劉小會(huì)高海峰

（1.陜西科技大學(xué)鎬京學(xué)院 陜西西安712046；2.大唐移動(dòng)通信設(shè)備有限公司 陜西西安710061）

正態(tài)分布的高精度數(shù)值計(jì)算

劉小會(huì)1高海峰2

（1.陜西科技大學(xué)鎬京學(xué)院 陜西西安712046；2.大唐移動(dòng)通信設(shè)備有限公司 陜西西安710061）

近年來(lái)人們開(kāi)始關(guān)注多維隨機(jī)變量的正態(tài)分布數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。由于多維正態(tài)分布積分函數(shù)較為復(fù)雜且計(jì)算量較大。因此研究多維正態(tài)分布積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法具有強(qiáng)的理論和實(shí)際意義。本文首先利用參變量積分法，將多維分布降維計(jì)算，并給出了四維正態(tài)分布積分的詳細(xì)的計(jì)算公式，其次，在程序?qū)崿F(xiàn)方面，考慮到相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣接近奇異，如此以來(lái)會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差。因此對(duì)相關(guān)系數(shù)、積分變量進(jìn)行有效的排序，在一定程度上減少精度損失。最后本章還創(chuàng)新性地比較了協(xié)方差矩陣不同分塊形式的數(shù)值計(jì)算公式，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明計(jì)算精度有了較大提高。

正態(tài)分布 參變量積分法 精度

正文：

設(shè)n維隨機(jī)變量x1，x2，…xn服從正態(tài)分布并且協(xié)方差矩陣R非奇異，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為［1］

其聯(lián)合分布函數(shù)為

以四維為例，給出具體的推導(dǎo)公式。

四維聯(lián)合正態(tài)分布積分函數(shù)表達(dá)式為

（4）式將化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

將矩陣R按如下形式進(jìn)行分塊

通過(guò)含參變量積分降階處理，（7）最終化為

與此同時(shí)，也可將協(xié)方差矩陣按2-2分塊，經(jīng)驗(yàn)證，計(jì)算誤差沒(méi)有發(fā)生太大的變化。但對(duì)于五維正態(tài)分布，1-4分塊明顯沒(méi)有2-3分塊效果好，所以對(duì)高維矩陣分塊時(shí)，盡可能保證子塊之間維數(shù)相差較小。［3］

3.數(shù)值試驗(yàn)

由于要求的精度較高，一般的曲線逼近效果不是很理想，所以本節(jié)給出數(shù)值試驗(yàn)表。值得注意的是，當(dāng)某些相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，協(xié)方差矩陣在接近奇異時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的精度損失，因此程序?qū)崿F(xiàn)是時(shí)，將協(xié)方差矩陣和積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐判?，在保證矩陣正定的情況下，盡可能避免矩陣接近奇異。［4］

表1 四維正態(tài)分布新算法實(shí)驗(yàn)值與Matlab值比較

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的計(jì)算方法和適當(dāng)?shù)某绦驅(qū)崿F(xiàn)，最終能達(dá)到較高的要求。［5］

［1］Genz A.and Bretz F.Comparision of methods for the computation of multivariate t-probabilities.［J］Computing Science and Statistics.2002，11：950-971.

［2］Genz A.Numerical computation of rectangular bivariate and trivariate normal probalities［J］.Statistics and computing，2004，14：251 260.

［3］R.L.Plackett.A reduction formula for normal multivariate integrals［J］. Biometrika Trust.1954，413，351？360.

［4］Alan Genz.MCQMC methods for multivariate statistical distributions［J］.Springer Verlag.2008，21，164？191.

［5］劉小會(huì).正態(tài)分布高精度算法［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào).2011.34卷3期. 179-181

［6］Genz A.and Bretz F.Computation of multivariate normal and t-probabilitie［J］.Springer-Verlag.2009.