王 悅，方 芳

（1.銅陵學(xué)院 電氣工程學(xué)院，安徽 銅陵244000；2.銅陵市環(huán)保局,安徽 銅陵244000）

1 引 言

洛倫茲變換是狹義相對(duì)論的基礎(chǔ)，在狹義相對(duì)論中占據(jù)中心地位，它用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言反映了相對(duì)論基本原理與伽利略變換及經(jīng)典相對(duì)性原理的本質(zhì)區(qū)別。關(guān)于洛倫茲變換式的推導(dǎo)在《普通物理學(xué)》[1]中往往使其過(guò)于簡(jiǎn)化，直接給出結(jié)論，從結(jié)論出發(fā)得出速度變換式，然后討論其物理本質(zhì)就是光速不變?cè)?。筆者按照這種思路教學(xué)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是被動(dòng)接受，對(duì)其中更深刻的物理含義仍然是不得要領(lǐng)?，F(xiàn)在很多論文已經(jīng)討論了如何推導(dǎo)洛侖茲變換式[2-4]。但大多是利用愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的基本原理和時(shí)空間隔的不變性對(duì)洛倫茲變換給出的推導(dǎo)過(guò)程。本文直接從光速不變?cè)沓霭l(fā)，先詳細(xì)闡述了“時(shí)間膨脹”，“動(dòng)尺縮短”，的時(shí)空觀，然后由此二點(diǎn)結(jié)論出發(fā)給出洛倫茲變換的推導(dǎo)過(guò)程，最后對(duì)其物理意義進(jìn)行了闡明。

2 運(yùn)動(dòng)時(shí)（鐘）間變慢

愛(ài)因斯坦在他的1905年發(fā)表的第一篇關(guān)于狹義相對(duì)論的論文中，突破經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀，提出了作為狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)：

1.相對(duì)性假設(shè)：物理定律對(duì)所有慣性參考系中的觀察者來(lái)說(shuō)都是相同的，沒(méi)有哪一個(gè)參考系是特殊的。

2.光速假設(shè)：光在真空中的速率沿各個(gè)方向在所有慣性系中具有相同的值C。

接受光速假設(shè)，就可以做如下討論。

假設(shè)有一光鐘以恒定的速度v 向右運(yùn)動(dòng)，如：

圖2

圖1 某人A 與光鐘一起運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)光鐘里有個(gè)光信號(hào)發(fā)出后達(dá)到上面的反射器后再返回到接受器，這個(gè)過(guò)程中光線是直上直下的滿足：

同一個(gè)過(guò)程在地面上靜止不動(dòng)的B 會(huì)看到圖2中的場(chǎng)景，認(rèn)為光走的是折線。

圖3

考慮半個(gè)過(guò)程，即光線達(dá)到接收器這個(gè)過(guò)程,由圖3 我們可以得到關(guān)系：

如果認(rèn)為相對(duì)靜止的參考系中測(cè)量的是原時(shí)（固有時(shí)），那么一定有△t＞△t0，所以同樣的時(shí)間間隔，從任何其他慣性系測(cè)的結(jié)果總比固有時(shí)要長(zhǎng)。即：原“時(shí)”最短，動(dòng)“時(shí)”變慢。

3 運(yùn)動(dòng)的尺子變短

測(cè)量一個(gè)“睡倒”光鐘的長(zhǎng)度，如果光鐘靜止時(shí)測(cè)量是l0，如圖4（a）

圖4

那么當(dāng)光鐘以速度v 運(yùn)動(dòng)之后如圖4（b）考察光線達(dá)到反射器的過(guò)程，應(yīng)該滿足：

類似可以分析從反射器回來(lái)達(dá)到接受器過(guò)程如圖5。

圖5

對(duì)于整個(gè)過(guò)程分析可以得到：

所以在物體的靜止參考系內(nèi)測(cè)得的物體長(zhǎng)度l0是它的原長(zhǎng)（固有長(zhǎng)度），那么在平行于該長(zhǎng)度作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的任何參考系內(nèi)測(cè)得的長(zhǎng)度都小于固有長(zhǎng)度。即：原“長(zhǎng)”最長(zhǎng)，動(dòng)“長(zhǎng)”收縮。注意長(zhǎng)度收縮只發(fā)生在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向上，也就是當(dāng)光鐘豎著放，沿著向右或者向左方向運(yùn)動(dòng)時(shí)測(cè)量的長(zhǎng)度是不會(huì)發(fā)生變化的。同時(shí)測(cè)量的長(zhǎng)度不一定是一個(gè)物體比如一根棒子或一個(gè)圓圈，它可以是在同一個(gè)參考系內(nèi)的兩個(gè)物體——例如太陽(yáng)和一顆鄰近的恒星（近似相對(duì)靜止）之間的距離。

4 洛侖茲變換式

上面，在光速假設(shè)基礎(chǔ)上得到了兩個(gè)重要結(jié)論，以下討論兩個(gè)慣性系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

圖6

如圖6，S' 系中靜止一個(gè)尺子，左端與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，右端坐標(biāo)為x'，那么尺子的長(zhǎng)度為：x'=l0

換到S 系，測(cè)量的右端坐標(biāo)滿足幾何關(guān)系：x=l+vt

這就是x 軸上的坐標(biāo)變換，考慮逆變換只要把x?x'，v?-v 即可，所以可以得到：

以下把x'的表達(dá)式代入（3）式代入（4）式可以得到：

整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程咱們主要用到光速不變?cè)?，這個(gè)方法簡(jiǎn)單明了，易于理解，很適用于大學(xué)物理或普通物理課程等非物理專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解。

5 洛倫茲變換的物理意義

從洛倫茲變換的導(dǎo)出過(guò)程和蘊(yùn)含的時(shí)空觀可以看出洛倫茲變換的物理意義是：

1.洛倫茲變換時(shí)間和空間與物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)是密不可分的，尤其是時(shí)間量含有空間坐標(biāo)，意味著時(shí)間是會(huì)受到空間的影響的。

2.當(dāng)v＜＜c時(shí)，β=v/c→0，洛侖茲變換→伽利略變換式：

所以洛侖茲坐標(biāo)變換比伽利略坐標(biāo)變換適用范圍更廣，在宏觀低速時(shí)兩者等價(jià)，但處理近光速運(yùn)動(dòng)時(shí)伽利略坐標(biāo)變換失效。同時(shí)，從伽利略變換是看不出時(shí)間和空間之間的聯(lián)系的，洛侖茲坐標(biāo)變換才真實(shí)反映了時(shí)空的關(guān)聯(lián)性。

3.從坐標(biāo)變換還可以得到速度變換：

從速度變換式中可以看出當(dāng)ux=c 時(shí)一定有v'x=c，也就是說(shuō)光速在不同慣性系中都是恒定的，所以洛侖茲變換其實(shí)和光速不變?cè)硎堑葍r(jià)的, 它可以看成是光速不變?cè)淼臄?shù)學(xué)描述。

4.從速度變換式中我們還可以發(fā)現(xiàn)：x 軸的速度還會(huì)影響到y(tǒng) 和z 軸的速度，這一點(diǎn)說(shuō)明運(yùn)動(dòng)在整個(gè)空間各個(gè)方向是有關(guān)聯(lián)的，一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)一定會(huì)影響其他方向的運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性這種說(shuō)法其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?duì)于運(yùn)動(dòng)可以分解到各個(gè)坐標(biāo)系的處理方式在近光速時(shí)也是不能用的，僅在宏觀低速時(shí)空的關(guān)聯(lián)性不易察覺(jué)所以可以近似處理。

[1]程守珠，江之永.普通物理學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2006：145-148.

[2]王笑君，關(guān)洪.關(guān)于洛倫茲變換的推導(dǎo)[J].大學(xué)物理，1998(08)：19-21.

[3]嚴(yán)國(guó)清，彭振生.洛倫茲變換的一種新推導(dǎo)[J].大學(xué)物理，2006(09)：22-24.

[4]關(guān)洪.再談洛倫茲變換的推導(dǎo)[J].大學(xué)物理，2007(11)：14-15.