王建紅,林健,張建華,陸寶春
(1.南京工程學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院,江蘇南京211167;2.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇南京210094)
微細(xì)加工需要采用相應(yīng)的高精度、高分辨率的運(yùn)動(dòng)裝置 (即機(jī)床系統(tǒng))來(lái)滿足其對(duì)加工尺度、精度和加工穩(wěn)定性的要求,微位移執(zhí)行器及其驅(qū)動(dòng)技術(shù)為滿足這一要求提供了契機(jī)。目前,微位移驅(qū)動(dòng)元件很多,如機(jī)電驅(qū)動(dòng)類、電磁驅(qū)動(dòng)類、壓電/電致伸縮驅(qū)動(dòng)類、磁致伸縮驅(qū)動(dòng)類等[1]。其中,壓電陶瓷微位移器件具有功耗小、位移分辨率高、無(wú)噪聲、響應(yīng)快等優(yōu)點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于微電子機(jī)械、精密加工、航空航天等領(lǐng)域,是目前最具有前途的微位移執(zhí)行器件[2]。
壓電陶瓷位移量與電場(chǎng)強(qiáng)度的特性曲線存在遲滯,即在任意時(shí)刻,系統(tǒng)的輸出不僅依賴于輸入,而且還依賴系統(tǒng)以前的狀態(tài),同時(shí),這種輸入輸出間的對(duì)應(yīng)關(guān)系具有非線性,給壓電致動(dòng)器的微位移控制帶來(lái)一定的難度[3-6]。因此,要想提高控制精度,必須要針對(duì)壓電陶瓷的遲滯特性建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型[7-10]。對(duì)壓電致動(dòng)器的遲滯特性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量,在此基礎(chǔ)上,通過(guò)多項(xiàng)式擬合的方式求得任意初始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征曲線方程,完成對(duì)壓電致動(dòng)器遲滯特性的建模。
文中所選用型號(hào)為PST 150/7/60 VS12的低壓驅(qū)動(dòng)疊層機(jī)械封裝式壓電致動(dòng)器,其絕對(duì)最大驅(qū)動(dòng)電壓:-30~180 V,長(zhǎng)度:64 mm,位移輸出范圍:0~60μm,內(nèi)置專用的微位移傳感器,驅(qū)動(dòng)、傳感及電源模塊采用集成的控制器。
對(duì)該壓電致動(dòng)器進(jìn)行遲滯特性實(shí)驗(yàn)測(cè)試,對(duì)于上升曲線,首先將控制電壓范圍 (0~10 V)等分成20份,以0.5 V為分度,即分別以0,0.5,1,…,9.5 V作為初始電壓,然后分別在不同的初始電壓的條件下每次增加0.5 V的控制電壓作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)直至控制電壓增加到了10 V。按照這樣的劃分方式,初始電壓為0的基準(zhǔn)上升曲線有20個(gè)節(jié)點(diǎn),初始電壓為0.5 V的基準(zhǔn)上升曲線有19個(gè)節(jié)點(diǎn),初始電壓為1 V的基準(zhǔn)上升曲線有18個(gè)節(jié)點(diǎn),以此類推。對(duì)于這20條不同初始電壓的基準(zhǔn)上升曲線,分別測(cè)量各個(gè)節(jié)點(diǎn)的傳感器的反饋電壓,并記錄下來(lái)。
分別將所測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)Origin軟件繪制上升特性曲線和下降特性曲線如圖1、2所示,由圖可知,對(duì)于不同初始點(diǎn)和控制電壓變化方向有不同的曲線與其對(duì)應(yīng),因此,需要通過(guò)多項(xiàng)式擬合的方式求得任意初始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征曲線方程。
圖1 上升特性曲線
圖2 下降特性曲線
多項(xiàng)式函數(shù)擬合,是指用一條光滑的擬合曲線來(lái)代表給定數(shù)據(jù)的一般趨勢(shì),而不要求曲線通過(guò)所有的點(diǎn)。多項(xiàng)式函數(shù)擬合的基本原理如下:設(shè)已知由線圖或?qū)嶒?yàn)所得的m個(gè)點(diǎn)的值為 (x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)。設(shè)擬合公式:
則在每一節(jié)點(diǎn)處的偏差:
所有節(jié)點(diǎn)偏差的平方和:
擬合公式f(x)具有一定的函數(shù)類型及系數(shù),在確定其各個(gè)系數(shù)的過(guò)程中,最終的目的就是使所得曲線各節(jié)點(diǎn)的偏差的平方和盡可能的小[5]。
如圖1、2所示,為了能夠求出任意初始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的上升曲線或者下降曲線方程,分別在上升和下降階段選定20條基本曲線,對(duì)應(yīng)測(cè)量所需參數(shù),通過(guò)多項(xiàng)式擬合的方法求得相應(yīng)的基準(zhǔn)曲線方程gi(x)(i=1,2,3,…,20)。然后根據(jù)各個(gè)基準(zhǔn)曲線方程,同樣通過(guò)多項(xiàng)式擬合的方法求得相應(yīng)的偏差方程ej(x')(j=1,2,3,…,19)。所謂偏差方程指的是目標(biāo)曲線與基準(zhǔn)曲線的偏差曲線方程。根據(jù)經(jīng)驗(yàn),為了達(dá)到更好的擬合效果,偏差方程的自變量x'是通過(guò)控制電壓輸入x換算得來(lái)的,上升偏差曲線方程與下降偏差曲線方程的換算方法略有不同,具體的換算公式分別如式 (4)和式 (5):
式中:gi(x)為對(duì)應(yīng)基準(zhǔn)曲線方程;V為對(duì)應(yīng)基準(zhǔn)曲線的起始電壓。
根據(jù)不同的初始點(diǎn)位置和控制電壓變化方向,正確的選取基準(zhǔn)曲線方程和偏差曲線方程,則所求的目標(biāo)曲線方程為f(x)=g(x)+e(x')?;鶞?zhǔn)曲線和偏差曲線擬合原理相同,曲線多項(xiàng)式擬合程序的流程圖如圖3所示。
圖3 多項(xiàng)式擬合程序流程圖
對(duì)于壓電陶瓷致動(dòng)器多項(xiàng)式擬合,多項(xiàng)式可以采用2階、3階或更高階來(lái)擬合遲滯特性,為了提高建模的準(zhǔn)確性,選用4階的多項(xiàng)式作為擬合公式,擬合公式具體形式如下:
按照經(jīng)驗(yàn),一般會(huì)給擬合曲線各個(gè)系數(shù)賦較小的數(shù)作為初值,使用該擬合曲線與已有的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓求偏差,從而得到所有節(jié)點(diǎn)的偏差平方和,求偏差平方和的公式:
式中:m為節(jié)點(diǎn)數(shù);yi為節(jié)點(diǎn)處實(shí)際測(cè)得的電壓值,V;g(xi)為節(jié)點(diǎn)處擬合曲線計(jì)算得出的電壓值,V。
上式表明各節(jié)點(diǎn)偏差的平方和是以a0,a1,a2,a3,a4自變量的函數(shù),多項(xiàng)式擬合的目的是為了使其最小,于是取 F(a0,a1,a2,a3,a4)對(duì)各自變量a0,a1,a2,a3,a4的偏導(dǎo)數(shù)如下:
多項(xiàng)式擬合調(diào)整各系數(shù)時(shí)使用的步長(zhǎng)的大小與各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的大小有關(guān),因此多項(xiàng)式擬合過(guò)程為變步長(zhǎng)調(diào)節(jié)過(guò)程。通過(guò)判斷擬合公式各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的值,選擇合適步長(zhǎng)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,以改變擬合公式各項(xiàng)系數(shù)。每次調(diào)節(jié)完成后計(jì)算新的各節(jié)點(diǎn)的偏差的平方和,判斷該值是否滿足要求,若滿足精度要求,說(shuō)明完成擬合過(guò)程,得到曲線方程;若不滿足精度要求,則需要再一次對(duì)各節(jié)點(diǎn)偏差和公式求偏導(dǎo)數(shù),進(jìn)行擬合曲線系數(shù)的調(diào)節(jié),直至各節(jié)點(diǎn)的偏差的平方和滿足精度要求 (精度要求為各節(jié)點(diǎn)偏差和小于0.008)。
得到所有的上升基準(zhǔn)曲線方程之后,便可根據(jù)各個(gè)上升基準(zhǔn)曲線方程擬合對(duì)應(yīng)的上升偏差方程,通過(guò)對(duì)基準(zhǔn)曲線的分析,發(fā)現(xiàn)不同初試電壓的上升曲線的差值曲線取自變量x'時(shí)與指數(shù)曲線十分類似,故選取偏差曲線擬合公式:
式中:Emax指的是初始點(diǎn)與相應(yīng)的上升基準(zhǔn)曲線方程的縱坐標(biāo)之差,并不是方程的系數(shù)。擬合某一上升基準(zhǔn)曲線方程gi(x)對(duì)應(yīng)的上升偏差方程ei(x'),需選定初始電壓比該基準(zhǔn)曲線方程gi(x)高0.5 V的另一上升基準(zhǔn)曲線方程gi+1(x)作為擬合目標(biāo),此時(shí)Emax的值便為 gi+1(x)初始點(diǎn) x0處的 gi+1(x0)與 gi(x0)的差值。擬合的具體方法與擬合上升基準(zhǔn)曲線方程一致,只要選擇合適的步長(zhǎng)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,便可以得到滿足精度要求的所有的上升偏差方程。在精度要求為各節(jié)點(diǎn)偏差和小于0.015的條件下,得到19條偏差上升曲線的各項(xiàng)系數(shù)如表1所示。
表1 偏差上升曲線的各項(xiàng)系數(shù)
擬合下降基準(zhǔn)曲線方程及其對(duì)應(yīng)下降偏差方程的方法與擬合上升基準(zhǔn)曲線方程及其對(duì)應(yīng)上升偏差方程的方法一樣,唯一的區(qū)別在于下降基準(zhǔn)曲線方程的擬合公式選擇的是3次方程,原因在于3次方程已經(jīng)可以達(dá)到精度要求。具體擬合過(guò)程在此不再贅述。
在Matlab軟件中繪制通過(guò)多項(xiàng)式擬合所得到的上升基準(zhǔn)曲線和下降基準(zhǔn)曲線,分別如圖4、5所示。
圖4 擬合所得上升基準(zhǔn)曲線
圖5 擬合所得下降基準(zhǔn)曲線
將圖4和圖5與實(shí)際測(cè)量的特性曲線圖1和圖2比較,通過(guò)多項(xiàng)式擬合的特性曲線與根據(jù)實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)繪制的特性曲線非常接近,較好地反映出壓電致動(dòng)器遲滯非線性。
得到所有上升和下降曲線方程之后,首先通過(guò)比較所設(shè)定控制電壓與初始點(diǎn)的控制電壓判斷是上升過(guò)程還是下降過(guò)程。若是上升過(guò)程,比較初始點(diǎn)與各個(gè)上升基準(zhǔn)曲線的位置關(guān)系,選取初始點(diǎn)下方并且最貼近它的上升基準(zhǔn)曲線gi(x),計(jì)算初始點(diǎn)與該曲線上對(duì)應(yīng)的的縱坐標(biāo)之差作為Emax,選取對(duì)應(yīng)的上升偏差方程ei(x'),從而得到所要求的曲線方程f(x)=gi(x)+ei(x');若是下降過(guò)程,比較初始點(diǎn)與各個(gè)下降基準(zhǔn)曲線的位置關(guān)系,選取初始點(diǎn)上方并且最貼近它的下降基準(zhǔn)曲線gi(x),計(jì)算初始點(diǎn)與該曲線上對(duì)應(yīng)的的縱坐標(biāo)之差作為Emax,選取對(duì)應(yīng)的下降偏差方程e(x'),從而得到所要求的曲線方程f(x)=gi(x)+ei(x'),完成對(duì)壓電致動(dòng)器的對(duì)遲滯非線性的建模。圖6為在Matlab軟件Simulink中實(shí)現(xiàn)的此靜態(tài)模型。
圖6 壓電致動(dòng)器靜態(tài)模型
由圖6中可以看出壓電致動(dòng)器的靜態(tài)模型有3個(gè)輸入量:初始電壓,初始位置 (壓電致動(dòng)器位置傳感器反饋電壓),控制電壓。為了檢驗(yàn)該模型的正確性,將對(duì)壓電致動(dòng)器實(shí)際測(cè)試結(jié)果與在同等輸入量條件下模型的輸出結(jié)果進(jìn)行比較,得到壓電致動(dòng)器靜態(tài)模型的精確度,具體對(duì)比結(jié)果如表2所示。
表2 靜態(tài)模型精確度測(cè)試結(jié)果
由表可知,初始位置不在基準(zhǔn)曲線上以及所設(shè)定的控制電壓較小時(shí),壓電致動(dòng)器靜態(tài)模型的精確度較低。但從總體上看,壓電致動(dòng)器靜態(tài)模型誤差均在1%左右。
通過(guò)分析壓電陶瓷微位移器的遲滯特性實(shí)驗(yàn)所獲得的相應(yīng)數(shù)據(jù),構(gòu)建了基于多項(xiàng)式擬合的靜態(tài)模型,并在MATLAB環(huán)境下得到微位移器輸出位移仿真模型。最后,在同等輸入量條件下,將實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與模型輸出結(jié)果進(jìn)行比較,壓電致動(dòng)器靜態(tài)模型誤差均在1%左右,從而表明了該方法的有效性。
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