劉國發(fā)

（河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院 河南鄭州 450008）

論數(shù)學(xué)模型的建立在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

劉國發(fā)

（河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院 河南鄭州 450008）

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的有效途徑，高等數(shù)學(xué)中處處蘊含著數(shù)學(xué)建模的思想，針對高職院校學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，應(yīng)尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識過程中漸進式地培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

高職生 數(shù)學(xué)建模教學(xué) 途徑

一、數(shù)學(xué)建模在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

學(xué)習(xí)的目的全在于應(yīng)用。在高等職業(yè)教育中，由于其明確的職業(yè)教育基本類型，確定了高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)必須服務(wù)于專業(yè)知識的學(xué)習(xí)，其教學(xué)目標(biāo)不僅是高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，重要的是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力。解決實際問題，實質(zhì)是綜合運用知識的思維活動過程，然而學(xué)生的思維活動需要借助外界的某種環(huán)境因素的剌激作用，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，需要創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，以啟動學(xué)生的思維機器，使學(xué)生在獲得知識的過程中，增進理解知識的來源、發(fā)展技能，提高解決實際問題的能力。作為聯(lián)系數(shù)學(xué)理論和實際問題的橋梁和紐帶的數(shù)學(xué)建模，恰為實現(xiàn)提高解決實際問題的能力提供了有效途徑。

二、數(shù)學(xué)建模在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用堅持的原則

我們知道，數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言、方法表述實際問題，其目的是便于繼續(xù)用數(shù)學(xué)的手段對其進行分析、處理，以便獲得對實際問題更多的、不易觀察出的深層次信息，這種表述就是一個數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模。多年來，在高等院校中數(shù)學(xué)建模活動的開展，為大學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用、提高創(chuàng)新能力找到了一條行之有效的途徑。然而，數(shù)學(xué)建模需要較扎實的數(shù)學(xué)功底和較寬泛的多學(xué)科知識，特別是數(shù)學(xué)建模競賽，并非每個大學(xué)生都有能力完成。伴隨著高等教育的大眾化，高職院校學(xué)生的數(shù)學(xué)能力弱化、學(xué)習(xí)自覺性差是每位數(shù)學(xué)教師都不可回避的現(xiàn)實，他們的高中基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識欠缺，更不具備用數(shù)學(xué)知識分析問題的意識和能力。因此，如何利用數(shù)學(xué)建模教學(xué)來提高學(xué)生解決實際問題的能力，是必須認(rèn)真研究的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

首先，必須牢固樹立“有數(shù)學(xué)就有數(shù)學(xué)建模”的教學(xué)理念。如“歷史上影響人類生活的十大公式”之兩例：原始公式——1+1=2，勾股定理——A2+B2=C2。這就促使教師在教學(xué)過程中有意識地引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提高教師在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題的意識。

其次，要明確數(shù)學(xué)建模的教學(xué)目標(biāo)。要利用一些較簡單的實際問題，強調(diào)分析過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。

第三，精選案例。毫無疑問，數(shù)學(xué)建模是高職學(xué)生不易掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容。要結(jié)合學(xué)生的生活、專業(yè)特點，理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模興趣。

三、數(shù)學(xué)建模在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識過程中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)本身就是為了實際應(yīng)用才產(chǎn)生的，它的很多重大發(fā)現(xiàn)都是從實際問題的需要面出現(xiàn)的。很多高等數(shù)學(xué)概念的建立，都有其自身的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)模型又有其背景材料，教學(xué)中應(yīng)展示其產(chǎn)生和發(fā)展的過程，培養(yǎng)解決問題的意識，把握解決問題的一般程序：

案例一：變速直線運動的瞬時速度——建立導(dǎo)數(shù)概念

（2）問題的分析：物體自由下落，經(jīng)過時間，所經(jīng)過的路程為

當(dāng)時間由t0變到t0+△時，物體所經(jīng)過的路程為

由式（2）-式（1）得物體在△時間內(nèi)經(jīng)過的路程

將式（3）兩端同除以，得物體在時間內(nèi)的平均速度，即

（3）設(shè)變量、符號說明：△t——物體從t0時刻后的時間增量，△s——物體在△t時間內(nèi)的路程增量平均速度，v（t0）——t0時刻的瞬時速度。

（4）建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)對問題的分析，t0時刻的瞬時速度可表示為數(shù)學(xué)式

（5）模型的求解：對（4）求出極限，得時刻的瞬時速度

在高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)過程中，無不處處滲透著數(shù)學(xué)模型的思想。再如通過求曲邊梯形的面積來建立定積分的概念，用無限分割的思想，加強用“微元”分析方法建立積分模型的過程，使學(xué)生對非均勻積累問題的數(shù)學(xué)建模有一個深刻印象。即采用“分割→近似→求和→取極限”四個步驟建立所求量的積分模型，可簡記為

并用積分模型求不規(guī)則平面圖形的面積、空間圖形的體積、曲線弧長、液體壓力、變力作功等。

通過在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，是從高職學(xué)生的基礎(chǔ)知識實際出發(fā)來培養(yǎng)學(xué)生分析、解決實際問題的最基本途徑。

四、精選案例，開闊思路

以高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為背景，選擇難度較低的實際問題，通過建立數(shù)學(xué)模型，直接對數(shù)學(xué)知識加以應(yīng)用。

案例二：變化率模型——導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

表示自變量每改變一個單位時，函數(shù)y的平均變化率；當(dāng)△x→0時，若y可導(dǎo)，則為函數(shù)y=f（x）的瞬時變化率。

（1）問題的提出：在離水面高度為H的岸上，用繩子拉船靠岸。假設(shè)繩子的長度為L，船位于離岸S處，那么，當(dāng)收繩速度V0保持不變時，船的速度V是否改變？

（2）問題的分析：水面高度為H、繩子的長度L、船位于離岸的距離S構(gòu)成了直角三角形，由勾股定理得