王貴春，唐華瑞

(1.鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院，河南鄭州 450001;2.河南理工大學(xué)萬方科技學(xué)院，河南 鄭州 451400)

研究鐵路車橋耦合振動(dòng)問題需要建立車橋系統(tǒng)力學(xué)和數(shù)學(xué)模型。目前常用的方法是把車輛分成車體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)三種剛體，其間通過彈簧和阻尼元件組成的懸掛系統(tǒng)連接，同時(shí)建立橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型。然后分別建立車輛和橋梁系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，通過輪軌間力和位移的協(xié)調(diào)條件求解車橋耦合振動(dòng)［1-2］。

對(duì)車輛三種剛體運(yùn)動(dòng)特征的描述，其難點(diǎn)在于建立輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)微分方程。這不僅因?yàn)檩唽?duì)的蛇行運(yùn)動(dòng)規(guī)律難以準(zhǔn)確描述，更兼輪軌之間力和位移的關(guān)系十分復(fù)雜，涉及到輪軌蠕滑和輪軌接觸幾何學(xué)理論。甚至關(guān)于輪對(duì)獨(dú)立自由度的確定，也較車體和轉(zhuǎn)向架更加困難。由于輪軌接觸點(diǎn)就是車輛和橋梁兩個(gè)子系統(tǒng)的分界點(diǎn)，準(zhǔn)確把握它們之間力和位移的傳遞規(guī)律，是分析車橋耦合振動(dòng)的有效途徑。

Olmos J M等研究了高墩高架橋在高速列車通過時(shí)的橫向動(dòng)力響應(yīng)，認(rèn)為引起橋梁橫向共振的機(jī)理最可能是列車橫向搖擺力的周期性作用［3］。Jesus A H等用統(tǒng)計(jì)分析方法研究了鐵路高架橋的動(dòng)力響應(yīng)，認(rèn)為車橋系統(tǒng)之間的相互作用會(huì)使動(dòng)力響應(yīng)明顯增大［4］。Domenech A等研究了車輛模型對(duì)簡(jiǎn)支梁橋車橋耦合振動(dòng)的影響［5］。

綜合車輛動(dòng)力學(xué)理論［6-7］和車橋耦合振動(dòng)的研究成果，由于受到鋼軌位移和幾何關(guān)系的約束，可設(shè)輪軌保持緊密接觸，則輪對(duì)的浮沉和側(cè)滾位移決定于輪對(duì)的橫向及搖擺位移。而在車橋耦合振動(dòng)分析中可以忽略縱向及點(diǎn)頭振動(dòng)的影響，這樣，輪對(duì)就有橫擺和搖頭兩個(gè)獨(dú)立的自由度。輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和輪軌間的蠕滑力均在橫擺和搖頭振動(dòng)方程中得以體現(xiàn)。

1 輪對(duì)振動(dòng)微分方程的建立

車橋耦合振動(dòng)分析的力學(xué)和數(shù)學(xué)模型應(yīng)能夠合理地體現(xiàn)車橋系統(tǒng)的力學(xué)特征，既不能過于簡(jiǎn)單，也不宜過于復(fù)雜。實(shí)際上，模型簡(jiǎn)單與否，在很大程度上取決于系統(tǒng)自由度的個(gè)數(shù)以及各部件的動(dòng)力特性是否為線性的。模型的建立是以一定的假設(shè)為基礎(chǔ)的，模型的精度取決于這些假設(shè)條件。

1.1 輪對(duì)動(dòng)力平衡方程

如圖1所示定義一個(gè)輪對(duì)的坐標(biāo)系統(tǒng)，所受力系和幾何參數(shù)如下:X，Y和Z坐標(biāo)軸分別代表輪對(duì)前進(jìn)方向、橫向和豎向;在各符號(hào)中，下角標(biāo)L，R分別表示左和右，而x，y和z則分別表示在X，Y和Z軸上的分量。FL和FR分別為左右輪軌接觸點(diǎn)處的蠕滑力;ML和MR分別為左右輪軌接觸點(diǎn)處的蠕滑力矩(圖中未標(biāo)出);FS為懸掛力;MS為懸掛力矩;WA為輪對(duì)重力;NL和NR分別為左右輪軌接觸點(diǎn)處的正壓力;ΔL和ΔR分別表示左右輪軌接觸點(diǎn)離開平衡位置的橫向位移;δL和δR分別為左右輪軌接觸角;a是軌距之半;V為車輛前進(jìn)速度;rL和rR分別為左右兩輪的滾動(dòng)半徑;r0為輪對(duì)處于平衡位置時(shí)兩輪的滾動(dòng)半徑;y為輪對(duì)的橫向線位移;ψ和φ分別為輪對(duì)的搖擺和側(cè)滾角位移。變量上面的小圓點(diǎn)代表對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)代表導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。

圖1 輪對(duì)受力示意

考慮到ψ和φ的值均為小量，根據(jù)動(dòng)力平衡原理，可列出輪對(duì)橫移及搖擺兩個(gè)自由度的平衡方程如下。

橫移

搖擺

式(1)和(2)中:mw為輪對(duì)質(zhì)量;Iwx和 Iwz分別為輪對(duì)繞X和Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。RLx和RLy分別為左側(cè)輪軌接觸點(diǎn)相對(duì)于輪對(duì)平衡位置重心的水平和垂直距離;RRx和RRy分別為右側(cè)輪軌接觸點(diǎn)相對(duì)于輪對(duì)平衡位置重心的水平和垂直距離。

1.2 輪對(duì)振動(dòng)微分方程

根據(jù)輪軌接觸幾何學(xué)理論和蠕滑理論，可得到式(1)和式(2)中左右輪軌接觸點(diǎn)相對(duì)于輪對(duì)平衡位置重心的距離以及各項(xiàng)力關(guān)于y和ψ的表達(dá)式，從而得到輪對(duì)振動(dòng)的兩個(gè)獨(dú)立的微分方程為

式(3)和(4)中:f11，f22，f33和 f23分別為縱向、橫向、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)/橫向蠕滑系數(shù)，其值可由輪軌材料特性及接觸橢圓尺寸確定;λ是車輪踏面錐度;WA為輪對(duì)重力;其余符號(hào)同前。

滾動(dòng)半徑 rL和 rR，左右輪軌接觸角 δL和 δR通常都是橫向位移y的非線性函數(shù)。它們與輪軌接觸面及接觸點(diǎn)的狀態(tài)有關(guān)，并且懸掛力 FSy和力矩 MSz亦可能是振動(dòng)位移的非線性函數(shù)。當(dāng)車輪踏面為錐形且與鋼軌棱邊相接觸時(shí)，則有φ=λy/a，因此變量φ可由y表示。如果懸掛力FSy和力矩MSz是線性函數(shù)，則式(3)和式(4)為線性振動(dòng)微分方程，問題變得相對(duì)簡(jiǎn)單。

2 車橋系統(tǒng)振動(dòng)微分方程及其求解方法

列車在橋上行駛時(shí)，車橋系統(tǒng)的振動(dòng)是耦合在一起的。所以必須把車輛和橋梁作為一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力體系來研究。為了研究系統(tǒng)內(nèi)部各種激擾因素的影響、車橋之間的耦合效應(yīng)以及為研究問題方便起見，把系統(tǒng)分為車輛與橋梁兩個(gè)子系統(tǒng)，而通過它們之間力和位移的協(xié)調(diào)條件使二者耦合起來。這樣，可使得方程中矩陣的階數(shù)減小，便于計(jì)算分析。

2.1 車橋系統(tǒng)振動(dòng)微分方程

假設(shè)車輛各部件均為剛體，且為小振幅振動(dòng)。以兩系懸掛的六軸車輛為代表，則整個(gè)車輛可以分成9個(gè)剛體部件:即6個(gè)輪對(duì)、2個(gè)轉(zhuǎn)向架和1個(gè)車體，彼此之間彈性連接。車體及每個(gè)轉(zhuǎn)向架各有5個(gè)自由度:即浮沉、點(diǎn)頭、橫移、搖擺和側(cè)滾。每個(gè)輪對(duì)含有2個(gè)獨(dú)立的自由度:即橫移和搖擺。據(jù)此，可以根據(jù)動(dòng)力平衡原理建立車輛振動(dòng)微分方程，其一般形式為

式中:{XV}為車輛位移向量，含有23個(gè)分量(四軸車輛)或 27個(gè)分量(六軸車輛);［MV］，［CV］和［KV］分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣;{FV}為車輛所受荷載向量。下角標(biāo)V表示車輛。

利用結(jié)構(gòu)分析有限單元法，建立橋梁結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠染仃?。采用一致質(zhì)量矩陣、Rayleigh阻尼和一致節(jié)點(diǎn)荷載，分別形成單元質(zhì)量陣、阻尼陣和等效節(jié)點(diǎn)荷載向量。將上述單元陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)寞B加便可得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和阻尼陣及等效節(jié)點(diǎn)荷載向量，從而建立橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程。其一般形式為

式中:{XB}為橋梁節(jié)點(diǎn)位移向量;［MB］，［CB］和［KB］分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣;{FB}為橋梁結(jié)構(gòu)所受等效節(jié)點(diǎn)力向量。下角標(biāo)B表示橋梁。

2.2 車橋耦合振動(dòng)求解方法

求解振動(dòng)微分方程是車轎系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算分析的關(guān)鍵步驟之一。鑒于車橋系統(tǒng)振動(dòng)微分方程系數(shù)矩陣的時(shí)變特征，利用逐步積分法更為有效。利用這種方法，可以在一系列的時(shí)間增量點(diǎn)上求得系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。求解過程中，準(zhǔn)確分析車橋系統(tǒng)動(dòng)力相互作用的協(xié)調(diào)條件是很必要的。通過建立輪軌作用點(diǎn)輪軌力和位移向量與橋梁結(jié)構(gòu)單元等效節(jié)點(diǎn)荷載和節(jié)點(diǎn)位移向量之間的關(guān)系并考慮到軌道不平順的影響，確立系統(tǒng)動(dòng)力相互作用的協(xié)調(diào)條件。其中應(yīng)該特別注意多線橋的偏載問題。

應(yīng)用較為廣泛的逐步積分法有 Wilson-θ法和Newmark β法［8］。它們實(shí)質(zhì)上都可以看成是線性加速度法的推廣，本文采用前者。這一方法的基本假定是加速度在一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)θ·Δt內(nèi)為線性變化，其中θ≥1。業(yè)已證明，當(dāng)θ≥1.37時(shí)，這一方法是無條件穩(wěn)定的。而取θ=1.4可使計(jì)算結(jié)果達(dá)到較高的精度。針對(duì)車橋系統(tǒng)動(dòng)力相互作用的特點(diǎn)，建立了解決這一特殊問題的平衡迭代數(shù)值計(jì)算方法，并編制了計(jì)算程序。

3 算例分析

圖2所示為主跨300 m的雙線鐵路斜拉橋，該橋?yàn)橐浑p塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土橋，兩個(gè)邊跨各為142 m，主梁以上塔高75.5 m。主梁平均橫截面面積為10.7 m2，彈性模量為3.5×1010Pa。索塔平均截面面積為36.0 m2，彈性模量與主梁相同。拉索的截面面積從內(nèi)索到外索是逐漸增加的，其中最內(nèi)索為0.012 m2，最外索為0.036 m2，其彈性模量為2.09×1011Pa。

圖2 斜拉橋結(jié)構(gòu)示意

利用上述方法對(duì)圖2所示斜拉橋進(jìn)行了車橋耦合振動(dòng)分析。圖3和圖4分別給出了車速為72.0 km/h時(shí)主跨中點(diǎn)橫向振動(dòng)位移和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移時(shí)程曲線。

由圖可知，橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)最初較小。隨著車輛在橋上行駛，響應(yīng)增大，并在跨中附近達(dá)到最大值。表1列出了車速分別為108，72和36 km/h時(shí)主跨中點(diǎn)的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移的最大值。在分析扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，考慮了無偏載和有偏載2種情況。

由表1數(shù)據(jù)可知，隨著車速的增加，橫向振動(dòng)位移在某一速度達(dá)到最大值。速度對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響不大，但偏載使扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的幅值顯著增大。綜上所述，圖中曲線及表列數(shù)據(jù)揭示了橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)隨時(shí)間、車輛運(yùn)行位置及車速的變化規(guī)律，同時(shí)也反映了偏載對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

圖3 主跨中點(diǎn)橫向振動(dòng)位移時(shí)程曲線

圖4 主跨中點(diǎn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移時(shí)程曲線

表1 主跨中點(diǎn)最大動(dòng)力響應(yīng)

4 結(jié)論

1)隨著車輛由橋端向中間行進(jìn)，橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)逐漸增大。當(dāng)車輛行駛到主跨跨中附近時(shí)，其響應(yīng)達(dá)到最大值，然后逐漸減小。

2)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)隨車速的變化而變化。一般情況下，當(dāng)車速不超過某一值時(shí)，較高的車速引起橋梁結(jié)構(gòu)較大的振動(dòng)。對(duì)于具體的車輛和橋梁結(jié)構(gòu)，存在某一車速，使得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)最大。

3)沒有偏載作用時(shí)，橋梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移很小，一般情況下無需考慮它的影響。但結(jié)構(gòu)的偏載對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有較大的影響，因此，當(dāng)復(fù)線橋梁受偏心荷載作用時(shí)，考慮結(jié)構(gòu)的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)是必要的。

4)分析模型考慮了輪軌間的蠕滑效應(yīng)和輪對(duì)的蛇行運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有利于分析車橋系統(tǒng)內(nèi)部的激擾因素。

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