適的小波分解層數。在去噪的過程中，信號的分解層數不宜太大，一般取4～5層即可。

3 選擇閾值和閾值函數

3.1 選擇閾值函數

常用的閾值函數包括硬閾值函數、軟閾值函數和幾乎硬閾值函數［6，7］。

硬閾值函數形如：

式中，t為閾值；γ為小波系數。

軟閾值函數形如：

另外，還有一種幾乎硬閾值函數，其定義為：

鑒于軟閾值處理方法在某些方面優(yōu)于硬閾值處理方法，筆者采用軟閾值函數。

3.2 選擇閾值t

通?？梢罁qtwolog規(guī)則、rigrsure規(guī)則、minimaxi規(guī)則和heursure規(guī)則［8，9］來選取閾值t。 以下均設含噪信號x（t）在尺度1～j（1＜j＜J）上的小波系數總個數和為n，J為二進尺度，噪聲均方差為σ。

1）通用閾值t1（sqtwolog規(guī)則）。通用閾值定義為：

2）Stein無偏風險閾值t2（rigrure規(guī)則）。基于無偏似然估計原理，計算給定閾值t的極大似然估計，再將t最小化，即得Stein無偏風險閾值。

設向量W 的元素是從小到大順序排列的小波系數的平方，即W＝（w1，w2，…，wn）且w1＜w2＜…＜wn，設風險向量R的元素為：

以最小元素值rb為風險值，由rb的下標b確定對應的wb，則Stein無偏風險閾值為：

3）試探法的無偏風險閾值t3（heursure規(guī)則）。設n個小波系數平方和為s，令：

則試探法的無偏風險閾值定義為：

4）極小極大準則閾值t4（minimaxi規(guī)則）。這是一種實現原始信號與去噪信號的最大均方誤差最小化的固定閾值，定義為：

式中，W1，k表示尺度為1的小波系數。

選擇好合適的小波基、小波分解層數以及合適的小波閾值和閾值函數，就可以對含噪信號進行小波濾波處理。

4 小波去噪性能的評價原則

評價去噪結果的原則主要有：①光滑性。去噪后信號與原信號至少同等光滑。②相似性。去噪后信號與原信號的誤差實現最小化。實踐中，分別用去噪信號與原始信號的標準差，以及去噪信號與原始信號的能量比來體現這2個原則。

此外，最關注的是去噪后的效果。對此，筆者通過信噪比來衡量。其定義如下：

式中，x（n）為處理前的音樂信號；x（n）為處理后的音樂信號。

5 小波閾值濾波音樂去噪模型及結果分析

筆者選擇不同類型的小波做仿真試驗，分別采用全局閾值和分層閾值去噪法，來觀察不同的小波選擇對去噪結果的影響。同時，選擇某種固定的小波，比較這2種去噪方法的優(yōu)劣。下面，筆者通過歌曲《butterfly》中的一段音樂信號進行去噪來對上述問題進行闡述。所添加的噪聲為隨機噪聲。

5.1 小波全局閾值去噪模型及結果分析

編寫程序，利用db4、sym8、coif5小波，分解層數為4層［10］。試驗結果如表1、圖1～3所示。

由表1、圖1～3可以看出，不論采用何種小波，全局閾值去噪法都能使信號的能量得到最大限度的保留；不同的小波對信號的能量比影響并不大，只是對信號的信噪比影響較顯著。db4小波所得的信噪比略高，這說明在信號去噪過程中小波的選擇對去噪結果有重要影響。

表1 全局閾值去噪的結果

圖1 全局閾值去噪的db4小波分解結果示意圖

圖2 全局閾值去噪的sym8小波分解結果示意圖

5.2 小波分層閾值去噪模型及結果分析

表2 分層閾值去噪的結果

全局閾值并沒有充分應用每一層所分解的小波系數。因此，作為對全局閾值去噪法的一種改進，筆者利用分層閾值對小波系數處理。試驗中，所采用的小波是db4、sym8、coif5，分解層數為4層。所得結果如表2和圖4～6所示。

圖3 全局閾值去噪的coif5小波分解結果示意圖

圖4 分層閾值去噪的db4小波分解結果示意圖

圖5 分層閾值去噪的sym8小波分解結果示意圖

圖6 分層閾值去噪的coif5小波分解結果示意圖

從表2和圖4～6可以看出：相對于全局閾值去噪法，信號的能量比有所提升，這主要是閾值對每一層的小波分解系數都進行作用，濾去了更多的噪聲信息能量；和全局閾值去噪法相同，不同的小波對信號能量比和信噪比影響并不大；和全局閾值去噪法相比，標準偏差減小，信號的整體光滑性得到增強。

5.3 不同分解層數對去噪結果的影響

利用db4小波，對含噪音樂信號分別作分層閾值法的3、4、5、6、7層分解。所得數據與結果如表3和圖7～11所示。

通過上述試驗結果可以得出如下結論：①隨著分解層數的增加，音樂信號的能量百分比呈下降趨勢。主要原因在于：由于分解層數的增加，每一層的分解系數都被閾值所作用。這樣，被濾去的信號的有效成分就越多，從而使得信號能量百分比降低。②隨著分解層數的增加，信號的標準差越來越大。這說明信號的分解層數越多，信號的局部光滑性得到了增強，然而信號的整體相似性卻降低了。③隨著分解層數的增加，信噪比先增加，后下降。這說明剛開始隨著信號分解層數的增加，噪聲得到了有效去除。然而，隨著分解層數進一步地增加（比如分解到8層時），信號的某些有效成分被作為噪聲錯誤地去除了，從而使得信噪比降低。因此，在去噪的過程中，信號的分解層數不宜太大，一般取4～5層即可。

表3 不同分解層數對去噪效果的影響的模擬結果

6 結語

雖然小波閾值去噪方法簡單易用，但和語音信號不同，在音樂信號中，還摻雜著樂器演奏所發(fā)出的聲音。因此，在現有的噪聲估計模型中，很有可能把音樂當作噪聲來進行處理，使得重構系數變小。由此可以看出，今后對于音樂去噪的研究，應該建立一種和語音信號不同的閾值估計模型來加強樂音和噪聲之間的識別，這樣才能使音樂去噪的效果更好。

圖7 分解層數為3時去噪效果圖

圖8 分解層數為4時去噪效果圖

圖9 分解層數為5時去噪效果圖

圖10 分解層數為6時去噪效果圖

圖11 分解層數為7時去噪效果圖

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