李　沖　許立忠　邢繼春

燕山大學，秦皇島，066004

壓電諧波傳動系統(tǒng)活齒傳動自由振動分析

李沖許立忠邢繼春

燕山大學，秦皇島，066004

提出了一種具有低速大轉矩特性的機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)，該傳動系統(tǒng)利用活齒傳動輸出轉矩。分析了機電集成壓電諧波傳動的工作原理，建立了活齒傳動動力學模型，推導了其動力學微分方程，給出了活齒傳動自由振動特征方程，求出了系統(tǒng)固有頻率及振型，并分析了結構參數(shù)對固有頻率的影響。研究結果為機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)的進一步優(yōu)化提供了新的思路和方法。

壓電諧波傳動；活齒傳動；自由振動；模態(tài)分析

0　引言

近年來，我國能源、交通、航空和軍事等領域的發(fā)展，對機械傳動系統(tǒng)的精度、效率、微型化和功率密度等提出了更高的要求，在這一趨勢下，基于壓電陶瓷等材料的集機械、力學、電學和控制等多學科交叉的新型驅(qū)動成為研究的熱點[1-3]。傳統(tǒng)壓電電機以定轉子間的摩擦傳動為主，其缺點是接觸面磨損嚴重、壽命短且能量損耗嚴重[4-6]。非接觸式壓電電機雖然避免了摩擦，但其輸出力矩小，承載能力低[7]。20世紀90年代，Ishida等[8]提出了一種利用應變波傳動的摩擦型壓電電機，該傳動類似于諧波電機。2000年，Oliver[9]提出了一種利用諧波齒輪箱和8個壓電堆傳動的諧波壓電電機，該電機用齒輪箱的柔輪代替了傳統(tǒng)的行波發(fā)生器。2004年，辛洪兵等[10]利用位移放大機構設計了一臺壓電諧波電機。以上幾類諧波電機大多采用諧波齒輪傳動方式，柔輪承受較大的交變載荷，對柔輪材料的抗疲勞強度、加工等要求較高，且諧波齒輪傳動比下限值較高。

本文提出了一種既能降低摩擦損耗、延長電機壽命，又能增大電機輸出力矩的機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)。該傳動系統(tǒng)利用活齒嚙合取代定轉子之間的摩擦力來驅(qū)動轉子，從而實現(xiàn)系統(tǒng)要求的大傳動比和大力矩，并保證轉速穩(wěn)定?；铨X傳動是一種要求較嚴格的傳動，在傳動過程中極易產(chǎn)生振動，活齒構件的振動往往會對傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。梁尚明等[11]建立了擺動活齒傳動系統(tǒng)的動力學模型。金向陽等[12]對航空用微小型正弦活齒系統(tǒng)的扭轉振動動力學進行了研究和分析。本文針對機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)活齒傳動建立了動力學模型，并推導了其動力學方程。

1　壓電諧波傳動系統(tǒng)工作原理

圖1為壓電諧波傳動系統(tǒng)結構及原理圖。圖1c中，該系統(tǒng)以互為90°夾角的兩路壓電堆作為驅(qū)動源，初始時刻由于壓縮彈簧的作用，各構件之間無間隙接觸且擺動體朝壓電堆方向存在一定的偏移量；當給兩路壓電堆輸入相位差為90°且?guī)в姓玫恼倚盘柡?，壓電堆產(chǎn)生沿軸向伸長的變形量，該變形量通過彈性體的作用推動擺動體朝彈簧一側擺動；當正弦信號處于零電勢時擺動體通過彈簧的作用恢復到初始位置。相位差為90°的兩路信號同時作用時，兩方向的往復擺動在波發(fā)生器邊緣處就形成了連續(xù)諧波。由于彈性體和擺動體都具有位移放大作用，波發(fā)生器邊緣處可獲得壓電堆伸長量幾十倍的偏移量(a)。將上述諧波通過活齒傳動輸出，取樣機活齒數(shù)為30，中心輪波齒數(shù)為29，便獲得傳動比為30的機電集成壓電諧波傳動。

(a)樣機裝配圖(b)活齒傳動模型圖

(c)工作原理簡圖圖1　壓電諧波傳動系統(tǒng)結構及原理圖

2　動力學模型的建立

2.1動力學模型

壓電諧波傳動系統(tǒng)活齒傳動部分由波發(fā)生器、活齒架、活齒、中心輪等零件構成，借鑒行星輪傳動扭轉振動的研究成果[13]，建立活齒傳動自由振動動力學模型。在動力學分析中作以下假設：

(1)活齒傳動不受軸向力，假設每個構件都在垂直于軸線的平面內(nèi)振動，且活齒只考慮平移振動。

(2)主要構件簡化為剛體，各構件嚙合處簡化為彈簧，中心輪、波發(fā)生器與活齒之間嚙合處簡化為作用在嚙合法線方向上的線性彈簧。

(3)各活齒的質(zhì)量、轉動剛度和嚙合剛度相同。

(4)不計阻尼及嚙合處的摩擦力。

動力學模型如圖2所示，OXY為固定坐標系，Oxy為活齒架坐標系，oixiyi為各活齒坐標系,i=1,2,…,z,其中z為活齒個數(shù)?；铨X架坐標系隨活齒架以角速度ωr等速轉動，活齒坐標系隨活齒架坐標系一起等速轉動，活齒坐標系原點位于活齒中心?；铨X、活齒架、中心輪和波發(fā)生器分別用下標p、r、c、s表示。圖2中，uj表示各構件線位移，θj為構件j因系統(tǒng)振動而產(chǎn)生的角位移，則uj為

uj=rjθjj=r,c,s,p1,p2,…,pf,p(f+1),…,pz

(1)

式中，rj為各構件理論半徑，m；f為嚙合活齒數(shù)。

圖2　動力學模型

每個構件j的位移向量qj以及與qj相應的質(zhì)量矩陣Mj定義為

(2)

Mj=diag(mj,mj,Ij)

(3)

式中，mj、Ij分別為各構件的質(zhì)量和等效質(zhì)量，kg；xj、yj分別為各構件在x和y方向的振動位移，m。

2.2各構件加速度

假設各構件振動位移矢量r在固定坐標系OXY中的坐標分量分別為X、Y，在活齒架動坐標系Oxy中的坐標分量分別為x、y，則有

(4)

式中,C、S為常量。

由式(4)可得到在活齒架動坐標系中各構件j中心處的加速度分量：

(5)

式中，ωr為活齒架轉角。

2.3各構件相對位移

圖3所示為各構件嚙合處的相對位置關系，設由波發(fā)生器指向活齒的方向為波發(fā)生器相對于活齒沿嚙合線的正方向，則波發(fā)生器相對于活齒的位移沿嚙合線方向的投影為

δsk=(Xs-xpi)cos(φk+φ3k)+

(Ys-ypi)sin(φk+φ3k)+ussinφ3k

(6)

式中，xpi、ypi分別為第i個活齒在x和y方向的線位移，m；Xs、Ys為波發(fā)生器在X和Y方向的線位移，m；us為波發(fā)生器沿圓周方向的線位移，m；φk為第i個活齒中心與活齒架中心的連線與固定坐標系中X軸正方向的夾角；φ3k為波發(fā)生器中心和第i個活齒中心連線與第i個活齒中心和活齒架中心連線的夾角。

圖3　各構件相對位移

設由活齒指向中心輪的方向為中心輪相對于活齒沿嚙合線的正方向，則活齒相對于中心輪的位移沿嚙合線方向的投影為

δck=(xc-xpi)cosθi+(yc-ypi)sinθi-ucsin(φk-θi)

(7)

式中，xc、yc分別為中心輪在x和y方向的線位移，m；uc為中心輪沿圓周方向的線位移，m。

活齒架相對于活齒的位移沿活齒架切向的投影為

δr i t=(xpi-xr)sinφk+(yr-ypi)cosφk-ur

(8)

式中，xr、yr分別為活齒架在x和y方向的線位移，m；ur為活齒架沿圓周方向的線位移，m。

2.4各構件動力學微分方程

由波發(fā)生器與活齒嚙合處的相對位移關系，建立波發(fā)生器動力學微分方程：

(9)

k=1,2,…,fl=f+1,f+2,…,z

式中，ks、ksz、kst分別為活齒與波發(fā)生器的嚙合剛度、波發(fā)生器徑向支撐剛度和切向扭轉剛度，N/m；δsk、δsl分別為波發(fā)生器相對于工作活齒和非工作活齒的位移沿嚙合線方向的變形量，m。

由中心輪與活齒嚙合處的相對位移關系，運用牛頓定律建立中心輪動力學微分方程：

(10)

式中，kc、kcz、kct分別為活齒與中心輪的嚙合剛度、中心輪徑向支撐剛度、切向扭轉剛度，N/m；δck、δcl分別為工作活齒和非工作活齒相對于中心輪的位移沿嚙合線方向的變形量，m。

由活齒架與活齒嚙合處的相對位移關系，建立活齒架動力學微分方程：

(11)

式中，kp、krz、krt分別為活齒與活齒架之間的嚙合剛度、活齒架徑向支撐剛度和切向扭轉剛度，N/m；δr k t、δr l t分別為活齒架相對于工作活齒和非工作活齒的位移沿嚙合線方向的變形量，m。

由活齒與各構件嚙合處的相對位移關系，建立活齒動力學微分方程：

(12)

2.5系統(tǒng)動力學微分方程

由于機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)工作在低速，ωr較小，故動力學方程中可以略去與ωr有關的量，由式(9)～式(12)可得簡化后的系統(tǒng)動力學方程：

(13)

q=[xsysusxcycucxryrurxp1yp10 …xpzypz0]T

K=

其中，各矩陣和列陣的維數(shù)都是3Z+9，q為系統(tǒng)的廣義坐標列陣；M為質(zhì)量矩陣，是對角矩陣；K為剛度矩陣。

式(13)對應的特征方程為

(14)

式中，ωh為系統(tǒng)各階固有頻率；φh為振型矢量。

3　結果分析與討論

3.1固有頻率求解與分析

系統(tǒng)參數(shù)見表1，取樣機的傳動比為30，將表1中參數(shù)代入式(14)，得到當嚙合活齒數(shù)為15和16時的部分固有頻率(表2)，表2中m表示固有頻率的重根數(shù)，z=30。

表1　活齒傳動系統(tǒng)參數(shù)

表2活齒系統(tǒng)部分固有頻率及振型

嚙合活齒數(shù)為15時(rad/s)嚙合活齒數(shù)為16時(rad/s)系統(tǒng)全振動m=12061、414882093、60582波發(fā)生器平移振動m=194191、142093347066、3018793中心輪靜止振動m=11746511、17576091746780、1758777全部活齒平移振動m=11740416、17404401742268、1742466嚙合活齒直線振動m=1030151133015113嚙合活齒直線振動m=1117407761740776系統(tǒng)剛體運動m=z00固有頻率總數(shù)9999

由表2可知：

(1)活齒傳動自由振動固有頻率總數(shù)恒定為3z+9個，由1個頻率為0的z重根和2z+9個非零根組成，活齒總數(shù)為30時共有99個固有頻率。

(2)不論嚙合個數(shù)是15還是16，固有頻率均有3 015 113 rad/s和1 740 776 rad/s的非零重根值，重根數(shù)都是m=10和m=11，且非零重根出現(xiàn)時的振動模態(tài)都是嚙合活齒直線振動模態(tài)。

(3)活齒傳動差齒個數(shù)為1時，固有頻率為0的振動模態(tài)是以剛體的形式運動的，且固有頻率0的重根數(shù)等于活齒個數(shù)z。

(4)活齒傳動自由振動中共出現(xiàn)5種振動模態(tài)，分別是系統(tǒng)全振動模態(tài)、波發(fā)生器平移振動模態(tài)、中心輪靜止振動模態(tài)、全部活齒平移振動模態(tài)以及嚙合活齒直線振動模態(tài)。出現(xiàn)次數(shù)最多的是全部活齒平移振動模態(tài)，出現(xiàn)次數(shù)是32。

3.2振型分析與討論

選取表2中嚙合活齒數(shù)為16的部分固有頻率值代入式(14)，可求得部分模態(tài)振型。系統(tǒng)各振動模態(tài)如圖4所示，其中圖4a為系統(tǒng)全振動模態(tài)，圖4b為波發(fā)生器平移振動模態(tài)，圖4c為中心輪靜止振動模態(tài)，圖4d為全部活齒平移振動模態(tài)，圖4e和圖4f為嚙合活齒直線振動模態(tài)。其中正負號表示相應的振動方向。由圖4中得出以下規(guī)律：

(1)每一個單重根固有頻率對應一種振型，在系統(tǒng)全振動模態(tài)對應的振型中，波發(fā)生器、中心輪和活齒架的線位移和沿圓周方向的角位移均不為0，既能平移振動又能旋轉振動，活齒沿x、y方向的線位移不為0，沿圓周方向的角位移為0，只能產(chǎn)生平移振動，不能產(chǎn)生旋轉振動。

(2)波發(fā)生器平移振動模態(tài)中，波發(fā)生器沿圓周方向的角位移為0，沿x、y方向的線位移不為0，其他構件各位移不為0。在中心輪靜止振動模態(tài)中，中心輪的平移振動位移和旋轉位移均為0，活齒架的平移振動位移和旋轉位移均為非零數(shù)值，活齒在平面內(nèi)平移振動。

(3)在全部活齒平移振動模態(tài)對應的振型中，中心輪和活齒架的線位移和角位移均為0，此時只有活齒存在振動，活齒的線位移為非零值，角位移為0，活齒在平面內(nèi)產(chǎn)生平移振動。當固有頻率為10重根3 015 113rad/s和11重根1 740 776rad/s時，活齒傳動只有部分嚙合活齒處于振動狀態(tài)，且對應的振動模態(tài)都是直線振動。

(a)ω31=2093 rad/s (b)ω39=347 066 rad/s(c)ω67=1 758 777 rad/s

(d)ω62=1 742 466 rad/s (e)ω47=1 740 776 rad/s(f)ω88=3 015 113 rad/s圖4　活齒傳動系統(tǒng)各振動模態(tài)圖

3.3參數(shù)對固有頻率的影響

改變系統(tǒng)的結構參數(shù)，分析結構參數(shù)對固有頻率的影響規(guī)律。圖5～圖7所示為固有頻率隨結構參數(shù)變化曲線。結構參數(shù)對中心輪靜止模態(tài)和嚙合活齒振動模態(tài)影響較小，因而未給出曲線，由圖5～圖7可得出以下結論：

(a)偏移量a的影響(b)活齒半徑r的影響

(c)活齒架支撐剛度kr的影響(d)波發(fā)生器支撐剛度ksz的影響圖5　系統(tǒng)全振動模態(tài)參數(shù)對固有頻率的影響

(a)偏移量a的影響(b)活齒半徑r的影響

(1)系統(tǒng)全振動模態(tài)中，31階、32階固有頻率都隨偏移量的增大而增大，隨活齒半徑的增大而減??；活齒架支撐剛度和波發(fā)生器支撐剛度對不同階固有頻率的影響不同，31階固有頻率隨支撐剛度增大而遞減，32階固有頻率隨支撐剛度增大而遞增，可見支撐剛度對不同階固有頻率的影響具有不確定性。

(2)波發(fā)生器平移振動模態(tài)中，偏移量對固有頻率的影響顯著，固有頻率隨偏移量的增大非線性減??；活齒半徑對固有頻率有一定影響，固有頻率與活齒半徑成正比；活齒架和波發(fā)生器支撐剛度對曲線變化的影響不明顯，對固有頻率的影響較小。

(a)偏移量a的影響(b)活齒半徑r的影響

(c)活齒架支撐剛度kr的影響(d)波發(fā)生器支撐剛度ksz的影響圖7　全部活齒平移振動模態(tài)參數(shù)對固有頻率的影響

(3)全部活齒平移振動模態(tài)中，偏移量和活齒半徑對固有頻率的影響較明顯，固有頻率隨偏移量的增大而增大，隨活齒半徑的增大而減??；活齒架和波發(fā)生器支撐剛度對固有頻率的影響不明顯。

4　實驗驗證

對樣機進行固有頻率測試，采用SZCJ錘擊法振動測試系統(tǒng)，在活齒傳動系統(tǒng)輸出軸處制作一個電容傳感器，通過對樣機施加激勵，使電容間隙發(fā)生改變，電容的改變經(jīng)過測試系統(tǒng)的信號處理后在計算機上顯示出固有頻率。振動測試系統(tǒng)如圖8所示。

圖8　振動測試系統(tǒng)

振動測試曲線如圖9所示，得到的共振頻率分別為375Hz、5534Hz、9771Hz、12 651Hz，對應的理論計算頻率分別為2 093rad/s(333Hz)、41 488rad/s(6606Hz)、60 582rad/s(9647Hz)、106 758rad/s(17kHz)。實驗結果和理論推導結果誤差分別為12.6%、16.2%、1.3%、25.6%，可看出前幾階固有頻率誤差較小，從而驗證了理論推導的正確性。

(a)0～500 Hz測試曲線

(b)0～15 kHz測試曲線圖9　振動測試頻率曲線

5　結語

本文在壓電驅(qū)動和活齒傳動的基礎上提出了機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)，建立了活齒傳動自由振動模型，推導了其動力學微分方程，求得了系統(tǒng)固有頻率及振型，分析了結構參數(shù)對固有頻率的影響，實驗驗證了固有頻率推導公式的正確性。結果表明：系統(tǒng)全振動模態(tài)隨結構參數(shù)的變化最為明顯，波發(fā)生器平移振動模態(tài)和全部活齒平移振動模態(tài)隨結構參數(shù)變化較小，中心輪靜止模態(tài)和嚙合活齒直線振動模態(tài)基本不隨參數(shù)變化；固有頻率對偏移量的變化最為敏感，偏移量是影響固有頻率的極其重要的參數(shù)。研究結果為機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)結構優(yōu)化及性能提高打下了理論基礎。

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(編輯陳勇)

Free Vibration of Oscillating Tooth Drive for an Electromechanical Integrated Harmonic Piezodrive System

Li ChongXu LizhongXing Jichun

Yanshan University,Qinhuangdao，Hebei，066004

An electromechanical integrated harmonic piezodrive system was proposed, which had the characteristics of low speed and high torque. The system output torque through oscillating teeth. The principles of the electromechanical integrated harmonic piezodrive system were discussed, the dynamic models and dynamic equations were set up. Frequency equations of free vibration of oscillating tooth were given and the natural frequencies and vibration modes were solved, and the impacts of parameters on natural frequencies were analyzed. These results provide basis for the improvement and the further research of the electromechanical integrated harmonic piezodrive system.

harmonic piezodrive; oscillating tooth drive; free vibration; modal analysis

2013-08-26

國家自然科學基金資助項目(51275441)

TH113.1DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.01.003

李沖，男，1988年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)。許立忠(通信作者)，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。邢繼春，男，1983年生。燕山大學機械工程學院講師。