佘銀柱　秦慧斌　呂　明（1太原工業(yè)學(xué)院機械工程系　太原　00008）（中北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院　太原　00051）（太原理工大學(xué)機械工程學(xué)院　太原　0004）

變厚度圓板、環(huán)板振動分析的傳遞矩陣法*

佘銀柱1?秦慧斌2呂明3
（1太原工業(yè)學(xué)院機械工程系太原030008）（2中北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院太原030051）（3太原理工大學(xué)機械工程學(xué)院太原030024）

變厚度圓板和環(huán)板是在工程設(shè)計中經(jīng)常遇到的一類構(gòu)件，與等厚度板相比，通過適當(dāng)?shù)难貜较蚝穸鹊淖兓?，這種變厚度板在振動、失穩(wěn)、彎曲等方面能起到更好的效果。將沿徑向任意變厚度圓板、環(huán)板劃分為一系列等厚度環(huán)板單元，基于Mindlin中厚板理論采用逆向推導(dǎo)的方式推導(dǎo)了其傳遞矩陣，建立起變厚度圓板、環(huán)板的頻率方程。通過計算線性變厚度環(huán)板自由振動時的頻率，并與ANSYS模態(tài)分析結(jié)果相比較，驗證了計算模型的精確性。逆向推導(dǎo)法避免了高階數(shù)傳遞矩陣推導(dǎo)復(fù)雜的問題，是對傳遞矩陣法的很好推廣。

中厚板，變厚度環(huán)板，橫向彎曲振動，傳遞矩陣法

1　引言

變厚度圓板和環(huán)板是在工程設(shè)計中經(jīng)常遇到的一類構(gòu)件，與等厚度板相比，通過適當(dāng)?shù)难貜较蜃兓穸龋@種變厚度板在振動、失穩(wěn)、彎曲等方面能起到更好的效果，因此他們的動力學(xué)特性也備受關(guān)注。對等厚度圓板和環(huán)板的振動，到上世紀(jì)七八十年代，Leissa的專著［1］和一系列文章［2-4］總結(jié)了前人成果，并作了更全面深入的研究，形成了較為完備的理論體系。此后許多學(xué)者對不同變厚度形式及不同邊界條件下圓板與環(huán)板的振動進行了分析研究［5-16］，其中有些研究是針對特定類型的圓板或環(huán)板，如Lenox研究了拋物線變厚度圓板的振動［5］，Singh B研究了雙線性變厚度圓板的振動［7］，Luisoni研究了線性變厚度圓板的振動［8］等，實際應(yīng)用中會有一定的限制。在求解方法上典型的有三節(jié)點環(huán)元法、微分求積法、Kantorovich延拓法、能量變分?jǐn)?shù)值法、半解析法及罰函數(shù)法等，這些方法各有特點，豐富了圓板的振動理論。近些年，一些學(xué)者開始基于三維彈性振動理論對非線性變厚度圓板及環(huán)板的振動頻率進行精確求解［17-18］，但這種方法較復(fù)雜，計算量大，尤其在求解高階振動頻率時。

傳遞矩陣法是工程中常用的一種簡便計算方法，由Lrie T等人于上世紀(jì)70年代提出，由于它力學(xué)概念清晰，計算精確度高，受到廣泛關(guān)注。目前實際應(yīng)用中該方法多采用四階以下低階傳遞矩陣，如文獻［19］變幅桿縱向振動的二階傳遞矩陣推導(dǎo)過程已很繁瑣，隨著傳遞矩陣階數(shù)的增高，矩陣推導(dǎo)難度成倍提高，這為變量多、傳遞矩陣階數(shù)高的應(yīng)用場合帶來諸多不便。基于Mindlin中厚板理論，采用逆向推導(dǎo)的方法推導(dǎo)出了等厚度環(huán)板內(nèi)外表面間各狀態(tài)分量的六階傳遞矩陣，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了用傳遞矩陣計算各向同性變厚度圓板、環(huán)板固有頻率的方法，適用于沿徑向任意變厚度及不同支撐條件下的圓板、環(huán)板。計算結(jié)果與ANSYS模態(tài)分析結(jié)果進行了比較，驗證了計算模型的精確性。

2　等厚度環(huán)板內(nèi)外表面間力和形變的關(guān)系矩陣

圖1為一等厚度環(huán)板，以環(huán)板中心為坐標(biāo)原點建立極坐標(biāo)系r，θ，z。環(huán)板內(nèi)徑為a，外徑為b，厚度為h。在r=a的內(nèi)表面和r=b的外表面分別有力學(xué)分量Mr，Mrθ，Qr及形變分量w、βr、βrθ，如圖1所示。其中Mr，Mrθ分別為板圓柱截面上r向和θ向彎矩；Qr為截面上z向剪力；βr、βrθ分別為圓柱截面上r向和θ向轉(zhuǎn)角；w為板z向撓度。圖1中環(huán)板內(nèi)表面的力學(xué)分量和形變分量標(biāo)注下標(biāo)a，環(huán)板外表面的力學(xué)分量和形變分量標(biāo)注下標(biāo)b。

圖1　等厚度環(huán)板Fig.1 Annular plate with constant thickness

根據(jù)Mindlin理論可以把圓環(huán)外表面的各分量表示為如下形式［20］

式（1）中A1，B1，A2，B2，AH，BH為待定常數(shù)，Dbij（i，j=1～6）是由Bessel函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)式，由Mindlin理論所確定［20］。

同理對環(huán)板內(nèi)表面有

式（2）中A1，B1，A2，B2，AH，BH是與式（1）相同的待定常數(shù)?？梢约僭O(shè)環(huán)板內(nèi)、外表面間的力和形變分量滿足某種函數(shù)關(guān)系，將這種函數(shù)關(guān)系設(shè)為式（3）的形式，式（3）中Cij（i，j=1～6）是未知量。設(shè)由Cij組成的矩陣為T矩陣。T矩陣是等厚度環(huán)板內(nèi)、外表面間力和形變的關(guān)系矩陣，以下進行T矩陣的推導(dǎo)。

在Matlab中可以方便地求出C1，C1的轉(zhuǎn)置矩陣即是關(guān)系矩陣T的第一行元素。同理可得C2、C3、C4、C5、C6，由此可以求得T矩陣為

3　沿徑向任意變厚度圓板、環(huán)板的傳遞矩陣

圖2（a）為變厚度環(huán)板，以環(huán)板中心為原點建立極坐標(biāo)系，環(huán)內(nèi)徑為r1，外徑為r2。當(dāng)r1=0時，環(huán)板就成為變厚度圓板。圖2（a）中h0為r=r1處的厚度。環(huán)板（或圓板）的厚度變化函數(shù)為

式（8）中f（r）可以是關(guān)于r的任意函數(shù)。將變厚度環(huán)板沿徑向進行離散化，劃分為n個等寬度、等厚度環(huán)板，如圖2（b）所示，最外圈為第1個環(huán)單元，最內(nèi)圈為第n個環(huán)單元。當(dāng)r1=0時，則第n個單元相應(yīng)變?yōu)榘鍐卧Ｃ總€環(huán)單元或板單元的厚徑比不受中厚板理論r/d≤0.5的限制。第i個環(huán)板單元的厚度為hi=h0f（ri），ri為第i個板單元的平均半徑。

對于第i個環(huán)板單元，其外表面與內(nèi)表面間力和形變應(yīng)滿足式（3），即

且相鄰環(huán)板單元間力和形變滿足關(guān)系

圖2　變厚度環(huán)板及其離散化模型Fig.2 Annular plate with variable thickness and its discretization model

因此對于圖2變厚度環(huán)板有

式（9）中Tn是第n個環(huán)板單元的關(guān)系矩陣。則變厚度環(huán)板總的傳遞矩陣為

變厚度實心圓板的第n個單元為圓板，所以有

總的傳遞矩陣為

4　沿徑向任意變厚度圓板、環(huán)板的頻率計算

4.1變厚度圓板、環(huán)板的頻率方程

當(dāng)變厚度環(huán)板的支撐條件為內(nèi)外自由時，則其內(nèi)外表面Mr，Mrθ，Qr均為零，將此邊界條件帶入式（9）可得

要使方程（13）有非零解，則上式T矩陣中的元素應(yīng)滿足

式（14）即是變厚度環(huán)板自由振動時的頻率方程。對變厚度圓板的自由振動，由邊界條件及式（11）可得其頻率方程，形式與式（14）同。其他邊界條件的頻率方程推導(dǎo)與此類似，不再重復(fù)。

4.2計算實例

，若式中-1＜e＜0，則環(huán)板為線性變薄，形狀如圖3（a）所示；若式中0＜e，則環(huán)板為線性增厚，形狀如圖3（b）所示。

圖3　線性變厚度環(huán)板剖面圖Fig.3 Cross-section of annular plate with linear variable thickness

圖4　行列式的值Δ隨環(huán)板頻率f變化的曲線Fig.4 Curve of that value of determinant versus frequency of annular plate

為驗證計算的準(zhǔn)確性，采用ANSYS 10.0對該變厚度環(huán)板作了有限元模態(tài)分析，單元類型為SOLID95，智能自由網(wǎng)格劃分模式，模態(tài)提取方法為Block Lanczo。SOLID95單元有20個節(jié)點，每個節(jié)點有x，y，z三個方向自由度，可適用于空間任何方向彈性、蠕變、應(yīng)力、剛度、大撓度、大應(yīng)變分析，能夠用于不規(guī)則形狀而不會在精度上有任何損失。模態(tài)分析得到環(huán)板分別在頻率9431 Hz，32104 Hz，59670 Hz處作零節(jié)徑純彎曲振動，節(jié)圓數(shù)分別為0，1，2，其余均為復(fù)雜振型。表1比較了計算頻率與模態(tài)分析結(jié)果，其中n為環(huán)板振動的節(jié)圓數(shù)。從表中可以看出兩種方法所得頻率的相對偏差很小，傳遞矩陣法所得頻率均略小于有限元模態(tài)分析結(jié)果，其原因有待進一步研究。

求得環(huán)板的傳遞矩陣后，綜合邊界條件方程組和必要的初始條件，可以求得式（1），式（2）中待定常數(shù)A1，A2，A3，A4，A5，A6，從而完全確定環(huán)板振動各力學(xué)分量和形變分量的函數(shù)式。當(dāng)此環(huán)板自由振動頻率為9430 Hz時，設(shè)環(huán)板內(nèi)孔位置的初始最大位移為10μm，可求得環(huán)板沿徑向的振幅分布，如圖5所示，其中在半徑約為39.4 mm位置振幅為零，在環(huán)板外緣位置振幅為-9.075μm。

表1　線性變厚度環(huán)板的計算頻率與模態(tài)分析結(jié)果的比較Table 1Comparison between the calculated frequency and that obtained by ANSYS of annular plate with linear variable thickness

圖5　f=9430 Hz時環(huán)板振幅沿徑向的分布曲線Fig.5 Amplitude distribution curve of the annular plate at the frequency of 9430 Hz

在ANSYS中進一步做諧響應(yīng)分析，環(huán)板內(nèi)孔表面加10μm位移載荷，求得在諧振頻率為9431 Hz時環(huán)板沿徑向振幅分布，如圖6所示?？梢钥闯鰣D5與圖6環(huán)板振幅的變化趨勢完全一致。諧響應(yīng)分析求得環(huán)板在半徑39.5 mm位置振幅為零，在外緣位置振幅為-9.163μm，與理論計算結(jié)果也非常接近。

圖6　f=9431 Hz時環(huán)板振幅沿徑向的分布曲線Fig.6 Amplitude distribution curve of the annular plate at the frequency of 9431 Hz

表2列出了不同厚徑比環(huán)板在自由振動時的第一階固有頻率，其中環(huán)板的材料參數(shù)和厚度函數(shù)與表1相同，幾何參數(shù)為：r1=10 mm，r2=60 mm，h0=2τr2；fA為有限元模態(tài)分析結(jié)果。從表2可以看出環(huán)板的一階頻率隨厚徑比的增大而增大，并且隨著厚徑比的增大，f與fA的相對偏差也逐漸增大。這種現(xiàn)象是由于Mindlin理論在推導(dǎo)中做了一定的假設(shè)和簡化造成的，Mindlin理論要求板的厚徑比滿足條件τ≤0.5，τ越靠近0.5這一極限值，產(chǎn)生的偏差也越大，但從和有限元模擬結(jié)果的比較來看，這種偏差仍在工程可接受范圍內(nèi)。

表2　不同厚徑比環(huán)板一階固有頻率的比較Table 2 Comparison of frequency between the annular plates with variable thicknessdiameter ratio

圖7　等厚圓板與線性變厚度圓板各階頻率的變化曲線Fig.7Change curves of frequency of circular plates with constant thickness and that with linear variable thickness

從圖7中可以看出三種圓板的無因次頻率λ都隨振動時節(jié)圓數(shù)n的增高而近似線性增大，且τ=0.2時變厚度圓板的各階頻率都介于τ=0.2和τ=0.1等厚度圓板的各階頻率之間，大于前者而小于后者，幾乎約等于二者的平均值。經(jīng)計算其他形狀變厚度圓板、環(huán)板也有相似規(guī)律。

5　結(jié)論

基于Mindlin中厚板理論，采用逆向推導(dǎo)的方式推導(dǎo)了環(huán)板單元的六階傳遞矩陣，在此基礎(chǔ)上建立了沿徑向任意變厚度圓板、環(huán)板的振動模型，結(jié)合數(shù)值求解法，能方便求得變厚度圓板、環(huán)板各種約束條件下的振動頻率，也可以用來分析各物理參數(shù)對圓板、環(huán)板振動頻率的影響規(guī)律。逆向推導(dǎo)法避免了高階數(shù)傳遞矩陣推導(dǎo)困難的問題，是對傳遞矩陣法的很好推廣。

傳遞矩陣法適合于用計算機求解沿徑向任意變厚度的圓板、環(huán)板的振動頻率，方法簡單，只需要不多的離散單元就可以獲得較高計算精度，且適用各種邊界條件。當(dāng)圓板或環(huán)板沿徑向等厚時，用傳遞矩陣法建立的頻率方程就自然退化為普通等厚圓板、環(huán)板的頻率方程，計算結(jié)果與Mindlin理論等厚板的計算結(jié)果完全一致。

變厚度圓板、環(huán)板的傳遞矩陣及頻率方程基于Mindlin中厚板理論推導(dǎo)而得，因此在使用中要受到Mindlin理論適用范圍的限制，即板的最大厚徑比τ須滿足小于等于0.5的條件，在此范圍內(nèi)計算結(jié)果有較高準(zhǔn)確性。

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Transfer matrix method for vibration analysis of circular and annular plates with variable thickness

SHE Yinzhu1QIN Huibin2LYU Ming3
（1 Department of Mechanical Engineering of Taiyuan Institute of Technology，Taiyuan 030008，China）（2 School of Mechanical Engineering&Automation，North University of China，Taiyuan 030051，China）
（3 College of Mechanical Engineering of Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China）

Plates with variable thickness are used widely in many engineering structures and machines.By appropriate variation of the plate thickness，these tapered plates can have significantly greater efficiency for bending，bucking，and vibration as compared to plates of uniform thickness.The circle or annular plate with tapered thickness is divided into a series of annular plate with uniform thickness along its radial direction，and its transfer matrix is deduced using the backward-deduction method based on the Mindlin theory for moderate-thick plates.Then the frequency equation of the circle and annular plate with tapered thickness is formulated by applying principle of transfer matrix method.Numerical results are presented for completely free，annular plate with linear variation in thickness，and the accuracy of the calculation model is verified by comparisons made between results obtained from transfer matrix method and that obtained from ANSYS.The backward-deduction method avoids complex deduction of the higher order transfer matrix，which is a beneficial promotion of transfer matrix method.

Moderate-thick plates，Annular plate with variable thickness，Transverse flexural vibration，Transfer matrix metho

TH1131，O242.2

A

1000-310X（2015）05-0425-08

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.05.007

2014-11-05收稿；2015-02-03定稿

*國家自然科學(xué)基金資助項目（50975191）

佘銀柱（1971-），男，山西晉中人，副教授，博士，研究方向：齒輪精密加工及功率超聲加工。?

E-mail：email.zhu@163.com