王強(qiáng)，聶宏

1.遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧撫順113001

2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧撫順113001

多時(shí)滯離散切換系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋H∞控制

王強(qiáng)1，聶宏2

1.遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧撫順113001

2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧撫順113001

借助多Lyapunov函數(shù)方法，研究一類具有多時(shí)滯的離散切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題。假設(shè)切換系統(tǒng)的每個(gè)子系統(tǒng)都不能實(shí)現(xiàn)魯棒H∞控制，基于切換動態(tài)輸出反饋控制策略，給出了系統(tǒng)存在魯棒H∞干擾抑制水平γ可切換鎮(zhèn)定的充分條件，并表示成與時(shí)滯相關(guān)的線性矩陣不等式（LMI）形式，還分別給出了切換律和動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方案。最后用仿真例子說明了結(jié)論的有效性。

離散切換系統(tǒng)；動態(tài)輸出反饋；多時(shí)滯；多Lyapunov函數(shù)；魯棒H∞控制

1　引言

切換系統(tǒng)作為一類特殊的混雜系統(tǒng)，一般由一組子系統(tǒng)和描述它們之間聯(lián)系的切換策略而組成。它廣泛存在于實(shí)際工程系統(tǒng)中，如化工系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、航空系統(tǒng)等。近年來已經(jīng)引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。尤其是切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面取得了大量的研究成果［1-5］。文獻(xiàn)［6］綜述了線性切換系統(tǒng)的研究進(jìn)展。文獻(xiàn)［7］考慮了一類具有非線性擾動的離散切換系統(tǒng)基于觀測器的指數(shù)鎮(zhèn)定問題，給出了系統(tǒng)基于觀測器指數(shù)鎮(zhèn)定的充分條件。文獻(xiàn)［8］研究了一類具有飽和的不確定離散切換系統(tǒng)基于平均駐留時(shí)間的靜態(tài)輸出反饋控制問題，設(shè)計(jì)出了使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制器。借助平均駐留時(shí)間方法和多Lyapunov函數(shù)方法，文獻(xiàn)［9］針對一類連續(xù)時(shí)間不確定線性切換系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)在基于切換時(shí)間切換律下漸近穩(wěn)定的充分條件，并獲得了相應(yīng)的H∞動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)步驟。文獻(xiàn)［10］借助單Lyapunov函數(shù)方法研究了一類不確定非線性切換系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋H∞控制問題，構(gòu)造出了相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)和切換律。文獻(xiàn)［10］借助單Lyapunov函數(shù)方法研究了一類不確定非線性切換系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋H∞控制問題，構(gòu)造出了相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)和切換律。

目前國內(nèi)外有關(guān)時(shí)滯切換系統(tǒng)魯棒控制的研究主要針對單時(shí)滯切換系統(tǒng)［11-14］，涉及多時(shí)滯問題的研究還不多［15-16］。由于狀態(tài)變量所得到的關(guān)于系統(tǒng)動靜態(tài)的信息比輸出反饋?zhàn)兞刻峁┑男畔⒏S富、更全面，因此在現(xiàn)代控制理論中多采用狀態(tài)反饋。文獻(xiàn)［11］使用多Lyapunov函數(shù)方法，研究了一類具有單時(shí)滯的離散切換系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋的魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)問題。使用公共Lyapunov函數(shù)方法，文獻(xiàn)［15］給出了任意切換下一類不確定離散多時(shí)滯系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋魯棒穩(wěn)定的充分條件，并設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器。但是由于切換系統(tǒng)的復(fù)雜程度高，切換系統(tǒng)狀態(tài)作為系統(tǒng)內(nèi)部變量組，量測手段在經(jīng)濟(jì)性和適用性上的限制，狀態(tài)反饋很難實(shí)現(xiàn)。狀態(tài)反饋在性能上的不可替代性和在物理上的不能實(shí)現(xiàn)性，形成了一個(gè)尖銳的矛盾。解決這個(gè)矛盾通常需要采用動態(tài)輸出反饋方案，也就是在反饋系統(tǒng)中單獨(dú)或同時(shí)引入串聯(lián)補(bǔ)償器和并聯(lián)補(bǔ)償器，從而使輸出反饋達(dá)到狀態(tài)反饋功能。因此，文獻(xiàn)［16］通過構(gòu)造狀態(tài)觀測器利用估計(jì)狀態(tài)替代實(shí)際狀態(tài)，針對一類具有多重狀態(tài)時(shí)滯和凸多面體不確定性的離散切換系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)在任意切換信號下基于觀測器的動態(tài)輸出反饋魯棒鎮(zhèn)定的充分條件。

本文在文［11］、［15］的基礎(chǔ)上，利用多Lyapunov函數(shù)方法，研究一類具有多時(shí)滯的離散切換系統(tǒng)在動態(tài)輸出反饋下的魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)問題，以線性矩陣不等式形式給出了閉環(huán)系統(tǒng)H∞意義下漸近穩(wěn)定的充分條件，同時(shí)還分別給出了基于切換時(shí)間的切換律和魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)方案。與文獻(xiàn)［11］相比，本文使用的Lyapunov函數(shù)具有較小的保守性。

2　系統(tǒng)描述

考慮如下多時(shí)滯線性離散切換系統(tǒng)：

式中，x（k）∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量，z（k）∈Rq表示被控輸出，y（k）∈Rl表示測量輸出，u（k）∈Rm表示輸入向量，w（k）∈Rp表示外部干擾且w（k）∈l2［0，∞］，τ=1，2，…，d表示滯后時(shí)間，σ（k）表示切換信號且，當(dāng)切換信號σ（k）=i時(shí)表示第i個(gè)子系統(tǒng)被激活，相應(yīng)的子系統(tǒng)矩陣為：

在系統(tǒng)（1）中每個(gè)子系統(tǒng)都不能實(shí)現(xiàn)魯棒H∞控制的假設(shè)條件下，研究系統(tǒng)（1）的魯棒H∞控制問題?？紤]采用如下形式的動態(tài)輸出反饋控制器：

其中

從而本文的目標(biāo)為：設(shè)計(jì)切換規(guī)則σ（k）和控制器（2）的參數(shù)矩陣Aki，Bki，Cki和）使得系統(tǒng)（3）是具有H∞擾動抑制水平γ可切換穩(wěn)定的。

不同用戶登錄后都可以對文件中的圖片進(jìn)行火點(diǎn)的檢測，點(diǎn)擊圖片按鈕彈出對話框選擇要檢測的圖片，界面中會標(biāo)記顯示出圖片中出現(xiàn)的火點(diǎn)情況，并且顯示出該圖片的處理后的二值化圖像。圖片界面檢測如圖4所示。

3　主要結(jié)果

引理1［17］（Schur補(bǔ)引理）對于定義在Rm上的矩陣Q（x）=QT（x），R（x）=RT（x）以及S（x），線性矩陣不等式（LMI）

等價(jià)于

或

利用多Lyapunov函數(shù)方法和線性矩陣不等式方法可推導(dǎo)出如下定理：

則多時(shí)滯離散切換系統(tǒng)（1）是具有魯棒H∞干擾抑制水平γ動態(tài)輸出反饋可切換鎮(zhèn)定的，并設(shè)計(jì)動態(tài)輸出反饋?zhàn)涌刂破髟鲆婢仃嚭颓袚Q律為：

證明選取Lyapunov函數(shù)為：

因?yàn)镻σ（k）為正定對稱陣，Qσ（k）τ、Sσ（k）τ為正定對稱陣，所以Vσ（k）（k，ξk）正定。

由不等式-2αTβ≤αTSα+βTS-1β，可得：可知，

利用矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，由式（4）和不等式

由切換律（7）和（10）可得，

從而可得

I.當(dāng)w（k）=0時(shí)，ΔV（k，ξk）＜-γ-1zTkzk＜0，可知系統(tǒng)（3）是魯棒穩(wěn)定的。

由I、II可知，系統(tǒng)（3）可以實(shí)現(xiàn)魯棒H∞控制。又知系統(tǒng)（3）為系統(tǒng)（1）的增廣系統(tǒng)，所以系統(tǒng)（1）可以實(shí)現(xiàn)魯棒H∞控制。

當(dāng)σ（k+1）=j，σ（k）=i時(shí)，證明可參考文獻(xiàn)［11］。

注：在定理1所構(gòu)造的Lyapunov泛函V3中選取Siτ=0，τ∈（1，d）且控制器（2）中的參數(shù)矩陣Aki，Bki和Dki為0時(shí)，定理1可以退化為文獻(xiàn)［11］中的引理1。

4　仿真例子

考慮m=2時(shí)的系統(tǒng)（1），此時(shí)切換系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)組成.其中系統(tǒng)參數(shù)如下：

用MATLAB解不等式（4），當(dāng)選取β12=β21=1，γ=1，α1=0.3，α2=0.7時(shí)，解得可行解P1，P2，K1，K2，Q11，Q12，Q21，Q22，S11，S12，S21，S22。

使系統(tǒng)（11）實(shí)現(xiàn)魯棒H∞控制的切換動態(tài)輸出反饋控制器增益矩陣為：

仿真結(jié)果見圖1、2、3。其中：初始條件x（0）=［7-3］T，。從仿真曲線可以看出系統(tǒng)（11）在切換律（12）和動態(tài)輸出反饋控制矩陣（13）作用下是魯棒鎮(zhèn)定的且滿足指定的H∞性能指標(biāo)γ。

系統(tǒng)的切換信號，如圖1所示。

圖1　系統(tǒng)的切換信號

系統(tǒng)的狀態(tài)曲線，如圖2所示。

圖2　系統(tǒng)的狀態(tài)曲線

圖3　）的狀態(tài)曲線

5　結(jié)論

本文利用多Lyapunov函數(shù)方法研究一類具有多時(shí)滯的離散切換系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋H∞控制問題。利用線性矩陣不等式給出了與時(shí)滯相關(guān)的使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)魯棒H∞控制的充分條件，同時(shí)還給出了切換律和魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)方案。仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

［1］Liberzzon D，Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems［J］.IEEE Control Systems Magazine，1999，19（5）：59-70.

［2］Sun Zhendong，Ge S S.Analysis and synthesis of switched linear control systems［J］.Automatica，2005，41：181-195.［3］陳幗鸞，裴海龍，王耀鵬.基于平均逗留時(shí)間的線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，26（4）：24-26.

［4］王娟，何俊杰，張禮濤.一類離散非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2004，44（4）：16-20.

［5］張霞，高巖，夏尊銓.切換線性系統(tǒng)穩(wěn)定性研究進(jìn)展［J］.控制與決策，2010，25（10）：1441-1450.

［6］程代展，郭宇騫.切換系統(tǒng)進(jìn)展［J］.控制理論與應(yīng)用，2005，22（6）：954-960.

［7］李莉莉，趙軍.一類非線性離散切換系統(tǒng)基于觀測器的指數(shù)鎮(zhèn)定［J］.控制理論與應(yīng)用，2009，26（7）：786-790.

［8］王茂，樊友高，邱劍彬.飽和不確定離散切換系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制［J］.控制與決策，2010，25（10）：1479-1483.

［9］孫文安，楊寅，裴炳南.不確定切換系統(tǒng)基于切換時(shí)間的動態(tài)輸出反饋H∞控制［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013，35（3）：609-615.

［10］Wang Min，Zhao Jun，Dimirovski G M.Dynamic output feedback Robust H∞control of uncertain switched nonlinear systems.International Journal of Control［J］，Automation and Systems，2011，9（1）：1-8.

［11］宋政一，聶宏，趙軍.具有時(shí)變時(shí)滯的離散切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制［J］.東北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，28（4）：469-472.

［12］曹瑩，羅文廣，張昊，等.一類離散時(shí)滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［J］.微計(jì)算機(jī)信息，2012，28（9）：493-495.

［13］劉毅，趙軍.一類切換模糊時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制［J］.控制與決策，2008，23（4）：445-449.

［14］李嬌，趙軍.具有狀態(tài)時(shí)滯的離散時(shí)間切換系統(tǒng)的H∞濾波器設(shè)計(jì)：依賴狀態(tài)的切換方法［J］.控制與決策，2012，27（11）：1607-1615.

［15］吳江江，余世明.一類不確定離散多時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與魯棒控制器設(shè)計(jì)［J］.自動化技術(shù)與應(yīng)用，2010，29（1）：1-3.

［16］張霓，韓盛燁，鄒濤.不確定多時(shí)滯離散切換系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定［J］.控制工程，2012，19（2）：232-234.

［17］Scherer C，Weland S.Lecture Notes DISC course on linear matrix inequalities in control［M］.Berlin：Springer-verlag，1999.

RobustH∞dynamic output feedback control for a class of discrete time switched systems with multi-delay.

WANG Qing1，NIE Hong2

1.School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun，Liaoning 113001，China
2.School of Sciences，Liaoning Shihua University，F(xiàn)ushun，Liaoning 113001，China

Using multiple Lyapunov function，the problem of the robustH∞control is discussed for a class of discrete time switched systems with multi-delay.Assuming that theH∞control cannot be implemented in each individual subsystem and based on switching output feedback control，a delay-dependent and LMI-based sufficient condition is given for the system to be robustH∞stabilizable，and switching law and dynamic output feedback controller are designed.A simulation example is given to show the validity of the results.

discrete time switched systems；output feedback control；multi-delay；multiple Lyapunov function；robust H∞control

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1407-0545

國家自然科學(xué)基金（No.61104058）；遼寧省教育廳科學(xué)研究基金（No.L2014151）。

王強(qiáng)（1988—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)楣I(yè)過程的先進(jìn)控制及應(yīng)用；聶宏（1965—），女，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榍袚Q系統(tǒng)與混雜控制、非線性系統(tǒng)模糊智能控制等。E-mail：wangqiang328628@163.com

2014-08-06

2014-10-24

1002-8331（2015）22-0214-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2015-03-20，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20150320.1509.009.html