薛梅

數(shù)列是高中數(shù)學的一個重要板塊，在歷年來高考中，所占比例10%左右，而數(shù)列求和是考查中重點內容之一，很多學生都覺得面對數(shù)列求和問題，顯得很無力，下面我將結合具體實例來研究求和的方法.

一、倒序相加法

此方法源于等差數(shù)列前n項和公式的推導，目的在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡后求和.其實質是對偶原理

小結：對某些具有對稱性的數(shù)列，可運用此法.

二、公式法（或直接求和法）

此方法僅適用于等差或等比數(shù)列。

1.等差數(shù)列求和公式：

2.等比數(shù)列求和公式：

例2 （2013四川，理16）（本小題滿分12分）在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項，求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和.

解：設該數(shù)列公差為d，前n項和為Sn.

由已知，可得2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）.

所以，a1+d=4，d（d-3a1）=0，解得a1=4，d=0，或a1=1，d=3，即數(shù)列{an}的首項為4，公差為0，或首項為1，公差為3.

所以，數(shù)列的前n項和Sn=4n或Sn=

小結：數(shù)列轉化為等差或等比數(shù)列，直接運用等差或等比數(shù)列的前n項和公式求得.

三、裂項相消法

如果數(shù)列的通項公式很容易表示成另一個數(shù)列的相鄰兩項的差，即，則有.這種方法就稱為裂項相消求和法.

例3 ?.[2014·全國大綱卷（理18）]等差數(shù)列的前n項和為，已知，a2為整數(shù)，且.

（I）求的通項公式;

（II）設，求數(shù)列的前n項和.

[解析]（I）由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差d為整數(shù).又，故于是，解得，因此，故數(shù)列的通項公式為.（II），于小結：要先觀察通項類型，在裂項求和，而且要注意相消后所剩下的項數(shù)，后面還很可能前n項和的最值結合起來考查參數(shù)取值范圍。

四、錯位相減法

源于等比數(shù)列前n項和公式的推導，對于形如的數(shù)列，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，均可用此法.

例4 [2014·全國卷Ⅰ（文17）]已知是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程的根。

（I）求的通項公式;

（II）求數(shù)列的前n項和.

[解析]：（I）方程的兩根為2，3，由題意得，，設數(shù)列的公差為 d，，則，故d=，從而，

所以的通項公式為：

（Ⅱ）設求數(shù)列的前n項和為Sn，由（Ⅰ）知，

則：

兩式相減得

所以

小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比;②將兩個等式相減;③利用等比數(shù)列的前n項和公式求和.④注意相減后項數(shù)變成n+1項。

五、分組求和法

若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求.

例5 ?[2014·北京卷（文15）]已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列和的通項公式;

（2）求數(shù)列的前n項和.

[解析]（I）設等差數(shù)列的公差為d，由題意得：，

所以，

設等比數(shù)列的公比為q，由題意得：，解得q=2.

所以，從而.

（II）由（1）知，，

數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，

所以數(shù)列的前n項和為.

六、結語

在求和時，一定要認真觀察數(shù)列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和。