☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中　冒　劼

有效先學(xué)·踴躍展示·啟發(fā)思考
——勾股定理（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)與解

☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中冒劼

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2015年第4期，萬廣磊老師從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度出發(fā)精心設(shè)計(jì)了勾股定理（第1課時(shí)）的教學(xué)流程，很受教益.恰好有機(jī)會(huì)在開設(shè)一節(jié)研討課時(shí)，筆者選擇了“勾股定理（第1課時(shí)）”，本文記錄該課的教學(xué)流程，并闡釋教學(xué)立意，與同行研討.

一、教學(xué)流程及設(shè)計(jì)意圖

課前先學(xué)：安排學(xué)生自學(xué)教材上的勾股定理內(nèi)容，并布置學(xué)生上網(wǎng)檢索與勾股定理相關(guān)的中外史話，以備課上展示交流.

1.交流自學(xué)成果

勾股定理的內(nèi)容（學(xué)生回答，教師板書）.

如圖1，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那么：a2+b2=c2.

匯報(bào)展示勾股定理的中外史話，比如畢達(dá)哥拉斯在地磚上的奧秘（如圖2、圖3）.

圖1

圖3

圖4

圖2

有學(xué)生在匯報(bào)中提及：為了慶祝自己的發(fā)現(xiàn)他屠殺了一百頭牛慶祝.后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他，把他的發(fā)現(xiàn)叫做“畢達(dá)哥拉斯定理”、“百牛定理”.1955年希臘發(fā)行了一張郵票（如圖4），圖案是由三個(gè)棋盤排列而成.

還有學(xué)生指出：在我國，人們稱它為勾股定理或商高定理.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生課前有效先學(xué)，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究數(shù)學(xué)的興趣，又活躍了開課階段的氛圍，讓學(xué)生踴躍展示自己的自學(xué)成果.

2.勾股定理的證明

選用我國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”（圖5），由弦圖引入勾股定理的證明，利用圖6，引導(dǎo)學(xué)生從面積法）的角度演算出勾股定理.

圖5

圖6

接著由學(xué)生分組討論課前搜集的勾股定理證明，并在各自小組內(nèi)拼圖實(shí)驗(yàn)證明（學(xué)習(xí)小組先交流，再分組展示交流成果），以下為各組匯報(bào)交流的不同證法：

（1）傳說中的畢達(dá)哥拉斯的證明方法示意圖（圖7、圖8）.

圖7

圖8

（2）美國第20任總統(tǒng)加菲爾德的證法（圖9、圖10）.

圖9

圖10

（3）直接用面積證明（圖11）.

圖11

圖12

（4）《幾何原本》中的證法（圖12）.

預(yù)設(shè)點(diǎn)評：通過構(gòu)圖和面積的不同表示是證明勾股定理的重要途徑.

3.勾股定理的應(yīng)用

例題：如圖13，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？

學(xué)生鞏固練習(xí)：

（1）求圖14～16中各直角三角形中未知邊的長.

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

（2）求圖16～18中未知數(shù)x、y、z的值.

圖18

圖19

4.課堂小結(jié)

（1）勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對象——數(shù)與形的第一定理.

（2）勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，從而深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即所謂“無理數(shù)”與有理數(shù)的差別，這就是所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

（3）勾股定理開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明與推理的科學(xué).

（4）勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)出各式各樣的不定方程，包括著名的“費(fèi)爾馬大定理”，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的整體闡釋

1.有效先學(xué)，踴躍展示，勾股定理教學(xué)的一種嘗試

我們采用布置課前有效先學(xué)，讓學(xué)生親自搜集資料研究勾股定理發(fā)展的史料及其證明方法，這和很多倡導(dǎo)勾股定理應(yīng)該走“發(fā)現(xiàn)式”的教學(xué)取向完全不一樣.但我們認(rèn)為，作為一種教學(xué)方法的多樣性，通過有效先學(xué)，讓學(xué)生開課從而踴躍展示，充分發(fā)揮了學(xué)和教的主體的創(chuàng)造性，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了搜集、整合、實(shí)驗(yàn)操作、交流合作的過程，從而使學(xué)生形成自己對勾股定理及相關(guān)內(nèi)容的理解和有效的學(xué)習(xí)策略，直接感受到中華民族的文化成就，產(chǎn)生民族自豪感，而且更重要的是，在自主學(xué)習(xí)、合作交流的過程中，豐富了學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展的整體認(rèn)識，拓展了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想、方法、手段，激發(fā)了他們運(yùn)用現(xiàn)代信息工具的濃厚興趣.此外，讓學(xué)生在課前有效先學(xué)，也節(jié)約了課堂上的教學(xué)時(shí)間，使得課堂上的展示、交流、對話得到充分開展.就我們多年的實(shí)踐表明，如果學(xué)生沒能有效先學(xué)，那么盡管課堂上對一些勾股定理的證明方法講授或交流，但是至少有一半左右的學(xué)生理解是有困難的，也正是基于這種教學(xué)現(xiàn)實(shí)，促進(jìn)我們思考將部分內(nèi)容讓學(xué)生自主先學(xué)，促進(jìn)更多的學(xué)生課堂上能理解、跟得上整體的進(jìn)度.

2.操作拼圖，啟發(fā)思考，證明勾股定理的關(guān)鍵所在

坦率地講，如果不是課前有效先學(xué)，讓學(xué)生提前熟悉相關(guān)的拼圖證明勾股定理的方法，在課堂上有限的45分鐘，恐怕就探究一兩種拼圖證明方法，教學(xué)時(shí)間就會(huì)很快過去.所以在間接經(jīng)驗(yàn)與直接經(jīng)驗(yàn)的取舍中，我們選擇了前者，讓學(xué)生把在課前準(zhǔn)備好的操作拼圖方法，先在小組內(nèi)交流展示，啟發(fā)彼此思考，證明勾股定理，再小組交流匯報(bào)展示各自的證明方法.而就本節(jié)課的教學(xué)來看，勾股定理的證明無疑是重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以在上文課例中，我們安排了很多教學(xué)時(shí)間在勾股定理的拼圖、證明上，這也是讓學(xué)生“知其然，知其所以然”的教學(xué)追求.

三、寫在最后

記得有位數(shù)學(xué)教育研究學(xué)者說過“要想看教師的基本功，就讓他上勾股定理吧！”此言不虛.在各級期刊上，關(guān)于勾股定理教學(xué)的研討文獻(xiàn)也是最多的，各種不同版本教材上就勾股定理的處理也不盡相同，我們對勾股定理的這種有效先學(xué)也是個(gè)性化的，敬請批評指正.

1.萬廣磊.基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的勾股定理教學(xué)實(shí)踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.