顧 杰，郭振興，馬秀杰

（邯鄲學(xué)院 太極文化學(xué)院，河北 邯鄲 056005）

太極文化研究

用人體平面剛體模型分析太極拳在水平、垂直、橫向力作用下的力學(xué)原理

顧 杰，郭振興，馬秀杰

（邯鄲學(xué)院 太極文化學(xué)院，河北 邯鄲 056005）

在對《用人體平面剛體模型分析太極拳在水平作用力下的力學(xué)原理》研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了太極拳在三維作用力下的力學(xué)原理，推導(dǎo)出更接近實(shí)際和具有普遍意義的穩(wěn)定和失衡臨界（失根和打滑）定量分析三大公式，給定了規(guī)范太極拳動(dòng)作和技術(shù)的力學(xué)方法。以特例、算例、實(shí)例等不同形式具體計(jì)算和分析了弓步、坐步、分腳、弓步掤、坐步捋等太極拳基本技術(shù)動(dòng)作的受力狀況和失衡臨界點(diǎn)，闡述了三大公式在不同情形下的運(yùn)用方法，太極拳基本動(dòng)作的力學(xué)原理和力學(xué)規(guī)范。甲乙雙方推手，比的是功架的力學(xué)性能?！凹追阶睫蹌僖曳焦綊颉笔翘珮O拳的經(jīng)典結(jié)論。通過用三大公式對該結(jié)論作定量分析。數(shù)據(jù)表明輕者甲方可用“四兩”將乙方的“千斤”“撥”離平衡，重者甲方可將乙方發(fā)出一丈之外。三大公式為王宗岳的“耄耋能御眾”找到了現(xiàn)代力學(xué)的基礎(chǔ)。推手比的是技術(shù)，比的是如何運(yùn)用合適的功架。 三大公式為推手分析提供了定量工具。

太極拳；力學(xué)分析；人體平面剛體模型

引言

太極拳是一種具有健身和搏擊功能的肢體運(yùn)動(dòng)，無論是自我練習(xí)還是與人對抗都是依靠身體的位移和肢體的動(dòng)作變換。因此，太極拳“掤、捋、擠、按、采、挒、肘、靠”等技術(shù)的運(yùn)用都必然依靠人體質(zhì)量、速度和力學(xué)構(gòu)造的共同作用。人體質(zhì)量和速度的乘積在力學(xué)中稱為人體動(dòng)量，人體動(dòng)量是太極拳運(yùn)動(dòng)的重要因素［1］54-69。太極拳推手就是一方的動(dòng)量作用于另一方動(dòng)量，兩方的動(dòng)量相互作用發(fā)生碰撞，在身體的接觸點(diǎn)產(chǎn)生力。從力學(xué)意義上講就是碰撞產(chǎn)生力［2］82-107。

太極推手碰撞產(chǎn)生的力是一對力：作用力和反作用力。作用力作用于乙方；反作用力作用于甲方；作用力和反作用力大小相等方向相反。力是一個(gè)矢量， 通常有三個(gè)分量。文獻(xiàn)［2］僅僅討論了水平分量的效果。本文將討論三個(gè)分量同時(shí)作用的力學(xué)效果。太極拳中力的方向分法眾多，有水平、垂直、橫向、側(cè)上、側(cè)下、向后等，例如“攬雀尾”中的“捋”就是向后、橫、側(cè)下方拖動(dòng)乙方，本文按照力學(xué)分法將其簡約為水平、垂直、橫向三個(gè)方向。最大攻擊力的取決于功架的形式和發(fā)力的方式。實(shí)際能發(fā)出的力小于或等于最大攻擊力，這時(shí)甲方在臨界條件內(nèi)，而保持穩(wěn)定。太極拳中的力分為傳遞力（由腳底傳遞到全身的力）、整體動(dòng)量力（人體整體動(dòng)量的碰撞力）、相對動(dòng)量力（肢體相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的碰撞力）三種。三種力常是聯(lián)合使用，也能夠單獨(dú)使用。

歷代太極拳大家從不同側(cè)面論述過上述觀點(diǎn)，武式太極拳宗師武禹襄在《太極拳論》中講：“……其根在腳，發(fā)于腿，主宰于腰，形于手指。由腳而腿而腰，總須完整一氣……”；楊式太極拳宗師楊澄甫在《太極拳說十要》中強(qiáng)調(diào)：“上下相隨者，即太極拳論中所云：“其根在腳……” ；都強(qiáng)調(diào)了力源于腳底和大地的密切聯(lián)系，下肢穩(wěn)住了，上肢或身體其他部位才能實(shí)現(xiàn)攻防的意向；還言明了力的傳遞過程。太極拳宗師王宗岳在《十三勢行功心解》中說：“……所謂變動(dòng)虛實(shí)也，……運(yùn)勁如百煉鋼，……發(fā)勁如放箭，……蓄而后發(fā)，……”“……曲中求直，蓄而后發(fā)。力由脊發(fā)，……” 這眾多文字細(xì)述了人體整體動(dòng)量和肢體相對動(dòng)量這兩種力的形成與功能，強(qiáng)調(diào)有效攻擊的形成要依靠軀體與上肢的配合，腰脊是反沖基地，手臂是攻擊器，兩者依靠身體的曲伸產(chǎn)生相對運(yùn)動(dòng)，腰脊部位的大質(zhì)量低速度動(dòng)量造成手或手臂的快速打擊力。太極拳中的“長勁”主要是指用傳遞力和整體動(dòng)量的發(fā)勁方法，“短勁”主要是指用相對動(dòng)量的發(fā)勁方法［3］10-17。

文獻(xiàn)［1］、［3］主要討論了太極拳的力學(xué)原理，文獻(xiàn)［2］提出了人體平面剛體模型的概念，并通過對太極拳水平方向作用力（水平力）的研究，得出了太極拳力學(xué)研究的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模式。本文在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完善了人體平面剛體模型的力學(xué)條件，在傳遞力、整體動(dòng)量、相對動(dòng)量三大力源中納入了人體角動(dòng)量的影響；將發(fā)力方向增加為水平、垂直、橫向三個(gè)方向；并以太極推手技法“弓步掤”、“坐步捋”為例，分析了太極拳基本動(dòng)作的力學(xué)原理，推導(dǎo)出相關(guān)研究可用的數(shù)學(xué)模式和運(yùn)算軟件。

一、水平、垂直、橫向作用力下的人體平面剛體模型

有水平、垂直、橫向力作用于人體的平面剛體模型。這里把人體簡化為平面內(nèi)的一個(gè)剛體模型，各肢體簡化成剛桿，剛桿的接點(diǎn)為剛性；腳和地面的接觸處簡化為點(diǎn)；剛體的質(zhì)心和重心重合；并根據(jù)研究需要設(shè)定了若干力學(xué)條件，見圖1。圖1形似弓步，但對其他步型都適用。例如，前腳距離小于后腳距離時(shí)可認(rèn)為是弓步；前腳距離大于后腳距離時(shí)可認(rèn)為是坐步；前腳距離大大于后腳距離時(shí)可認(rèn)為是虛步。只要選擇合適的參數(shù)，圖1的模型適用于任何步型。

圖1　平面剛體模

圖中：

m=60（ kg）--人體質(zhì)量

W=mg--人體重力垂直向下，作用于重心

g=9.8m/s2--重力加速度

mj=2（ kg）--手的質(zhì)量

Fx--乙方對甲方施加的水平外力，向左為正

Fy--乙方對甲方施加的垂直外力，向下為正

Fz--乙方對甲方施加的橫向外力，進(jìn)紙為正

Nq--地面對前腳的正向支撐力

Nh--地面對后腳的正向支撐力

fqx--地面對前腳的水平摩擦力，向右為正

fhx--地面對后腳的水平摩擦力，向右為正

fqz--地面對前腳的橫向摩擦力，出紙為正

fhz--地面對后腳的橫向摩擦力，出紙為正

Lq--重心到前腳的水平距離

Lh--重心到后腳的水平距離

Ls--接觸（手）處到重心的水平距離

Hz--重心到地面的高度

Hj--接觸（手）處到地面的高度

v0x--人體質(zhì)心處的水平初速度，向右為正

v0y--人體質(zhì)心處的垂直初速度，向上為正

v0z--人體質(zhì)心處的橫向初速度，出紙為正

L0x--質(zhì)心水平勻減速運(yùn)動(dòng)距離

L0y--質(zhì)心垂直勻減速運(yùn)動(dòng)距離

L0z--質(zhì)心橫向勻減速運(yùn)動(dòng)距離

Ljx--手水平勻減速運(yùn)動(dòng)距離

ωy--人體繞Y軸的垂直初角速度，左旋為正

tanθ=μ=0.5-摩擦角正切等于摩擦系數(shù)

φxy-XY 平面內(nèi)平動(dòng)的力線角

φq-前腳總力線角

φh-后腳總力線角

圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

二、人體動(dòng)力學(xué)分析

太極拳的基本要求是保持甲方穩(wěn)定，迫使乙方失衡。失衡的標(biāo)志是在外力作用下腳底打滑（簡稱打滑）或腳底失去正壓力（簡稱失根）。

按照圖1所示，將人體簡化為平面剛體模型采用隔離體分析法，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)平衡原理分析和推導(dǎo)人體在水平力、垂直力、橫向力共同作用下的受力狀況、穩(wěn)定條件和打滑、失根條件，以及相互關(guān)系和數(shù)學(xué)計(jì)算模式。

圖1中重力線與地面的交點(diǎn)是O，取定軸為通過O點(diǎn)垂直于紙面的直線。水平力和力的高度Hj形成逆時(shí)針力矩；垂直力和力臂Ls形成順時(shí)針力矩；前腳支撐力Nq和前腳距離Lq形成逆時(shí)針力矩；后腳支撐力Nh和后腳距離Lh形成順時(shí)針力矩。加速度apx向左，角加速度逆時(shí)針；加速度apy對過O點(diǎn)的臂為零，沒有角加速度；人體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是將這些條件代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律我們得到：

解方程組（2）（3），并寫入保根條件（地面對腳的正向支撐力大于或等于零），得：

將摩擦力按正壓力分配，并限以不打滑條件（力線角的正切小于或等于摩擦系數(shù)），得：

由（1）式可知，摩擦力之和為：

由（2）式可知，正壓力之和為：

因力線角的正切等于摩擦力之和與正壓力之和之比，所以（6）式除以（7）式得：

在橫方向（Z）由牛頓第二定律，得：

將轉(zhuǎn)動(dòng)定律運(yùn)用于質(zhì)心Y軸，得：

解方程組（9）（10），并寫入不打滑條件，得：

（11）寫入的不打滑條件中兩腳正壓力由（4）式給出，沒打滑前兩腳橫向摩擦力與正壓力之比是YZ平面內(nèi)的力線角，即：

將（4）（11）代入（12），并寫入不打滑條件，得：

各腳的總摩擦力為：

各腳的總的力線角應(yīng)小于摩擦角，即：

綜合上述推算與分析，得出人體在水平力、垂直力、橫向力共同作用下保持穩(wěn)定的必要條件以及計(jì)量方法（穩(wěn)定公式）：

由文獻(xiàn)［2］知，人體失去地面的支持的臨界條件是地面對腳的正向支撐力為零，也即失根臨界條件，其計(jì)算公式（失根公式）是：

由文獻(xiàn)［2］知腳底打滑的臨界條件是力線角的正切等于摩擦系數(shù)，即打滑臨界條件，其計(jì)算公式（打滑公式）：

上述（16）、（17）、（18）三個(gè)公式是太極拳力學(xué)分析的基本公式，具有普遍應(yīng)用意義。不僅能分析單一方向作用力，而且能分析多方向作用力；不僅能分析單一力源的作用，而且能分析多種力源的作用。因而，能分析太極拳的基本動(dòng)作、基本技術(shù)和各種復(fù)雜發(fā)力，能量化腳底打滑、失根的臨界條件，能計(jì)算推手時(shí)雙方的接觸力、失衡臨界點(diǎn)和各方的平衡度。

太極拳的力，尤其是推手中雙方的相互作用力有大小和方向，是個(gè)三維力。力的方向在傳統(tǒng)太極理論中分為“四正四隅”，意為四面八方。在近代力學(xué)中力的方向更精確的表示為三個(gè)方向，或稱力有三個(gè)分量。調(diào)節(jié)三個(gè)分量的量值和符號可得到任何方向的力。本文將力表示于水平、垂直和橫向三個(gè)坐標(biāo)軸組成的坐標(biāo)系中，因此力有水平、垂直和橫向三個(gè)分量。

最大發(fā)力量取決于力的來源及其分配。文獻(xiàn)［2］的結(jié)論是太極拳的力源分為傳遞力（由腳跟傳遞來的力）、整體動(dòng)量（人體整體動(dòng)量的碰撞力）、相對動(dòng)量（肢體相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的碰撞力）三種。這個(gè)結(jié)論對本文的三維力分析完全適用。實(shí)際發(fā)力量小于或等于最大發(fā)力量。否側(cè)甲方將越過臨界條件，最終導(dǎo)致失穩(wěn)。

在太極推手中，力源和力的方向有多種組合，各種組合合成為具有不同功能和不同威力的作用力。方向用“維度”表示，力源用“源”表示。例如：一個(gè)方向和一種力源稱為一維一源力，或按方向稱為水平力、垂直力、橫向力；兩個(gè)方向和兩種力源稱為二維二源力；三個(gè)方向和三種力源稱為三維三源力。

二、一維水平力三源的特例

只有水平力和速度時(shí)穩(wěn)定公式（16）式簡化為文獻(xiàn)［2］中的（23）式；失根公式（17）簡化為文獻(xiàn)［2］中的（21）式；打滑公式（18）為文獻(xiàn)［2］中的（24）式。因而本文的結(jié)論和文獻(xiàn)［2］的完全一致。本特例中，攻擊力在水平方向；力源可來自于傳遞力、整體動(dòng)量碰撞力和相對動(dòng)量碰撞力。

三、一維垂直力三源的特例

只有垂直力和速度時(shí)（水平、橫向的力和速度為零）穩(wěn)定公式（16）式簡化為：

摩擦力等于零，所以沒有打滑臨界點(diǎn)，即永遠(yuǎn)不會打滑。

失根臨界條件可令（19）中第4或5式為零而得。

本特例中，攻擊力在垂直方向；力源可來自于傳遞力、整體動(dòng)量碰撞力和相對動(dòng)量碰撞力。

我們來看一個(gè)一維（垂直）一源（傳遞力）弓步的特例計(jì)算，垂直力沒有速度時(shí)弓步輸入數(shù)據(jù)為：

將（20）代入（19）計(jì)算結(jié)果如表1。

表1　垂直力下弓步的正壓力和摩擦力

由表一可見，弓步在只承受垂直力時(shí)，前腳的正壓力隨外力遞增而增加，沒有理論上的限制。實(shí)際的限制來自人體構(gòu)架的保型能力。后腳的正壓力隨外力遞增而減小，但減小幅度很小。

打滑臨界力：因?yàn)橹挥写怪绷?，所以摩擦力等于零，也就沒有打滑條件，即弓步僅在垂直力作用下不會打滑。

失根臨界力：弓步的失根臨界條件是后腳正壓力為零，即公式（19）中第5式為零。如令（19）中第5式為零，可算得致使弓步失根的臨界力牛頓。這個(gè)力的數(shù)值比較大，所以弓步僅在垂直力下，一般不會失根。

上述的計(jì)算和分析都是假設(shè)弓步與乙方接觸的手探出前腳10厘米如果手不探出前腳，則弓步更不會失根。因此，在只有垂直力作用的情況下，與乙方接觸的手越靠近身軀越有利于全身穩(wěn)定。如果計(jì)入質(zhì)心速度和手速度（一維三源垂直方向），仍可得出類似的結(jié)果。詳細(xì)分析此處從略。

四、二維水平和垂直組合力三源的特例

當(dāng)圖1所示模型受到水平力和垂直力合成的二維力作用并有速度時(shí)，穩(wěn)定公式（16）簡化為：

打滑臨界條件公式：令（21）式第6式等于摩擦系數(shù)得出。失根臨界條件公式：令（21）式第4或5式為零得出。

為方便解題，令垂直力和水平力成正比，即：

將（22）代入臨界條件可解出臨界力Fx。

我們來看一個(gè)二維（水平和垂直組合力）一源（傳遞力）弓步的特例計(jì)算，水平和垂直組合力沒有速度時(shí)弓步輸入為：

將（23）代入（21）計(jì)算出正壓力和摩擦力如表2。由表2可見，打滑先于失根。

打滑臨界力：根據(jù)打滑條件，令（21）式第6式等于摩擦系數(shù)，算得打滑臨界力牛頓。當(dāng)力線角增至摩擦角后（tanφ≥μ），水平力將大于摩擦力。摩擦力等于正壓力和摩擦系數(shù)的乘積。公式（21）變?yōu)椋?/p>

表2　水平和垂直組合力下弓步的正壓力和摩擦力

公式（24）中第1式表明，水平力大于摩擦力的部分將加速人體打滑，人體將最終滑出賽場。表二中自牛頓以下各行（至下一個(gè)臨界條件）的數(shù)值是由（24）式計(jì)算。

失根臨界力：根據(jù)失根條件，令（21）式第4式等于零，算得出失根力牛頓。當(dāng)前腳正壓力遞減至零時(shí)，后腳正壓力遞增至承受全部正壓力并保持不變。其后外力矩大于重力矩，前腳正壓力為零并保持不變，后腳承受全部重力、垂直外力，和全部摩擦力的最大值。（21）式變?yōu)椋?/p>

公式（25）中第1式表明，水平力和垂直力對后腳的力矩大于重力對后腳的力矩。兩個(gè)力矩的差值將加速人體而最終被掀翻。表二中自以下各行數(shù)值由公式（25）式計(jì)算。

前腳摩擦力增至峰值后遞減，當(dāng)該腳正壓力為零后摩擦力也為零。后腳摩擦力遞增至承受全部摩擦力。全部摩擦力等于重力與垂直力之和乘以摩擦系數(shù)。

文獻(xiàn)［2］表一給出僅有水平力作用下人體平面模型的分析，比較文獻(xiàn)［2］表一和本文表二可見垂直力的加入使臨界值增加。表三是無有垂直力時(shí)臨界力的比較。由表三可見，水平和垂直組合力使人腳底打滑、前腳失根的力大于單一水平力。

表3　僅有水平力作用下和水平垂直組合力作用下臨界力的比較

由此可見攻擊時(shí)斜向上能增加進(jìn)攻能力。楊式太極拳“攬雀尾”的“掤勢”和“按勢”就是具體運(yùn)用。

五、一維橫向力三源的特例

當(dāng)圖1所示模型受到橫向力作用時(shí)并有速度時(shí)，穩(wěn)定公式（16）簡化為：

失根臨界力：因?yàn)橹挥袡M向力，所以重心能夠一直保持在兩腳間，也就永遠(yuǎn)不會失根。

打滑臨界力：打滑臨界條件：令（26）式第10或11式等于摩擦系數(shù)。

我們來看一個(gè)一維（橫向力）一源（傳遞力）弓步的特例計(jì)算，只有橫向力沒有速度時(shí)的弓步輸入為

將公式（27）代入公式（26）計(jì)算出橫向力作用下弓步的正壓力和摩擦力如表4。

由表4可見，在只承受橫向力時(shí)，弓步前后兩腳的正壓力是身體重力之和，不隨外力變化而變化。兩腳摩擦力的計(jì)算和正壓力沒有關(guān)系；后腳的摩擦力呈現(xiàn)負(fù)值，是因?yàn)槟Σ亮Φ姆较蜻M(jìn)入紙面方向（圖1中的摩擦力出紙為正，入紙為負(fù)）。

表4　橫向力下弓步的正壓力和摩擦力

式中ad是人體質(zhì)心的加速度，是人體的角加速度。人體繞后腳加速，因而有，

將（29）代入（28），得：

解（30）得：

后腳的摩擦角為：

因外力分配于前腳的力是Fqz，所以，

將（31）代入（33），計(jì)算出前腳的力，

前腳的摩擦角為，

用（28）（31）（32）（35）取代（26）中的相應(yīng)公式，得前腳打滑后的公式得出前腳打滑后保持穩(wěn)定的必要條件以及計(jì)量方法，即穩(wěn)定公式（16）在簡化為公式（26）后，進(jìn)一步簡化為專用公式：

本例可用來模擬楊式太極拳的“野馬分鬃”、“斜飛式”等橫向攻擊動(dòng)作。下盤弓步，前手橫向挒乙方。甲方的最大攻擊力是牛頓。甲方攻擊乙方的橫向。文獻(xiàn)［2］中算出乙方最多能承受64.1牛頓?？梢娂追綋舻挂曳绞蔷b綽有余。

具有質(zhì)心速度、手速度和人體角速度的計(jì)算給出類似的結(jié)果。質(zhì)心速度、手速度和人體角速度大大的增加了甲方的攻擊力。這里從略。

六、甲方三維（水平、垂直和橫向力）一源（傳遞力）的坐步和乙方三維一源弓步的推手

甲方和乙方接觸，接觸處的力有大小方向。一般情況下力有三個(gè)方向的分量。比如楊式太極拳攬雀尾的捋，甲方向后、橫、下方向拖帶乙方。捋時(shí)常用坐步。圖1的模型也適用于坐步。坐步前腳距離大，后腳距離小，只需帶入合適的參數(shù)。穩(wěn)定公式（16）包括在接觸處三種力源的效果：由腳根傳遞來的力、人體整體的動(dòng)量的碰撞力、肢體相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的碰撞力。打滑臨界條件由（18）給出。失根臨界條件由（17）給出。哪個(gè)臨界條件先滿足最好由列表計(jì)算的趨勢而定。

在太極推手中有傳遞力、整體動(dòng)量、相對動(dòng)量等三種力源的應(yīng)用（發(fā)力），有時(shí)單用一種，有時(shí)兩種合用，更多是三種合用。先分析只有傳遞力的情況。

假設(shè)乙方下盤為弓步，上盤以掤勢向甲方進(jìn)攻，見圖3。甲方下盤坐步，上盤以捋勢發(fā)勁，見圖2。

圖2　甲方坐步捋勢

圖3　乙方弓步掤勢

圖4　乙方弓步側(cè)向

先分析甲方。三維力時(shí)坐步的輸入是，

乙方作用于甲方的水平力是拉力，根據(jù)圖1的符號規(guī)則Fx取一系列負(fù)值。類似的，垂直力Fy為負(fù)值，橫向力Fz為正值。垂直力和橫向力按由比例輸入。將數(shù)據(jù)（37）式代入穩(wěn)定公式（16）計(jì)算出正壓力和摩擦力如表5。

由表5可見，甲方后腳打滑先于前腳打滑和后腳失根。由打滑公式（18）的第2式算出，當(dāng)牛頓時(shí)后腳開始打滑，這也是坐步能有的最大縱向拉力。由數(shù)據(jù)（37）中第6、7式可算知，當(dāng)牛頓時(shí)，相應(yīng)的垂直力牛頓，相應(yīng)的橫向力牛頓。

表5　三維力下坐步的正壓力和摩擦力

再分析乙方。注意乙方的坐標(biāo)系繞Y軸旋轉(zhuǎn)了180度（見圖3和圖4）， 這樣圖1的模型仍然適用于乙方。圖3中縱向弓步的輸入是，

將數(shù)據(jù)（38）代入公式（16）可算出乙方弓步的力學(xué)效果，算表從略。

甲方坐步縱向最大拉力226牛頓大于乙方弓步縱向抵抗拉力141.9牛頓，所以甲方能使乙方后腳打滑。這里以水平力為基數(shù)，垂直力及橫向力都與水平力成比例。

設(shè)想甲方捋乙方弓步的側(cè)向。乙方側(cè)向面對甲方，見圖4。乙方弓步側(cè)向的輸入是，

將（39）代入（16）可算出乙方側(cè)向弓步的力學(xué)效果，算表從略。

甲方坐步縱向最大拉力226牛頓遠(yuǎn)大于乙方弓步側(cè)向抵抗拉力58.6牛頓，所以甲方能使乙方后腳打滑。

特別要注意的是這里比較的是功架的力學(xué)功能。這跟體能是不同的概念。強(qiáng)壯的人用了不合適的功架也會失敗。而耄耋老者運(yùn)用合適的功架卻能打敗強(qiáng)壯的對手。

按照牛頓第三定律，兩方接觸，產(chǎn)生一對作用力與反作用力。稱甲方作用于乙方的力為作用力，則乙方作用于甲方的力為反作用力。根據(jù)牛頓第三定律作用力和反作用力大小相等方向相反。乙方在水平方向作掤勢。甲方在三個(gè)方向發(fā)力。盡管乙方試圖攻于水平向，由于甲方加攻垂直向和橫向，兩方間的作用力和反作用力仍然具有三個(gè)方向，并且量值相等，見表 6。作用于甲方的水平力向左，作用于乙方的水平力向右；作用于甲方的垂直力向上，作用于乙方的垂直力向下；作用于甲方的橫向力向內(nèi)，作用于乙方的橫向力向外。注意在表中各力的取值隨著模型的坐標(biāo)系而定。乙方的坐標(biāo)系繞Y軸旋轉(zhuǎn)了180度。因而根據(jù)圖1中的符號規(guī)則：甲方的水平力在甲方坐標(biāo)系中取負(fù)值，乙方水平力在乙方坐標(biāo)系中取負(fù)值；甲方垂直力在甲方坐標(biāo)系中取負(fù)值，乙方垂直力在乙方坐標(biāo)系中取正值；甲方橫向力在甲方坐標(biāo)系中取正值，對橫向力在乙方坐標(biāo)系中取正值。

表6　作用三維力和反作用三維力

甲方可發(fā)水平力的最大值是226牛頓（表6第3行）。在此范圍內(nèi)甲方平衡，既不失根，也不打滑。當(dāng)甲方的水平力是58.5牛頓時(shí)，導(dǎo)致以方側(cè)向弓步臨界打滑，其后失效。類似地，當(dāng)甲方的水平力是141.9牛頓時(shí)，導(dǎo)致方縱向弓步臨界打滑，其后失效。所以226牛頓是儲備，并不是甲方需要發(fā)的力。只要甲方臨界力大于乙方臨界力，就能打敗乙方。而打敗乙方時(shí)，甲方只需發(fā)和乙方臨界力等量的力。

總之，通過力學(xué)分析，表明“坐步捋”是應(yīng)對“弓步掤”有效方法，同時(shí)證明了太極拳“牽動(dòng)四兩撥千斤”理論的可靠和戰(zhàn)術(shù)的巧妙。

上述分析，雖然接近實(shí)際，具有說服力，但由于平面模型的局限，忽略了人體的側(cè)向尺度，要彌補(bǔ)這一缺憾，還需在后續(xù)研究中建立人體立體剛體模型。

七、甲方三維（水平、垂直和橫向力）二源（傳遞力和整體動(dòng)量碰撞力）的坐步特例

在前例坐步的基礎(chǔ)上，本例在力源中增設(shè)了整體動(dòng)量以分析甲方在三維二源情況下的力學(xué)效應(yīng)，見圖 5。坐步納入整體動(dòng)量的輸入是，

將數(shù)據(jù)（40）代入穩(wěn)定公式（16）計(jì)算坐步的正壓力和摩擦力如表7。

圖5　甲方坐步整體動(dòng)量捋勢

表7　納入整體動(dòng)量后坐步的正壓力和摩擦力

由表可見，后腳打滑將先于前腳打滑和后腳失根。由（18）第2式算出牛頓時(shí)后腳開始打滑。該力遠(yuǎn)大于沒有整體動(dòng)量時(shí)的最大攻擊力（226牛頓）。所以人體的總動(dòng)量增加捋的功能。相應(yīng)的垂直力是牛頓，相應(yīng)的橫向力是牛頓。

八、甲方三維三源坐步捋和乙方三維二源（沒有相對動(dòng)量）弓步掤推手

三維三源是一般情況，在太極拳套路中處處可見，在太極推手中使用的最普遍。三維三源情況下有穩(wěn)定公式（16）、失根公式（17）和打滑公式（18）。三維三源坐步的輸入是，

圖6示出了甲方三維三源時(shí)的示意圖。

圖6　甲方三維三源坐步捋勢

將數(shù)據(jù)（41）代入穩(wěn)定公式（16）計(jì)算出坐步的正壓力和摩擦力如表8。

表8　納入整體和相對動(dòng)量后坐步的正壓力和摩擦力

由表8可見，后腳打滑將先于前腳打滑和后腳失根。由打滑公式（18）中第2式展開，

在實(shí)際運(yùn)算中，用（42）式來反推水平輸入力的精確數(shù)值不太容易，需要解一個(gè)二次方程。這里采用數(shù)值計(jì)算法：優(yōu)越表逆算法。當(dāng)表八中最后一欄（tanhφ）趨近于摩擦系數(shù)時(shí)，加密輸入間隔。當(dāng)表八中最后一欄等于摩擦系數(shù)時(shí)，逆算輸入量準(zhǔn)確到一位小數(shù)點(diǎn)（或選定位小數(shù)點(diǎn)）。

假設(shè)乙方有一個(gè)針對甲方的水平的初速度1.42（m/s），見圖7。

圖7　乙方弓步整體動(dòng)量掤勢

有水平初速度的縱向弓步的輸入是，

將數(shù)據(jù)（43）代入穩(wěn)定公式（16）計(jì)算弓步正壓力和摩擦力如表9。

表9　有水平初速度時(shí)三維力作用下弓步的正壓力和摩擦力

甲方坐步可發(fā)的最大水平力、垂直力、橫向力的臨界力是-570.8：-171.2：285.4牛頓。如果甲方用這樣的力捋乙方，乙方將重重跌出。垂直力將使乙方騰空或倒地，水平力和橫向力將使乙方飛出或滑出，三力的共同作用將使乙方在失去重心后以跳躍式向甲方橫后方向運(yùn)動(dòng)。如果甲方用坐步的臨界力-570.8：-171.2：285.4牛頓來捋乙方，這全部的力將在三個(gè)方向增加乙方的動(dòng)量。我們可估算一下，假設(shè)該力推了作功焦耳。這個(gè)功將用來使乙方向橫后向運(yùn)動(dòng)。乙方在重心跌出后將跳躍式運(yùn)動(dòng)。假設(shè)一步跳0.5米。每退一步腳打滑0.1米（其實(shí)遠(yuǎn)小于此數(shù)）。每一打滑耗能588（重力）×0.5（摩擦系數(shù)）×0.1=29.4焦耳?？偣Τ圆焦Γ?14÷29.3=7.3步。跳了7.3×0.5=3.64米才把總功用完而止步。這已是市制一丈多了?？梢娫诩追接谐鮿?dòng)量時(shí)，甲方的動(dòng)態(tài)坐步推手，可將乙方的動(dòng)態(tài)弓步捋出一丈多遠(yuǎn)。有關(guān)太極高手“發(fā)人于丈外，令對手掛于墻上”的故事也不是空穴來風(fēng)。

九、推手的動(dòng)態(tài)效應(yīng)：動(dòng)量傳遞

太極推手是身體之間的接觸和碰撞過程，是傳遞力、整體動(dòng)量、相對動(dòng)量三種力源作用的結(jié)果。傳遞力產(chǎn)生的作用屬于靜態(tài)效應(yīng)，整體動(dòng)量和相對動(dòng)量產(chǎn)生的作用屬于動(dòng)態(tài)效應(yīng)，穩(wěn)定公式（16）描述了這兩種效應(yīng)的總體效應(yīng)，本節(jié)著重討論動(dòng)態(tài)效應(yīng)。

仍以甲方“坐步捋”應(yīng)對乙方“弓步掤”為例，設(shè)乙方的“掤勁”里只有全身的整體動(dòng)量，沒有手的相對動(dòng)量，見圖9；甲方的“捋勁”里既有全身的整體動(dòng)量，又有手的相對動(dòng)量，見圖8。

圖8　碰撞前甲方動(dòng)量

圖9　碰撞前乙方動(dòng)量

掤捋相接就是力學(xué)上的碰撞。

甲方捋動(dòng)乙方的重心后，將所有動(dòng)量都傳給了乙方，見圖11，而此時(shí)甲方?jīng)]有了動(dòng)量，見圖10。

由文獻(xiàn)［8］知，推手雙方的動(dòng)量會相互傳遞，一方動(dòng)量增大時(shí)，另一方動(dòng)量減少，雙方的動(dòng)量總和守恒。因此，甲乙雙方碰撞時(shí)動(dòng)量守恒：

其中：

假設(shè)甲方攻擊乙方的重心，把乙方簡化為一個(gè)整體，因而乙方?jīng)]有手的速度和質(zhì)量。如果運(yùn)用得當(dāng)，甲方將所有動(dòng)量都傳給乙方。將代入（44），得

展開成三個(gè)分量，

在前述力子中，

圖8和圖9是碰撞前雙方的動(dòng)量。

將數(shù)據(jù)（47）代入公式（46）

算出碰撞后的乙方質(zhì)心速度，

圖10和圖11是碰撞后雙方的動(dòng)量?？梢娨曳降乃俣群蛣?dòng)量大為增加。這個(gè)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1.42（m/s）。如果碰撞后兩方脫離，可將（48）代入（16）以分析乙方的穩(wěn)定度。結(jié)果可想而知：乙方由自身的動(dòng)量打滑，被拔根。計(jì)算從略。

圖10　碰撞后甲方?jīng)]有動(dòng)量

圖11　碰撞后乙方動(dòng)量大增

公式（46）僅包括線性動(dòng)量的討論。剛體有線性動(dòng)量和角動(dòng)量。角動(dòng)量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積。一般物體的動(dòng)量統(tǒng)指該物的線性動(dòng)量和角動(dòng)量的綜合效果。人體是一個(gè)很復(fù)雜的體系。某些肢體，例如肘關(guān)節(jié)和肩關(guān)節(jié)間的大臂可近似看成一個(gè)剛體。另一些肢體，例如肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)間的小臂卻無法近似看成一個(gè)剛體（因?yàn)樾”勰苄D(zhuǎn)）。這些肢體的動(dòng)量都能用微積分法算出。各肢體通過各關(guān)節(jié)連成一個(gè)整體，各關(guān)節(jié)幫助各肢體產(chǎn)生相對運(yùn)動(dòng)。將所有肢體的動(dòng)量作矢量疊加，再加入關(guān)節(jié)本身的動(dòng)量，就得出人的體系動(dòng)量。這是理論，真要算得話，需要一臺超級計(jì)算機(jī)。

十、獨(dú)立模型

上述以弓步和坐步特例和算例，表述了不同情況下平衡和失衡狀態(tài)的分析方法，說明了穩(wěn)定、打滑、失根等公式應(yīng)用的寬泛性和可行性，標(biāo)定了一些原則。太極拳的動(dòng)作繁多，各有不同，對具體動(dòng)作的分析要具體對待。本節(jié)分析單腿獨(dú)立類動(dòng)作。

圖12示出了單腿獨(dú)立時(shí)踢腳的平面模型。單腳在平面內(nèi)有一定的尺度，地面支持這個(gè)尺度。將這尺度簡化為與地面接觸的兩個(gè)點(diǎn)。為了模型的統(tǒng)一表述，這兩點(diǎn)仍然稱為前腳和后腳。踢腳的前一瞬間人體平衡，因而重心通過前后腳的中點(diǎn)。踢腳時(shí)和乙方接觸的是腳，因而：

Ls-接觸（腳）處到重心的水平距離

Hj-接觸（腳）處到地面的高度

圖12　獨(dú)立踢腳模型

二維穩(wěn)定公式（21）成立。

先分析沒有速度，只有水平力的情況。一維（水平力）一源（沒有速度）時(shí)的輸入數(shù)據(jù)是：

將數(shù)據(jù)（49）代入二維穩(wěn)定公式（21）計(jì)算結(jié)果如表10。

表10　水平力作用下單腿獨(dú)立踢腳的正壓力和摩擦力

由于腳寬有限（算式中兩腳的間距僅0.1米），獨(dú)立式的穩(wěn)定度很差。由表10可見，水平力作用下單腿獨(dú)立踢腳的臨界力很低：前腳失根于牛頓。所以圖13所示的水平踢腳法容易引起后傾。

再分析沒有速度，只有垂直力的情況。一維（垂直力）一源（沒有速度）時(shí)的輸入數(shù)據(jù)是：

將數(shù)據(jù)（50）代入二維穩(wěn)定公式（21）計(jì)算結(jié)果如表11。

表11　垂直力作用下單腿獨(dú)立踢腳的正壓力和摩擦力

由表11可見，垂直力作用下單腿獨(dú)立踢腳的臨界力也很低：后腳失根于牛頓。所以圖14所示的垂直踢腳法容易引起前傾。

最好的踢腳方向是沿著圖12中的JO線。即垂直力和水平力的比例等于接觸點(diǎn)的高寬比。按此比例的輸入數(shù)據(jù)是：

將（51）代入（21）計(jì)算結(jié)果如表11。

表12　比例力作用下單腿獨(dú)立踢腳的正壓力和摩擦力

由于踢力的方向沿踢腳和站腳的連線，所踢之力全部由地面支持。由表 12可見，前后腳正壓力同值遞增，永遠(yuǎn)不會失根。而臨界值是雙腳（這是站腳的前后邊緣）打滑于極高的量值：牛頓。這一腳能踢出牛頓（208公斤）。

比較有效的踢腳方法如圖 15所示。先作金雞獨(dú)立式，大腿上提至腿面高于水平向前，小腿垂直向下。然后小腿繞膝關(guān)節(jié)劃弧斜踢，腳踢到位時(shí)發(fā)力的方向盡可能沿踢腳和站腳的連線。

圖13　水平踢引起后傾

圖14　垂直踢引起前傾

圖15　比例踢腳

踢腳一般不用人體質(zhì)心速度。相對動(dòng)量將增加踢腳的力度。踢腳的相對速度應(yīng)沿JO連線。所以，在競技中踢腳要有一點(diǎn)速度。

［1］顧杰，郭振興. 太極拳發(fā)勁的動(dòng)量傳遞解析［J］. 邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（4）.

［2］顧杰，郭振興. 用人體平面剛體模型分析太極拳在水平作用力下的力學(xué)原理［J］. 邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（2）.

［3］Jie Gu. Explosive and Sequential Strength in Tai Chi［J］. T’ai Chi， Vol. 37， No. 3， Fall 2013.

［4］馬承九. 太極拳的科學(xué)觀 ［M］. 臺北：東大圖書公司，1994.

［5］肖飛. 太極拳的力學(xué)原理 ［M］. 北京：人民體育出版社，2009.

［6］顧杰. 太極拳彈簧功［J］. 太極，2015（2-6）.

Analyze Taijiquan under Horizontal， Vertical， and Lateral Force by Rigid Plane Human Model

GU Jie， GUO Zhen-xing， MA Xiu-jie
（Taiji cultural school， Handan College， Handan 056005， China）

proposed a rigid plane human body model under horizontal force. This paper expand the model under vector force with three components， and find three generic and realistic formulas of “equilibrium” and “unbalance critical condition” （“root lost” and “slippery”） for numerical analysis. The model provides mechanical. The model is a mechanical method to normalize Taijiquan posture and technique. The model is used to analyze the mechanics of bow stance， sit stance， foot kick， bow stance bouncing， sit stance pull， etc. The method is demonstrate in various situation. Opponent A and B compete each other in push hand by the mechanical functionality of their postures. “A’s sit stance pulling beat B’s bow stance bouncing” is the conclusion of the classical taiji theory. The three formulas are used to numerically analyze the conclusion. The math calculation shows that for least A can use “four ounce” to “deflect” B’s“thousand pound” out of balance， for most A can through B out for 3 meters. The three formulas found the mechanical foundation for master Wang Zongyue’s quote “Senior can defeat multiple opponents.” Push hand is a competition of the skills， of how to properly use the posture frame. The three formulas are the mathematical tools to analyze push hand.

Taijiquan； mechanical analysis； rigid Human plane model

G852.11

A

1673-2030（2015）04-0092-23

2015-09-05

顧杰（1955—），男，江蘇蘇州人，邯鄲學(xué)院太極文化學(xué)院客座教授，美國通用汽車公司高級工程師，美國奧克蘭大學(xué)機(jī)械制造博士；郭振興（1950—），男，河北邯鄲人，邯鄲學(xué)院太極文化學(xué)院原院長，高級政工師。華中科技大學(xué)鑄造機(jī)械專業(yè)。