周齊 黃少騫（華北理工大學(xué)理學(xué)院河北唐山063000）

高校相關(guān)系數(shù)授課的新思路

周齊 黃少騫
（華北理工大學(xué)理學(xué)院河北唐山063000）

針對目前高校統(tǒng)計專業(yè)方向關(guān)于相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)性存在的一些問題，指出了目前大部分教材對于相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性的介紹都存在相對混亂、界定不清的問題，本文由相關(guān)關(guān)系的定義，通過相關(guān)系數(shù)的內(nèi)涵，結(jié)合一定的定理與性質(zhì)，給出了相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性程度對應(yīng)的一套完整定義及評價體系，對厘清相關(guān)程度等概念具有較好的作用，同時也有利于高校教師的講解以及學(xué)生形成較為全面、合乎邏輯的知識體系。

相關(guān)系數(shù)相關(guān)性相關(guān)程度簡單相關(guān)系數(shù)

目前高校教材關(guān)于相關(guān)關(guān)系、相關(guān)系數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)都存在界定不清，表述相對混亂的情況，對教學(xué)效果，尤其是對學(xué)生的理解不能形成系統(tǒng)清晰的理解脈絡(luò)，本文就此問題，提出相關(guān)系數(shù)的一些講授思路：

首先，關(guān)于關(guān)系大致存在函數(shù)關(guān)系和相關(guān)系兩種，如下表：

表一：兩種關(guān)系

那么，接下來關(guān)于相關(guān)關(guān)系，從廣義上按類型可以分為如下：

這是從關(guān)系“形態(tài)“上進行的分類，稍后會指明，概率論中的相關(guān)系數(shù)等都是作為線性相關(guān)的量度，即本科階段關(guān)于相關(guān)關(guān)系的研究對象主要是線性相關(guān)。

從程度上劃分，可以分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)：

完全相關(guān) 當一個變量的數(shù)量完全由另一個變量的數(shù)量變化所確定時，二者之間即為完全相關(guān)。完全相關(guān)即為函數(shù)關(guān)系。不完全相關(guān) 如果兩個變量的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)。不相關(guān) 又稱零相關(guān)，當變量之間彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨立時，則變量之間為不相關(guān)。在這里，相當于概率論當中的“獨立”。

可以認為，這里對于完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)的表述給出的是完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)的定義。

過度到概率論中完全（線性）相關(guān)當一個變量的數(shù)量完全由另一個變量的數(shù)量變化線性確定時，二者之間即為完全（線性）相關(guān)。完全（線性）相關(guān)即為線性函數(shù)關(guān)系。不完全（線性）相關(guān)如果兩個變量的關(guān)系介于完全（線性）相關(guān)和不（線性）相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)。不（線性）相關(guān)又稱零（線性）相關(guān)，當變量之間彼此互不線性影響，則變量之間為不（線性）相關(guān)。

現(xiàn)在的問題是對于所給定的兩個總體，很難通過定性的定義進行判定，所以定義相關(guān)系數(shù)進行量化：

首先根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義和柯西—施瓦茨不等式可以得到如下定理：

由此定理基礎(chǔ)，“以概率一”和“充要性”，有理由做出如下定義，進行一次近似，完成完全線性相關(guān)的量化判定標準：

若隨機變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)p=1，則ξ和η完全線性相關(guān)/具有完全線性關(guān)系。

另外，根據(jù)相關(guān)系數(shù)本身的內(nèi)涵，還會定義：

若隨機變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)p=0，則稱ξ和η不線性相關(guān)。

注意：p=0并不意味著和不相關(guān)，只是不線性相關(guān)，有可能具有其他相關(guān)關(guān)系。

若隨機變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)絕對值［0.8，1］，則稱ξ和η高度線性相關(guān)。

若隨機變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)絕對值［0.5，0.8］，則稱ξ和η中度線性相關(guān)。

若隨機變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)絕對值［0.3，0.5］，則稱ξ和η低度線性相關(guān)。

若隨機變量ξ和η的相關(guān)系數(shù)絕對值［0，0.3］，則稱ξ和η線性相關(guān)程度極弱。

但是由于兩個總體之間的相關(guān)系數(shù)仍舊是不好求得的，所以保留量化的優(yōu)勢，進一步定義簡單相關(guān)系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)簡單相關(guān)系數(shù)具有性質(zhì)：

樣本相關(guān)系數(shù)等于一?樣本點在一條直線上

由此性質(zhì)基礎(chǔ)，結(jié)合樣本相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的極大似然估計，進行二次近似，可以定義：

若隨機變量ξ和η的樣本相關(guān)系數(shù)r=1，則ξ和η完全線性相關(guān)/具有完全線性關(guān)系。

同理可以有如下定義（在這里之所以寫成具有充要雙向的定義形式，為的是于總體相關(guān)系數(shù)的相關(guān)定義形成統(tǒng)一“整體齊性”）

若隨機變量ξ和η的樣本相關(guān)系數(shù)絕對值大于%5，則ξ和η高度顯著線性相關(guān)

若隨機變量ξ和η的樣本相關(guān)系數(shù)絕對值［1%，5%］，則ξ和η顯著線性相關(guān)

若隨機變量ξ和η的樣本相關(guān)系數(shù)絕對值小于1%，則ξ和η線性相關(guān)程度不明顯。

關(guān)于邊界等號的位置，在這里不在作為討論的重點。

若隨機變量ξ和η的樣本相關(guān)系數(shù)為零，則ξ和η不線性相關(guān)

在這里，主要是通過相關(guān)系數(shù)的內(nèi)涵，根據(jù)定理性質(zhì)采取人為定義的方式對相關(guān)性程度與相關(guān)系數(shù)值做出了對應(yīng)，國內(nèi)大部分教材都是沿續(xù)這一思路，國外的一些教材是從線性回歸模型的角度給出了另外形式的相關(guān)系數(shù)的定義式，根據(jù)相關(guān)系數(shù)具體取值對回歸方程的性態(tài)影響角度對應(yīng)相關(guān)性程度，可能在某種意義上規(guī)避了本文需要“近似”的弱點，更能貼近相關(guān)關(guān)系的定義，但國外思想涉及到回歸方程建立的思路角度，與我曾經(jīng)發(fā)過一篇論文《回歸分析與灰色預(yù)測的比較與聯(lián)合應(yīng)用》不是一致的，所以放棄了國外思想。

［1］陳希孺，何聲武.不獨立和不相關(guān)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計，1996，02：193-195.

［2］蔡軍.關(guān)于不相關(guān)和不獨立問題的幾點注記［J］.揚州師院學(xué)報（自然科學(xué)版），1999，03：45-50.

［3］章舜仲，王樹梅.相關(guān)系數(shù)矩陣與多元線性相關(guān)分析［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，01：195-199.

［4］楊聞起.強線性相關(guān)與弱線性無關(guān)［J］.寶雞文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，02：1-3.

［5］李秀敏，江衛(wèi)華.相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性度量［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2006，12：199-192.