李海霞+等

摘要建設(shè)工程投標(biāo)報價決策中引入博弈論的精髓在于博弈中的一個理智決策者必須以考慮其他參與者的反應(yīng)為基礎(chǔ)來確定自身最理智的投標(biāo)報價方案.應(yīng)用信息不完全重復(fù)博弈的KMRW“四人幫”聲譽模型原理，通過設(shè)定兩方競標(biāo)者的非理智概率q，建立建設(shè)工程投標(biāo)報價中兩方投標(biāo)者競標(biāo)的重復(fù)博弈模型，并對模型的精煉貝葉斯均衡進行求解及分析，得出兩投標(biāo)者在有限次重復(fù)博弈中的競爭合作規(guī)律，為企業(yè)競標(biāo)把握競爭合作規(guī)律提供理論參考.

關(guān)鍵詞建筑經(jīng)濟學(xué)；KMRW模型；博弈論；投標(biāo)報價；均衡分析

中圖分類號F224.9 文獻標(biāo)識碼A

Construction Project Bid Cooperation Equilibrium

Analysis on KMRW Model of Incomplete Information

LI Haixia， WANG Zuhe， XIU Yingchang， WANG Genxia

（College of Economics and Mangement， Shandong University

of Science and Technology， Qingdao，Shandong266590， China）

AbstractBased on the principle of Game theory of KMRW reputation model with incomplete information， this paper established repeated dynamic game model of construction project bidding between two bidders. By setting irrational probability of two bidders， we analyzed and solved the perfect Bayesian equilibrium of the model and got the principle of the balance of cooperation between two bidders in a finite number of repeated Game theory.

Key wordsBuilding economics；KMRW model；Game theory；bid；equilibrium analysis

1引言

博弈論作為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的一個分支，主要應(yīng)用于分析競爭形勢，競爭結(jié)果往往不僅是個人選擇和機會的結(jié)果，還依賴于其他參與者的決策.因此競爭結(jié)果是由所有參與者的行為決定的，每個競爭參與者都試圖得到其他參與者選擇信息，再做出自己的最佳策略.建設(shè)工程投標(biāo)報價決策中，投標(biāo)者競爭的關(guān)鍵是智勝對手，引入博弈論的精髓在于博弈中的一個理智決策者必須以考慮其他參與者的反應(yīng)為基礎(chǔ)來確定自身最理智的投標(biāo)報價方案.因此博弈論適用于研究投標(biāo)報價決策問題.

研究結(jié)果表明[1]，在完全信息條件下，只要是有限次的博弈重復(fù)，不論重復(fù)的次數(shù)是多少，都能出現(xiàn)唯一的子博弈精煉納什均衡，即所有參與者在每次博弈中都選擇靜態(tài)策略（假設(shè)存在唯一靜態(tài)博弈的精煉納什均衡），也即參與人在有限次重復(fù)博弈條件下不會選擇合作.但在實際投標(biāo)活動中經(jīng)常存在投標(biāo)者之間相互串標(biāo)，導(dǎo)致投標(biāo)價大幅提高或者出現(xiàn)競爭者以低于其成本中標(biāo)的結(jié)果.可見應(yīng)用完全信息條件下靜態(tài)博弈來研究投標(biāo)者的報價決策有一定的局限性，不完全符合實際狀況.

基于博弈論的投標(biāo)報價模型的基本假設(shè)是所有投標(biāo)者的決策都是針對競爭對手決策行為直接反映并且所有投標(biāo)者的決策都是其最優(yōu)報價決策[2].在求解最優(yōu)報價過程中，通常對成本分布函數(shù)的分布做種種假設(shè)[3]，在實際中要想獲取競爭對手的成本分布函數(shù)非常困難.因此通過基于博弈論的投標(biāo)報價策略來預(yù)測競爭對手的報價決策困難很大.鑒于此，通過基于博弈論原理來研究投標(biāo)過程中競爭對手之間的合作均衡規(guī)律.

經(jīng)濟數(shù)學(xué)第 32卷第3期

李海霞等：不完全信息四人幫模型的建設(shè)工程競標(biāo)合作均衡分析

2競標(biāo)博弈模型的構(gòu)建

2.1精煉貝葉斯納什均衡

博弈論中先行動者為了不讓后行動者利用其行為結(jié)果，在行動之前都會設(shè)法傳遞對自己最有利的信息，避免將對自己不利的信息傳遞出去.因此投標(biāo)者之間的競爭決策是信息不完全的動態(tài)博弈過程. 研究結(jié)果已經(jīng)證明“四人幫”聲譽模型（Kreps，Mailgram，Robbers and Wilson Reputation model，1982，簡稱KMRW）可以有效的解決信息不完全條件下的重復(fù)博弈問題[4-5]，可以利用信息不完全有限次重復(fù)博弈的“四人幫”聲譽模型來研究建設(shè)工程投標(biāo)報價中投標(biāo)者之間是如何建立競爭與合作的均衡關(guān)系.

若設(shè)定投標(biāo)者1具有大于0的概率q是不理智的，即在競標(biāo)報價過程中會出現(xiàn)不論對方報價如何決策，投標(biāo)者1都有可能出現(xiàn)不理智的任何報價策略；投標(biāo)者2對投標(biāo)者1的這一不理智概率q是已知的，已知的方法是通過使用貝葉斯法則觀察投標(biāo)者1的行為中獲取的.在一般的“四人幫”模型中，對所有參與者的屬性的推斷均體現(xiàn)在他的信譽之

中[6].舉例而言，如果在向銀行貸款的過程中一個企業(yè)向來有按時還貸的良好信譽，當(dāng)在建立企業(yè)與銀行之間的信貸博弈模型并考慮劃分企業(yè)的屬性時，銀行對該企業(yè)向來能做到按時還款這種屬性賦予一個正的條件概率.

精煉貝葉斯均衡是一個先驗戰(zhàn)略組合m*（t）=（m1*（t1），...，mn*（tn））和一個貝葉斯后驗概率組合q=（q1，…，qn）的組合，需要滿足以下條件：

1）對于每一個參與者i，在所有的信息集A里邊，m*i（m-i，ti）∈argmax∑qi（t-idh-i）ui（mi，m-i，ti）；endprint

2）qi（t-i，dh-i）是利用貝葉斯法則從先驗概率qi（t-i，ti）、條件dh-i和最優(yōu)策略m-i*（）中得到的.

2.2模型的基本假設(shè)

1）假設(shè)投標(biāo)者有理智和非理智兩種屬性，每個投標(biāo)者在投標(biāo)前均清楚自己的屬性，而不清楚對手的屬性，但嚴格意義上來講這種信息不完全條件實際上是相仿的信息不完全條件，所以投標(biāo)者會對對手可能的屬性有一個主觀判斷.

2）在投標(biāo)中，投標(biāo)者與招標(biāo)人之間不存在約束力關(guān)系，即各自獨立作出各方的決策.

3）投標(biāo)者的總利潤是所有時段博弈利潤貼現(xiàn)后的現(xiàn)值之和.

4）業(yè)主沒有對于哪一個投標(biāo)者有特殊偏愛，即所有投標(biāo)者面臨的風(fēng)險是等量的.

5）本文中假設(shè)的中標(biāo)方式是最低價中標(biāo)方式.

2.3模型的博弈要素分析

1）參與人

目前雙人博弈已經(jīng)具備了比較成熟的理論和算法，而對于參與者人數(shù)n>2的多人博弈而言，計算量遠遠高于雙人博弈，求解過程更為困難.鑒于此，為計算簡便本文將實際問題中的大于三人的博弈轉(zhuǎn)化為雙人博弈來處理，也即將所研究的一個投標(biāo)者定義為博弈者1，然后利用Friedman投標(biāo)報價模型中的平均對手法則將其余n-1個投標(biāo)者進行虛擬等值定義為博弈者2.

2）投標(biāo)策略及利潤函數(shù)

為了減少計算量，設(shè)定投標(biāo)者的投標(biāo)策略集合為高投標(biāo)價或低投標(biāo)價，投標(biāo)者在兩種策略下的利潤組合如表1所示.

3競標(biāo)博弈模型精煉貝葉斯納什均衡的求解

3.1投標(biāo)者之一為完全理智的情形

1）兩投標(biāo)者競標(biāo)的博弈順序

首先假設(shè)投標(biāo)者1有具有非理智屬性的條件概率為q，對應(yīng)的理智屬性條件概率為1-q.為計算簡單，假設(shè)投標(biāo)者2是完全理智的.理智屬性的投標(biāo)者1（以下簡稱Z1）可以任意選擇“高投標(biāo)價”或“低投標(biāo)價”.在對模型進行分析時，假設(shè)非理智屬性投標(biāo)者1（以下簡稱FZ1）只有一種戰(zhàn)略：勢不兩立戰(zhàn)略.這種假設(shè)下一旦他偏離了“勢不兩立”戰(zhàn)略，就立即暴露出他是理智的.有了這個假設(shè)，就可以集中精力對理智屬性投標(biāo)者2（以下簡稱Z2）的戰(zhàn)略選擇進行分析.對于FZ1，他的戰(zhàn)略是：開始選擇“高投標(biāo)價”，此后在y時段選擇Z2在y-1時段的選擇（即選擇Z2上次的投標(biāo)策略）.

在上述假設(shè)條件下，“四人幫”聲譽模型下兩投標(biāo)者競標(biāo)有如下的博弈順序：

①投標(biāo)者1知道自己的屬性，投標(biāo)者2只知道投標(biāo)者1屬于理智和非理智屬性的概率.

②得到第一時段博弈結(jié)果之后，進入第二時段博弈；得到第二時段博弈結(jié)果之后，進入第三時段博弈.如此重復(fù)博弈Y 次.

③所有時段博弈的利潤的現(xiàn)值之和作為兩個投標(biāo)者在博弈中的總利潤（本文假設(shè)現(xiàn)值系數(shù)θ=1）.

完全信息條件下重復(fù)博弈中兩個投標(biāo)者的屬性都是“理智的”，每個投標(biāo)者在開始時段博弈中的選擇都是合作的“高投標(biāo)價”行為.此時意味著2個投標(biāo)者都有著合作的信譽，他們都采取一種 “勢不兩立”戰(zhàn)略：選擇合作一直到競爭對手在y時段選擇“低投標(biāo)價”（對抗）為止，然后從y+1時段開始一直到Y(jié)都選擇“低投標(biāo)價”（對抗）.勢不兩立戰(zhàn)略代表著一種“對對手的背信棄義行為絕不原諒”的原則.隨著對手的第一次選擇“低投標(biāo)價”的背叛使得這種合作的信譽終止.但是在“四人幫”模型中，投標(biāo)者1因“理智”屬性的概率是1- q，就存在概率非理智概率q去采取“勢不兩立”戰(zhàn)略，即開始選擇“高投標(biāo)價”（合作），以后己方采取的方案就是對方上次所選擇的方案.這樣合作的可能就出現(xiàn)在重復(fù)博弈中.至少在開始的第一時段投標(biāo)者1的合作信譽可以通過條件概率q表現(xiàn)出來，因為條件概率為q的非理智屬性投標(biāo)者1開始的選擇高投標(biāo)價體現(xiàn)了合作愿望.

2）博弈重復(fù)兩次的情形

用L代表“低投標(biāo)價”，即 L可以表示對抗的行為；用H 代表“高投標(biāo)價”，即H 表示合作行為.現(xiàn)在從最后一個時段（y=2）開始逆向倒退進行討論.在最后博弈時段，因為L嚴優(yōu)于H，所以Z2和Z1都會選擇L報價.而這時FZ1的選擇依賴于Z2在第一時段的選擇，不妨設(shè)選R（R可以是L或H）.退到第一時段，根據(jù)假設(shè)，因為FZ1采取“勢不兩立”戰(zhàn)略，所以FZ1開始應(yīng)選擇H（“高投標(biāo)價”）； Z1必然選擇他的嚴格占優(yōu)戰(zhàn)略L，而且他這時的選擇不會影響Z2在第二時段的選擇.這樣，討論的中心問題就集中到Z2在第一時段的選擇R到底是L還是H上.因為他的選擇直接影響到FZ1在第二時段的選擇.兩時段博弈進行情況如表2所示.對于第1時段博弈收益結(jié)果可以由圖1所示的擴展式中表述.

如果Z2選擇R=H，也就是選擇合作行為，這時他的期望利潤為

q×G2HH+（1-q）×G2LH

=（G2HH-G2LH）q+G2LH. （1）

由于Z2在第一時段選擇了H ，因而在第二時段中，F(xiàn)Z1和Z1以及Z2的選擇依次是H、L、L.因此，在第二時段中，Z2的期望利潤為

q×G2HL+（1-q）×G2LL

=（G2HL-G2LL）q+G2LL （2）

這樣，由于前面設(shè)定θ=1，兩時段博弈Z2總的期望利潤就是

G2HH-G2LHq+G2LH+（（G2HL-G2LL）q+G2LL）=（G2HH+G2HL-G2LH-G2LL）q+（G2LH+G2LL）. （3）

類似地，如果Z2在第1時段選擇R=L，也就是選擇對抗行為，這時他的期望利潤為

q×G2HL+（1-q）×G2LL

=（G2HL-G2LL）q+G2LL. （4）

這樣，Z2在兩時段博弈的總期望利潤就是

（G2HL-G2LL）×q+G2LL+G2LL

=（G2HL-G2LL）×q+2×G2LL. （5）endprint

因此，當(dāng)不等式

（G2HH+G2HL-G2LH-G2LL）q+（G2LH+G2LL）≥（G2HL-G2LL）×q+2×G2LL成立時，即

q≥（G2LL-G2LH）/（G2HH-G2LH）. （6）

Z2在重復(fù)博弈的開始時段（第一時段）將會選擇R=H.這表明，如果非理智屬性的投標(biāo)者1的條件概率q≥G2LL-G2LH/G2HH-G2LH，Z2將會在第一時段博弈選擇H ，也就是選擇合作行為.這也即說明，Z2選擇合作時段的數(shù)量只與條件概率q有關(guān).

在前文的討論中，只對投標(biāo)者1的屬性進行了兩種假設(shè)，投標(biāo)者2只有一種屬性，屬于單邊非對稱信息假設(shè).這樣建立的合作均衡不屬于精煉貝葉斯納什均衡.這是因為，如果Z2在y=Y-1 時段不選擇H，到了最后時段（y=Y），F(xiàn)Z1跟著也不會選擇H.這樣，y=Y-2 與y=Y-1組成的兩時段博弈，Z2在y=Y-2 時段也不會選擇H.依次類推，沒有任何一個時段上理智的Z2選擇H ，Z1也不會選擇嚴劣戰(zhàn)略H.唯一的精煉貝葉斯納什均衡是時段博弈納什均衡（L，L），即（低投標(biāo)價，低投標(biāo)價）重復(fù)Y-1次，這與在完全信息情況基本一樣，區(qū)別只有Z1在第1時段選擇了H .即信息完全和單邊非對稱信息不完全的有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競標(biāo)出現(xiàn)合作行為的概率為0.

3.2兩投標(biāo)者都具有大于零的概率是非理智的情形

前面討論的投標(biāo)者1具有非理智概率q而投標(biāo)者2完全理智的情形，本節(jié)討論投標(biāo)者1和投標(biāo)者2均具有非理智概率q的情形，即本節(jié)討論非理智投標(biāo)者2的期望利潤.根據(jù)參考文獻[7]，在兩投標(biāo)者信息不完全有限次重復(fù)博弈中，非理智屬性投標(biāo)者選擇的戰(zhàn)略為“勢不兩立”戰(zhàn)略改換為“苛刻戰(zhàn)略”，但最后產(chǎn)生的均衡是一樣的.為了論證方便，也將非理智投標(biāo)者選擇的戰(zhàn)略由“勢不兩立”戰(zhàn)略改換為“苛刻戰(zhàn)略”，即“開始第一時段選擇H（合作），合作直到對手選擇L（對抗），然后一直以牙還牙選擇L.”

所以如果對手是FZ1，F(xiàn)Z2的期望利潤是G2HH×Y，兩方均不會做出背叛選擇（因為非理智屬性投標(biāo)者選擇“苛刻戰(zhàn)略”，在y=1時段，只會選擇H）.即一直處于合作狀態(tài).

如果對手Z1在y=1時段選擇L，F(xiàn)Z2在y=1時段選擇H，從y=2時段開始，兩個投標(biāo)者都將選擇L，直到最后一個時段（y=Y）.這是一個均衡：從y=2時段開始，F(xiàn)Z2選擇L是根據(jù)“苛刻戰(zhàn)略”報復(fù)Z1；Z1的最優(yōu)選擇總是嚴優(yōu)戰(zhàn)略L.這種情況下FZ2的期望利潤是：

G2LH+G2LL+...+G1LL=G2LH+G2LL（Y-1）. （7）

考慮到投標(biāo)者1屬于兩種屬性的條件概率分別為q 與1-q，這樣FZ2從這一戰(zhàn)略得到的期望利潤應(yīng)為：

q×（G2HH×Y）+（1-q）×（G2LH+G2LL（Y-1））=qY（G2HH-G2LL）+Y×G2LL+G2LH-G2LL-q×G2LH+q×G2LL. （8）

考慮投標(biāo)者2，如果他在第一時段（y=1）上選擇L，會暴露他是理智屬性.這時投標(biāo)者2的期望利潤為：

（1-q）×（G2LL×Y）+q×（G2HL+G2LL（Y-1））. （9）

比較式（8）與式（9）的結(jié)果，對于投標(biāo)者2，第二戰(zhàn)略優(yōu)于第一戰(zhàn)略的條件為：

Y>qG2HL+（1-2q）G2LL-（1-q）G2LHq（G2HH+G2LL）. （10）

這個不等式結(jié)果表明 ，只要Y大于式（10）右邊取整后的Y*，則可以說明從一開始就選擇L（對抗）不是投標(biāo)者2的最優(yōu)戰(zhàn)略.由上式可以看出，q越小，Y*取值越大.也就是說，對手理智的概率與選擇合作的可能性具有正相關(guān)性.不論q多么小，總存在一個Y*，使得對所有的Y>Y* ，投標(biāo)者2在y=1時段選擇L不是最優(yōu)戰(zhàn)略，最優(yōu)戰(zhàn)略為選擇高報價（合作戰(zhàn)略）.根據(jù)對稱性原理，類似的結(jié)論對投標(biāo)者1也成立.這個結(jié)果表明，對于非理智投標(biāo)者，即便存在微小的非理智概率，如果跟對手達到足夠多的重復(fù)博弈次數(shù)Y，合作成為最優(yōu)戰(zhàn)略.

4結(jié)論

應(yīng)用信息不完全條件下有限次重復(fù)博弈的“四人幫”聲譽模型原理，建立建設(shè)工程投標(biāo)報價中兩投標(biāo)者進行競標(biāo)的重復(fù)博弈模型，并求解及分析報價模型的精煉貝葉斯納什均衡，得到如下結(jié)論.

1）信息完全有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競標(biāo)出現(xiàn)合作行為的概率為0，而信息不完全有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競標(biāo)存在合作的均衡規(guī)律.

2）兩投標(biāo)者在有限次重復(fù)博弈競標(biāo)中，如果每一個投標(biāo)者都具有非理智的概率q>0，不論q多小，只要進行了足夠多的博弈重復(fù)次數(shù)，就會出現(xiàn)合作均衡的局面，并且對抗非合作時段的總數(shù)與博弈重復(fù)的次數(shù)無關(guān)，而只與這種非理智的概率有關(guān).

3）對于一方投標(biāo)者，競爭對手的理智概率決定了選擇與其合作的可能性.不理智的概率越小，合作的時段越會提前.

參考文獻

[1]熊炳忠，馬柏林.基于貝葉斯MCMC算法的美式期權(quán)定價[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2013，30（2）：55-54.

[2]左西子，趙人可，彭朝暉，等.具有不完全信息的內(nèi)部交易動態(tài)博弈[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2014，31（2）：49-54.

[3]孫修勇.合作博弈視角分析社會財富分配[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2013，30（3）：75-80.

[4]焦銀禾.建設(shè)工程招投標(biāo)及博弈論應(yīng)用[M].北京：中國鐵道出版社，2009：147-182.

[5]李光久.博弈論基礎(chǔ)教程[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004：168-191.

[6]喻剛.建筑工程項目投標(biāo)報價決策研究[D]. 天津：天津大學(xué)管理學(xué)院，2008.

[7]蒲永健.應(yīng)用博弈論[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2014.endprint