☉江蘇省泰興市西城初級(jí)中學(xué)　田　堃

操作中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，實(shí)踐中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)*
——基于蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)課題活動(dòng)——“神奇”的式子

☉江蘇省泰興市西城初級(jí)中學(xué)田堃

一、教材呈現(xiàn)

活動(dòng)內(nèi)容：

在上述問(wèn)題中，分別把人、點(diǎn)、球隊(duì)看成研究對(duì)象，把兩人握手、兩點(diǎn)連線、兩球隊(duì)間的比賽看成研究對(duì)象間的一種關(guān)系，要求的握手總次數(shù)、線段總數(shù)、比賽總場(chǎng)數(shù)就是求所有對(duì)象間的不同關(guān)系總數(shù).

當(dāng)n個(gè)研究對(duì)象中任意兩個(gè)對(duì)象都發(fā)生一種關(guān)系時(shí)，這樣的關(guān)系總數(shù)應(yīng)是種.

活動(dòng)1：

分別數(shù)出圖2、圖3中三角形、長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，并與同桌交流.

圖2

圖3

活動(dòng)2：

幼兒園老師給?。?）班20個(gè)小朋友分發(fā)不同的玩具.玩了一會(huì)兒，老師說(shuō)：“小朋友們，你們可以任意找小朋友交換玩具，但是只能交換1次.”問(wèn)：交換結(jié)果可能有多少種？

活動(dòng)3：

一列從南京開往連云港的火車，途中要停靠新沂、徐州等11個(gè)站，按照各站間的地名不同而設(shè)置不同的車票，共需定制多少種車票？距離相等的票價(jià)相同，最多應(yīng)設(shè)置多少種不同的票價(jià)？

二、課堂實(shí)錄

（一）活動(dòng)引入

在活動(dòng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，在探究中提煉解題結(jié)論.

師：同學(xué)們，前面我們已學(xué)習(xí)過(guò)線段的相關(guān)知識(shí)，下面請(qǐng)大家思考問(wèn)題：如圖1，一條直線上有12個(gè)點(diǎn)，圖中共有多少條線段？

題目一展示，氣氛立即熱烈起來(lái)，大部分學(xué)生立即舉手爭(zhēng)著要求回答.經(jīng)老師示意，由一位學(xué)生回答.

生1：66條線段.

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)是如何計(jì)算的？

話音剛落，大多數(shù)學(xué)生積極舉手，爭(zhēng)著要求發(fā)言.

生2：我是這樣計(jì)算的，以A1為端點(diǎn)，共有11條線段，接下來(lái)依次為10、9、…、1條線段，累加以后就得出答案.

師：結(jié)論是正確的，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)這里運(yùn)用了哪種數(shù)思想呢？

教室里靜下來(lái)許多，舉手要求發(fā)言的學(xué)生只有10名左右.

生3：分類的數(shù)學(xué)思想.

師：很好，我們?cè)趯W(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)就已介紹過(guò)這一數(shù)學(xué)思想，今后的學(xué)習(xí)中，特別是種類比較多時(shí)，我們要有意識(shí)地運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思想，它能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.接下來(lái)我們回到計(jì)算過(guò)程，這里是從11依次遞減加到1，本題的計(jì)算還不是很繁，如果數(shù)字增大呢？我想讓大家在此處探索一下有沒有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法.

事實(shí)上老師在巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的學(xué)生就是采用累加的方法求出結(jié)果的，其實(shí)在前面講解線段時(shí)針對(duì)該類型的加法計(jì)算曾經(jīng)補(bǔ)充講過(guò)，這里學(xué)生出現(xiàn)了遺忘.有必要在此復(fù)習(xí)回顧，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成提煉解題結(jié)論的習(xí)慣.

生4：我的計(jì)算過(guò)程是這樣的：將式子11+10+…+1及1+2+…+11上下對(duì)齊相加就會(huì)求出結(jié)果

老師：好的，我們?cè)谥v解線段問(wèn)題時(shí)曾介紹過(guò)當(dāng)一條直線上出現(xiàn)n個(gè)點(diǎn)時(shí)求線段總數(shù)的方法，并給出了計(jì)算結(jié)果的表達(dá)式希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要養(yǎng)成總結(jié)、提煉的習(xí)慣，這樣就會(huì)使不同數(shù)值的問(wèn)題的結(jié)論形式統(tǒng)一，便于我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸類.讓我們?cè)诮酉聛?lái)的活動(dòng)中共同見證這一“神奇”的式子.

（二）操作探究

1.感悟類比思想，見證神奇式子

給出活動(dòng)1.

師：你是如何探究出解題思路的？你知道這里運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想嗎？

同學(xué)們?cè)谒伎计毯蠹娂娬归_討論，爭(zhēng)執(zhí)之聲不絕于耳，很快就有不少學(xué)生舉手要求回答，老師在巡視中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生舉起的手又放下了，有一種欲言又止的感覺，老師知道其中緣由，有意選擇兩位學(xué)生來(lái)回答.

生5：圖2中共有45個(gè)三角形；圖3中共有36個(gè)長(zhǎng)方形，我是模仿計(jì)數(shù)線段的方法求出的，這里運(yùn)用了分類的數(shù)學(xué)思想.

生6：我的回答有和生5相同的部分，不同的是計(jì)算時(shí)運(yùn)用的是分類思想，但在探索解題思路時(shí)運(yùn)用何種數(shù)學(xué)思想我說(shuō)不出來(lái).

師：剛才這位同學(xué)回答的很好，事實(shí)上我們沒有講解過(guò)這種數(shù)學(xué)思想，但我們通過(guò)求解發(fā)現(xiàn)，在統(tǒng)計(jì)三角形、長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)時(shí)大家都不知不覺地運(yùn)用了剛才計(jì)數(shù)線段時(shí)的方法，這就是類比的數(shù)學(xué)思想.波利亞曾說(shuō)過(guò)：“類比是一個(gè)偉大的引路人”.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，由兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中所含元素的屬性在某些方面相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式被稱為類比推理，運(yùn)用類比推理的模式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法稱為類比法.類比既是一種邏輯方法，也是一種科學(xué)研究的方法，是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一.在數(shù)學(xué)中，我們也經(jīng)常采用類比的方法.例如：把分式與分?jǐn)?shù)、不等式與等式等進(jìn)行類比，用已有的方法解決新的問(wèn)題.最后我們來(lái)看看這兩題的列式是不是符合的類型.

學(xué)生們一致認(rèn)同.

2.運(yùn)用類比思想，學(xué)會(huì)積累經(jīng)驗(yàn)

給出活動(dòng)2.

師：同學(xué)們先獨(dú)立思考5分鐘，再由活動(dòng)小組長(zhǎng)組織進(jìn)行討論.

巡視中老師發(fā)現(xiàn)：在5分鐘的時(shí)間里獨(dú)立解出的約占百分之二十，有部分學(xué)生似乎找到了方法，從眉頭緊鎖的部分學(xué)生的面部表情中老師讀到了還有不少學(xué)生沒有理解.后經(jīng)小組討論發(fā)現(xiàn)仍有十多名學(xué)生不能理解.

師：對(duì)于尚未理解的同學(xué)來(lái)說(shuō)，可否先從簡(jiǎn)單處著手，比如我們選4個(gè)同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，這樣便于探究出結(jié)論，然后慢慢擴(kuò)大數(shù)字，下面找4位已掌握的同學(xué)到前面演示一下，請(qǐng)沒有掌握的同學(xué)認(rèn)真觀察.

示范結(jié)束后，老師發(fā)現(xiàn)都能列式計(jì)算了.

師：剛才我們選擇4位同學(xué)來(lái)做實(shí)驗(yàn)，告訴大家什么樣的道理呢？

生7：說(shuō)明處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)可從簡(jiǎn)單處著手，積累一定經(jīng)驗(yàn)后再慢慢推廣.

老師：好，這是不是我們的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)啊？今后的活動(dòng)中要學(xué)會(huì)運(yùn)用.雖然我們有少數(shù)同學(xué)是通過(guò)找4位同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，從簡(jiǎn)單處積累解題經(jīng)驗(yàn)來(lái)加以理解的，現(xiàn)在來(lái)看，還可以這樣求解，只要運(yùn)用類比思想，這里我們把20個(gè)小朋友類比成直線上的20個(gè)點(diǎn)，任意找小朋友交換玩具不就類比成任意兩點(diǎn)連成線段了嗎？結(jié)果再次出現(xiàn)“神奇”的式子.

給出活動(dòng)3.

師：認(rèn)真閱讀，注意比較本題與前面幾題有何異同，特別是探索相似之處，再迅速作答.

5分鐘后，有學(xué)生紛紛舉手要求發(fā)言.

生8：我認(rèn)為票價(jià)與前面的線段、小朋友交換玩具等相似.

生9：車票與線段等問(wèn)題不同，如線段AB與線段BA是同一條線段，而兩車站之間“南京-徐州”與“徐州-南京”是不同車票.

師：剛才兩位的回答很精彩，由此我們得出：在運(yùn)用類比數(shù)學(xué)思想時(shí)注意點(diǎn)是什么呢？

生10：關(guān)注相同或相似之處.

師：正確.接下來(lái)用3分鐘時(shí)間大家抓緊完成.

3.學(xué)會(huì)總結(jié)歸納，踐行拓展提升

老師：從前面的活動(dòng)不難發(fā)現(xiàn)，在上述問(wèn)題中，分別把點(diǎn)、小朋友、車站看成研究對(duì)象，把兩點(diǎn)連線、三角形、長(zhǎng)方形、兩小朋友間的不同玩具交換、兩車站之間的票價(jià)看成研究對(duì)象間的一種關(guān)系，要求的線段總數(shù)、三角形個(gè)數(shù)、長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)、小朋友之間玩具交換的可能總數(shù)、票價(jià)總數(shù)就是求所有對(duì)象間的不同關(guān)系總數(shù).這些我們都是在類比數(shù)學(xué)思想指引下逐一求解的，今后在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要認(rèn)真分析，若研究對(duì)象所含元素的屬性在某些方面相同或相似，就有可能推出它們的其他屬性也可能相同或相似.

活動(dòng)4：

兩條直線相交，最多只有一個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢？n條呢？

師：大家抓緊時(shí)間思考，5分鐘后老師直接提問(wèn).

5分鐘時(shí)間到了，老師巡視過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生還在不停地運(yùn)算，就是n條直線的情況沒能求出.老師讓一位學(xué)生到黑板上詳細(xì)寫出演算過(guò)程.

生11：3條直線相交——3個(gè)交點(diǎn)；

4條直線相交——6個(gè)交點(diǎn)；

5條直線相交——10個(gè)交點(diǎn).

師：現(xiàn)在暫時(shí)不考慮n條直線的情況，大家一起討論3條直線、4條直線相交的情況，黑板上的演算已經(jīng)給大家提供了很好的研究方法，這里實(shí)際是在做列表對(duì)比分析，這位同學(xué)做得很好，不足之處是過(guò)程還不夠詳細(xì)，下面我和大家一起來(lái)列表分析.

（1）

（2）

表（1）中反映的就是生11的解答思路，這里的分析不夠詳細(xì)，因此題目本身隱含的規(guī)律未能揭示出來(lái)，如果我們從3條直線來(lái)仔細(xì)分析，3個(gè)交點(diǎn)相比前面增加了兩個(gè)交點(diǎn)，這里結(jié)合圖形就更加直觀，當(dāng)?shù)谌龡l直線出現(xiàn)時(shí)，它和前兩條直線相交產(chǎn)生的兩個(gè)交點(diǎn)就是新增加的交點(diǎn)數(shù)2.于是，當(dāng)出現(xiàn)第4條直線時(shí)，它與前3條直線有3個(gè)交點(diǎn)，見表（2）.由此，當(dāng)?shù)趎條直線出現(xiàn)時(shí)，新增加的直線與前面（n-1）條直線相交有（n-1）個(gè)交點(diǎn).這里我們可以預(yù)見結(jié)論仍是這一神奇的式子，課后繼續(xù)整理.現(xiàn)在誰(shuí)就本題的探索過(guò)程作一小結(jié)？

生12：列表分析便于作對(duì)比來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，操作實(shí)踐時(shí)對(duì)每一個(gè)變化都要仔細(xì)分析.

（三）課堂小結(jié)，課后鞏固

師：現(xiàn)在各小組交流本節(jié)課的收獲，推選代表發(fā)言進(jìn)行全班交流.

老師在巡視中走進(jìn)小組，幫助學(xué)生總結(jié)、整理，最后形成對(duì)本節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課的共同認(rèn)識(shí).

（2）類比的數(shù)學(xué)思想：運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵在于探索相似或相同之處.

（3）解決問(wèn)題一般從簡(jiǎn)單處入手，認(rèn)真觀察，細(xì)心分析.

布置課后作業(yè)時(shí)老師留下兩道題.

（1）課后每人命制2道習(xí)題，要求與課堂上的活動(dòng)類似，但背景不能相同.

（2）有n支球隊(duì)參加排球聯(lián)賽，每隊(duì)都與其余各隊(duì)比賽兩場(chǎng)，求聯(lián)賽的總場(chǎng)次.

三、教學(xué)反思

1.構(gòu)思與達(dá)成

活動(dòng)引入旨在通過(guò)熟悉的例子回顧一下分類的數(shù)學(xué)思想及該類型計(jì)算的方法，在此基礎(chǔ)上對(duì)所列加法式子加以提煉整理，形成“神奇”的式子對(duì)解題結(jié)論加以整理、提煉，不僅從結(jié)論上使學(xué)生形成記憶，而且能強(qiáng)化分類歸納，便于掌握.比如學(xué)到用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)有這樣的問(wèn)題：某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦.設(shè)平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，列出式子：1+x+x（1+x）=81，整理提煉有（x+1）2= 81，這就使學(xué)生從本質(zhì)上理解此題，并能加以歸類.

活動(dòng)1的安排有意讓學(xué)生在不知不覺中去模仿活動(dòng)引入的計(jì)算技巧，再向?qū)W生提出運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想，由此激發(fā)學(xué)生思考探索，加深對(duì)類比數(shù)學(xué)思想的理解，初步見證“神奇”的式子

活動(dòng)2首先是針對(duì)運(yùn)用類比數(shù)學(xué)思想的條件而設(shè)置的活動(dòng)，活動(dòng)2不像活動(dòng)1那樣容易找出相似之處，必須在充分理解的情況下才能從本質(zhì)上揭示相似之處；其次，不少學(xué)生，特別是成績(jī)中下的學(xué)生在活動(dòng)初期找不到思路，小組交流仍然不得要領(lǐng)，這就使學(xué)生對(duì)老師提供“從簡(jiǎn)單處入手”這一活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生強(qiáng)烈的需求.

活動(dòng)3，由于有了前面的鋪墊，本來(lái)有難度的活動(dòng)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)反而沒有困難，這里只需對(duì)車票與票價(jià)加以區(qū)別即可.

活動(dòng)4是一個(gè)略有提升的活動(dòng)，好多學(xué)生能對(duì)直線條數(shù)的增加依次計(jì)算，但就是不能突破，此活動(dòng)的進(jìn)行對(duì)形成仔細(xì)觀察、小心求證的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)大有幫助.

課后鞏固中，老師給學(xué)生布置作業(yè)：課后命制習(xí)題，把整節(jié)活動(dòng)課推向高潮，不落俗套.

從活動(dòng)氣氛、交流、發(fā)言情況看，本節(jié)活動(dòng)課中，學(xué)生活動(dòng)積極性高，主體性強(qiáng)，參與度高，目標(biāo)達(dá)成效果好.

2.交流與展望

交流之一，活動(dòng)1中，絕大多數(shù)學(xué)生都運(yùn)用活動(dòng)引入中的線段計(jì)數(shù)技巧，這實(shí)際是在潛意識(shí)中運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想.教材已設(shè)置了握手、計(jì)數(shù)線段、單循環(huán)比賽三個(gè)情境，這無(wú)疑為后面的活動(dòng)打下基礎(chǔ)，有意為活動(dòng)1做鋪墊.若教材直接安排活動(dòng)1、2、3呢？老師們是否能在備課時(shí)設(shè)置類似的情境呢？一旦沒有活動(dòng)引入，而直接從活動(dòng)1來(lái)闡述類比思想是否有些唐突？

交流之二，活動(dòng)2與4中，在探索求解思路時(shí)，如果老師放手讓學(xué)生小組討論交流，答案也能求出，但本節(jié)活動(dòng)課上，老師先引導(dǎo)小組交流適當(dāng)時(shí)間后，再通過(guò)講解來(lái)突出從簡(jiǎn)單之處著手探討，這樣使學(xué)生既有直接體驗(yàn)，又有老師的理論方法指導(dǎo)，更有利于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，也提高了課堂效率.

交流之三，基本數(shù)學(xué)思想及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的價(jià)值追求.如活動(dòng)1中，學(xué)生能在不自覺中模仿引入部分的計(jì)算技巧，這實(shí)際是在潛意識(shí)中運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想.再如活動(dòng)2中，老師提出讓4位同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，然后去擴(kuò)大數(shù)字慢慢探索，這種由簡(jiǎn)單處著手分析探索規(guī)律無(wú)疑教給了學(xué)生活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)——認(rèn)識(shí)事物從簡(jiǎn)單到復(fù)雜.我們有理由相信這種于簡(jiǎn)單處分析總結(jié)再到復(fù)雜問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)會(huì)使學(xué)生一輩子受用的.我們的教育就是要使學(xué)生即使忘記了一些課堂所學(xué)的知識(shí)還能留下思想、經(jīng)驗(yàn)等，這才是我們追求的教育.

交流之四，值得提出的是數(shù)學(xué)思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，首先需要在活動(dòng)過(guò)程中加以感悟，在活動(dòng)過(guò)程中不斷積淀，也就是說(shuō)需要一定的時(shí)間、過(guò)程才能讓學(xué)生熟練掌握，而不是上幾節(jié)課、搞幾次活動(dòng)就能達(dá)到效果.一句話，需要長(zhǎng)期滲透.一線教師要依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，從知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、延伸點(diǎn)出發(fā)，精心設(shè)計(jì)活動(dòng)課的素材，使初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課常態(tài)化.

本節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課可謂是室內(nèi)課，它與“常規(guī)數(shù)學(xué)課”區(qū)別不是很大，所以老師在課堂組織及講授模式上也基本參照“常規(guī)數(shù)學(xué)課”.若是室外綜合實(shí)踐活動(dòng)課，上課的模式該如何呢？課堂落腳點(diǎn)又在哪里？

筆者認(rèn)為，無(wú)論綜合與實(shí)踐活動(dòng)課內(nèi)容如何，它的授課模式受制于內(nèi)容，但在任何情況下都不要離開創(chuàng)新，沒有創(chuàng)新就沒有活力，沒有發(fā)展.

雖然說(shuō)授課的模式有多種，但綜合與實(shí)踐活動(dòng)課根本的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)突出基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課程的實(shí)施，使學(xué)生不僅掌握必要的知識(shí)，更重要的是提高了其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使其樂(lè)于研究探索問(wèn)題的起源和發(fā)展過(guò)程，在此過(guò)程中，學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)的能力、合作學(xué)習(xí)的能力及解決問(wèn)題的能力得到了充分的發(fā)展，更能給予學(xué)生一個(gè)“完整的數(shù)學(xué)”.讓數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課堂成為學(xué)生創(chuàng)新發(fā)展、可持續(xù)發(fā)展的快樂(lè)大舞臺(tái)吧.

1.吳海寧.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是積累提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的載體——《神奇的紙帶》課堂教學(xué)實(shí)錄與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（6）.

*該文為江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題《基于蘇科版教材初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的實(shí)踐研究》（課題編號(hào)：D/ 2013/02/106）的研究成果之一.