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        借助幾何圖形解代數(shù)型問題舉例

        2015-11-23 12:09:10覃禮權
        新教育時代電子雜志(教師版) 2015年25期
        關鍵詞:沿河舉例糖水

        覃禮權

        (貴州省沿河縣客田中學 貴州沿河 565300)

        借助幾何圖形解代數(shù)型問題舉例

        覃禮權

        (貴州省沿河縣客田中學 貴州沿河 565300)

        數(shù)與形有著緊密的聯(lián)系,在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化,因此面對特殊的代數(shù)問題,可以將已知條件與幾何圖形建立聯(lián)系,把條件中的數(shù)量關系寓于特定的幾何圖形之中,就能迅速、準確地找到解題途徑。

        幾何圖形 代數(shù) 數(shù)形結(jié)合 舉例

        有些特殊的代數(shù)問題,已知條件中的數(shù)量關系蘊含著一定的幾何背景,具有明顯的幾何意義。如果我們將已知條件與幾何圖形建立聯(lián)系,把條件中的數(shù)量關系寓于特定的幾何圖形之中,常常能迅速、準確地找到解題途徑。下面舉例說明。[1]

        例1、若正實數(shù)x、y、z、r滿足條件

        求證:xy=zr。

        分析:如圖1,由條件⑴式可以構造直角三角形ABC,使AC=y,BC=x,AB=z,由條件⑵式聯(lián)想,作斜邊上的高CD,則CD=r,借助三角形面積并可以證明。

        證明:在Rt△ABC中

        (圖1)

        分析:構造如圖2所示的幾何圖形,其中AC⊥CD,BD⊥CD,AC=4, BD=3,PC=x,PD=y,則即a=AP+BP。作點B關于直線CD的對稱點F,連結(jié)AF,a的最小值為線段AF的長,作矩形CDFE,并可以求解。

        在Rt△AEF中,AE=7,EF=6,由勾股定理得[2]

        (圖2)

        分析:如果用我們生活中的一些基本常識來解本題,是顯而易見的。例如,b克糖水中,內(nèi)含a克糖,糖的質(zhì)量分數(shù)為若再往糖水中加入m克糖,糖的質(zhì)量分數(shù)就變?yōu)榱颂撬乳_始也更甜一些。這表明

        實際上,這個問題的結(jié)論我們還可以借助幾何圖形得出。

        解:如圖3所示,由于0<a<b,所以S+S1>S+S2

        即ab+bm>ab+am

        不等式兩邊同時除以正數(shù)b(b+m),得

        (圖3)

        例4、試比較x2與 x|的大小。

        分析:直接比較x2與 x|的大小不方便。如圖5,如果我們分別作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y= x|的圖象,借助二圖像,很容易求解。[3]

        解:如圖4所示,分別作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y= x|的圖象。求出二圖象交點的橫坐標xA=-1,xB=1,xo=0

        由圖象可知,

        當x<-1或x>1時,

        當-1<x<0時,

        當x=±1或x=0時,

        (圖4)

        我們看到,以上例子都是利用了“數(shù)形結(jié)合”的思想。實際上,形與數(shù)是數(shù)學的兩大支柱數(shù)。數(shù)借形有直觀作用,而形借助于數(shù)可以找到內(nèi)在規(guī)律。它們之間是沒有鴻溝的,也不是相割裂的,而是相輔相成、互相轉(zhuǎn)化的。學會用“數(shù)形結(jié)合”的思想分析和解決問題,就是要實現(xiàn)由數(shù)思形,以形助數(shù),適時轉(zhuǎn)化、相互為用。

        [1]李明,張銳.構造幾何圖形解決代數(shù)問題[J].數(shù)學教學研究,2012,31(2):67-67.

        [2]董彪.淺議利用幾何圖形解決代數(shù)問題[J].阿壩師范高等專科學校學報,2003,(1):101-104.

        [3]韋國友.巧構幾何圖形妙解代數(shù)問題 [J].中學生數(shù)學,2013,(20):17-17.

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