劉春輝

1.赤峰學(xué)院教務(wù)處，內(nèi)蒙古赤峰024001

2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024001

基于區(qū)間值模糊集的理想化軟BCK代數(shù)

劉春輝1，2

1.赤峰學(xué)院教務(wù)處，內(nèi)蒙古赤峰024001

2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024001

將Zadeh提出的區(qū)間值模糊集概念應(yīng)用于理想化軟BCK代數(shù)問題的研究。借助于BCK代數(shù)的區(qū)間值模糊理想、區(qū)間值（∈，∈∨q）-模糊理想和區(qū)間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想的概念，獲得了一個給定的BCK代數(shù)上的幾類特殊的理想化軟BCK代數(shù)的若干等價刻畫。

BCK代數(shù)；區(qū)間值模糊集；軟集；理想化軟BCK代數(shù)

1　引言

BCK代數(shù)是由日本學(xué)者Y.Imai和K.Ieski［1-2］于1966年提出的一類邏輯代數(shù)，其結(jié)構(gòu)與許多著名的邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。著名數(shù)理邏輯學(xué)家R.Cignoli［3］指出，因為偏序交換剩余整獨異點與剩余格都是BCK代數(shù)的自然擴張，所以大部分邏輯代數(shù)（如MTL代數(shù)、BL代數(shù)、Heyting代數(shù)、R0代數(shù)和格蘊涵代數(shù)等）都是有界BCK代數(shù)的自然擴張。因此對BCK代數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的研究具有重要的意義。迄今為止，這方面的研究已經(jīng)獲得了一批優(yōu)秀的研究成果［4-8］。1999年，Molodtsov提出了軟集的概念［9］，試圖從參數(shù)化的角度為不確定性問題的研究提供一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架。作為一種新的處理不確定性問題的數(shù)學(xué)工具，軟集理論與模糊集理論和粗糙集理論等具有很強的互補性，相關(guān)研究受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，由此，也推動了軟集理論研究工作的迅速發(fā)展［10-11］。作為軟集理論的應(yīng)用，文獻［12-15］將軟集概念應(yīng)用于BCK/BCI代數(shù)，提出了軟BCK/BCI代數(shù)、軟BCK/BCI代數(shù)的軟子代數(shù)和理想化軟BCK/BCI代數(shù)等概念并討論了這些概念的性質(zhì)。這些研究工作很好地促進了軟集與代數(shù)結(jié)構(gòu)的相互融合，豐富和完善了軟集理論的研究內(nèi)容。

以上述研究工作為基礎(chǔ)，本文將Zadeh于1975年提出的區(qū)間值模糊集［14］概念與軟集概念相結(jié)合，定義了基于一個區(qū)間值模糊集的∈-軟集，q-軟集和（∈∨q）-軟集的概念，并借助于BCK代數(shù)的區(qū)間值模糊理想、區(qū)間值（∈，∈∨q）-模糊理想和區(qū)間值模糊理想的概念對BCK代數(shù)上的幾類特殊的理想化軟BCK代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征進行了刻畫，獲得了一些有意義的結(jié)論。

2　預(yù)備知識

定義1［1］（2，0）型代數(shù)（X，*，0）稱為BCK代數(shù)，如果它滿足如下公理，?x，y，z∈X：

BCK-1：（（x*y）*（x*z））*（z*y）=0；

BCK-2：（x*（x*y））*y=0；

BCK-3：x*x=0；

BCK-4：x*y=y*x=0?x=y；

BCK-5：0*x=0。

為了敘述簡潔起見，以下如無特別說明，X均表示BCK代數(shù)。

定義2［4］稱BCK代數(shù)X的非空子集I為X的理想，若I滿足

（I1）0∈I；

（I2）（?x，y∈X）（（x*y∈I且y∈I）?x∈I）。

定義3［9］設(shè)U是論域，P（U）是U的冪集，E是一個非空參數(shù)集，A?E，稱二元組（F，A）為U上的一個軟集，這里F:A→P（U）是一個映射。

定義4［13］設(shè)X是BCK代數(shù)，（F，A）為X上的軟集。如果?x∈A，F(xiàn)（x）=?或F（x）為X的理想，則稱（F，A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。

定義5［16］一個區(qū)間數(shù)a?是指閉區(qū)間［a-，a+］，其中0≤a-≤a+≤1。區(qū)間數(shù)的全體構(gòu)成的集合記作D［0，1］。特別地，區(qū)間［a，a］等同于數(shù)a∈［0，1］。

定義6［16］集合X上的一個區(qū)間值模糊集（簡稱IV-模糊集）指的是映射:X→D［0，1］，其中（x）=［Θ-（x），Θ+（x）］∈D［0，1］，?x∈X。

特別地，若Θ-（x）+t-＞1，則記。在本文的討論過程中，總假設(shè)：］或，?x∈X。

定義7［8］稱BCK代數(shù)X上的IV-模糊集為X的區(qū)間值模糊理想，如果滿足：

稱BCK代數(shù)X上的一個形如

定義8［8］稱BCK代數(shù)X上的IV-模糊集為X的區(qū)間值（∈，∈∨q）-模糊理想，如果滿足：

引理1［8］BCK代數(shù)X上的IV-模糊集為X的區(qū)間值（∈，∈∨q）-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)滿足：

定義9［8］稱BCK代數(shù)X上的IV-模糊集?為X的區(qū)間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想，如果?滿足：

注1有關(guān)定義8和定義9的具體實例，請參閱文獻［8］，這里不再贅述。

引理2［8］BCK代數(shù)X上IV-模糊集?為X的區(qū)間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)?滿足：

3　基于區(qū)間值模糊集的理想化軟BCK代數(shù)

（3）F（∈∨q）:A→P（X），，分別稱（F，A），（Fq，A）和（F（∈∨q），A）為X上的基于?的∈-軟集，q-軟集和（∈∨q）-軟集。

反之，設(shè)（F，A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。若存在a∈X使（0）＜（a），則可選取∈A使得（0）＜≤（a），從而a∈但0∈，進而有a∈F（）≠?但0?F（），這與F（）為X的理想矛盾！故（0）≥（x），?x∈X。若存在a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），（b）｝，則可選取∈A使得（a）＜≤rmin｛（a*b），（b）｝，從而（a*b）∈，b∈但a∈，即a*b，b∈F（）≠?但a∈F（），這亦與F（）為X的理想矛盾！因此對任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y）｝。綜合便得是X的區(qū)間值模糊理想。

即xq，故x∈Fq（）。因此由定義2得Fq（）為X的理想，進而由定義4得（Fq，A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。

反之，設(shè)（Fq，A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。若存在a∈X使（0）＜（a），則可選取∈A使得（0）+≤［1，1］＜（a）+，從而得aq，從而Fq（）≠?，故Fq（）為X的理想，因此0∈Fq（），即（0）+＞［1，1］。這與（0）+≤［1，1］矛盾！因此（0）≥（x），?x∈X。若存在a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），（b）｝，則可選取∈A使得（a）+≤［1，1］＜rmin｛（a*b），（b）｝+，從而得（a*b）q且bq，進而Fq（）≠?，故Fq（）為X的理想，因此a∈Fq（），從而aq，進而得（a）+＞［1，1］，這與（a）+≤［1，1］矛盾！因此對任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y）｝。綜合便得是X的區(qū)間值模糊理想。

反之，設(shè)（F，A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。若存在a∈X使（0）＜rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，則存在∈A使得（0）＜≤rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，從而得a∈，進而a∈F（），即F（）≠?，故F（）為X的理想，因此0∈F（），即（0）≥。這與（0）＜矛盾！因此（0）≥rmin｛（x），［0.5，0.5］｝，?x∈X。若a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），則∈A且（a）＜＜rmin｛（a*b），（b），［0.5，0.5］｝，從而得（a*b）∈且b∈，但a∈。這表明a*b∈F（）且b∈F（），但a∈F（），與F（）為X的理想矛盾！因此對任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y），［0.5，0.5］｝。綜合便得是X的區(qū)間值（∈，∈∨q）-模糊理想。

反之，設(shè)（F，A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。若存在a∈X使（a）＞rmax｛（0），［0.5，0.5］｝，則存在∈A使得（a）≥＞rmax｛（0），［0.5，0.5］｝。一方面，由（0）＜得0∈，因此0∈F（）。另一方面，由（a）≥得a∈F（），從而F（）≠?，故F（）為X的理想，因此又得0∈F（），矛盾！故（x）≤rmax｛（0），［0.5，0.5］｝，?x∈X。若a，b∈X使rmin｛（a*b），（b）｝＞rmax｛（a），［0.5，0.5］｝，則有∈A使得rmin｛（a*b），（b）｝≥＞rmax｛（a），［0.5，0.5］｝。于是得（a*b）∈且b∈，但a∈。這表明a*b∈F（）且b∈F（），但a∈F（），與F（）為X的理想矛盾！因此對任意x，y∈X都有rmin｛（x*y），（y）｝≤rmax｛（x），［0.5，0.5］｝。綜合便得是X的區(qū)間值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想。

從而0q，故0∈Fq（）。設(shè)x，y∈X使x*y∈Fq（）且y∈Fq（），則（x*y）q且yq，即（x*y）+＞［1，1］且（y）+＞［1，1］，因此由（intF4）得

反之，設(shè)（F（∈∨q），A）為X上的理想化軟BCK代數(shù)。則?∈A，F(xiàn)（∈∨q）（）=?或F（∈∨q）（）為X的理想。若存在a∈X使得（0）＜rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，則存在∈A使得［0，0］＜≤［0.5，0.5］且（0）＜≤rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，從而0∈且（0）+＜2≤［1，1］，即0qˉ，因此0∈F（）∪Fq（）=F（∈∨q）（）。而由（a）≥知F（∈∨q）（）≠?，從而F（∈∨q）（）為X的理想，故又有0∈F（∈∨q）（），矛盾！因此?x∈X，（0）≥rmin｛（x），［0.5，0.5］｝。設(shè)a，b∈X使得

4　結(jié)束語

本文將區(qū)間值模糊集的思想和運算方法運用于理想化軟BCK代數(shù)問題的研究，對一個給定的BCK代數(shù)上的若干特殊的的理想化軟BCK代數(shù)概念進行了刻畫，獲得了若干有意義的結(jié)論。這些結(jié)論不但有助于進一步把握BCK代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，而且也有助于促進區(qū)間值模糊集理論、軟集理論與BCK代數(shù)理論間的相互融合與交叉滲透。同時，本文所運用的研究方法對基于其他邏輯代數(shù)的類似問題的研究也有一定的借鑒意義。

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Idealistic soft BCK-algebras based on interval valued fuzzy sets.

LIU Chunhui1，2

1.Dean’s Office，Chifeng University，Chifeng，Nei Mongol，024001，China
2.Department of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng，Nei Mongol，024001，China

Apply the concept of interval valued fuzzy sets which introduced by Zadeh to idealistic soft BCK-algebras.By means the notions of interval valued fuzzy ideals，interval valued（∈，∈∨q）-fuzzy ideals and interval valued（∈，∈∨qˉ）-fuzzy ideals in BCK-algebras，some equivalent characterizations of various special idealistic soft BCK-algebras on a given BCK-algebra are obtained.

BCK-algebra；interval valued fuzzy set；soft set；idealistic soft BCK-algebra

A

O141.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0194

國家自然科學(xué)基金（No.10371106，No.60774073）。

劉春輝（1982—），男，講師，研究領(lǐng)域為非經(jīng)典數(shù)理邏輯、Domain和拓撲學(xué)。E-mail：chunhuiliu1982@163.com

2013-11-13

2014-01-02

1002-8331（2015）22-0066-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-04-01，http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0194.html