張 琳，邵富群，周 明

（東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧　沈陽　110004）

基于自適應(yīng)步長雙參數(shù)正則化算法的超聲波過程層析成像圖像重建

張 琳，邵富群，周 明

（東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧沈陽110004）

提出了一種新的自適應(yīng)步長雙參數(shù)正則化算法，對超聲波層析成像系統(tǒng)檢測漿體濃度分布進(jìn)行圖像重建。該算法利用轉(zhuǎn)換矩陣將超定解作為先驗(yàn)信息，嵌入到正則化泛函中，避免重建圖像被過度平滑，不僅成像速度較快且重建圖像具有較高分辨率。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于Tikhonov正則化算法以及Landweber算法，自適應(yīng)步長雙參數(shù)正則化算法重建圖像的相關(guān)系數(shù)有明顯提高并且邊界信息更加可靠。

計(jì)量學(xué)；超聲波過程；自適應(yīng)步長；雙參數(shù)正則化算法；先驗(yàn)信息；層析成像；圖像重建

1　引言

Tikhonov正則化算法是一種解決過程層析成像中圖像重建問題的有效方法，因其計(jì)算速度較快而適用于各種實(shí)時(shí)性要求較高的過程層析成像系統(tǒng)。由于層析成像反問題的系數(shù)矩陣是稀疏矩陣且嚴(yán)重病態(tài)，而Tikhonov正則化算法的泛函過于平滑，無法有效表征信號的稀疏性，導(dǎo)致重建圖像的邊界模糊不清［1，2］，使得在圖像重建過程中容易丟失高頻信息。為此，本文在Tikhonov正則化算法思想基礎(chǔ)上提出一種自適應(yīng)步長雙參數(shù)正則化算法（Adapted Step Two-parameter Regularization，ASTPR），并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。

2　超聲波層析成像基本原理

如圖1所示，在半徑為200 mm圓形管道的管壁上等間距安裝20個(gè)收發(fā)兩用的150°扇形超聲波換能器。如果將換能器發(fā)出某一頻率下的超聲波近似看成平面波，根據(jù)聲學(xué)原理，當(dāng)超聲波通過介質(zhì)時(shí)的振幅變化滿足如下關(guān)系：

式中，I0為超聲波入射介質(zhì)前的幅值，I為超聲波行進(jìn)距離為l后的出射幅值。a（x，y）為聲路上任一點(diǎn)超聲波衰減系數(shù)的函數(shù)，dl為聲路上的微元。

兩邊取對數(shù)后令P=∫a（x，y）dl，則式（1）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

圖1　換能器陣列系統(tǒng)

把變量P稱之為超聲波聲束在直線l方向上的投影。在投影數(shù)量為m的條件下，如果將所研究的圓形場域剖分n個(gè)三角單元，并且認(rèn)為每個(gè)三角單元內(nèi)介質(zhì)濃度是一致的，也就得到了介質(zhì)分布和投影的關(guān)系式。如果用aj表示第j個(gè)三角單元的衰減系數(shù)，lij表述第i條投影經(jīng)過第j個(gè)三角單元的聲路長度，可得到如下線性方程組：

為計(jì)算方便，令：

則線性方程組（3）轉(zhuǎn)化為：

在以往的研究中，有很多算法求解上述方程組問題，如，Tikhonov正則化算法［3］，Landweber迭代算法［4］，遺傳算法［5］，模擬退火算法［6］，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［7］，總變差正則化算法［8］等。其中，Tihkonv正則化算法計(jì)算速度快并能得到較好的近似解。經(jīng)典Tikhonov正則化方法的泛函為：

為使式（5）極小化，令：

得正則化解：

由Hansen于1992年提出的L曲線法是選擇正則化參數(shù)最具代表性的方法。所謂L曲線是指以（log10‖X‖2，log10‖AXλ-Y‖2）為點(diǎn)坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中所構(gòu)成的曲線，因?yàn)榍€形狀大多呈L形，故稱之為L曲線法［9～11］。

3　自適應(yīng)步長雙參數(shù)正則化算法

如圖2所示，首先將研究的圓形場域剖分為少于投影數(shù)據(jù)數(shù)量的三角形單元。根據(jù)關(guān)系式（3）建立如下超定方程組：

式（8）的最小二乘解為：

然后，對場域進(jìn)行更細(xì)致的剖分。具體做法是用圖2中三角的單元各邊中點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)將圖2中每個(gè)三角單元重新剖分為4個(gè)等面積三角單元，并根據(jù)關(guān)系式（3）建立如下欠定線性方程組：

通過對兩次剖分關(guān)系的分析可知，圖3中4個(gè)小三角單元濃度值之和應(yīng)接近圖2中所對應(yīng)的大三角單元濃度值的4倍。利用X1與X之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換矩陣C將X1作為求解X的先驗(yàn)信息嵌入到正則化泛函中，最終構(gòu)造出ASTPR泛函：

式中，λ1，λ2為正則化參數(shù)，A為系數(shù)矩陣，X為解向量，Y為投影向量，X1為方程（8）的解向量，矩陣C為X與X1對應(yīng)位置關(guān)系轉(zhuǎn)換矩陣。ASTPR泛函比Tihkonv正則化算法泛函多出λ2‖CX-4X1‖2一項(xiàng)，當(dāng)λ2=0時(shí)，ASTPR算法等同于Tihkonv正則化算法。因此，Tihkonv正則化算法是ASTPR算法特例。

圖2　超定剖分圖

圖3　欠定剖分圖

為使式（11）極小化，令：

得正則化解：

因?yàn)锳是嚴(yán)重病態(tài)的，所以X中元素不再處于合理衰減系數(shù)范圍內(nèi)。為此，本文提出解元素適用比率這一新概念來解決尋找最優(yōu)正則化參數(shù)問題。解元素適用比率簡稱為解適用率，在此用字母ρ表示。其定義是：解向量X中處于合理衰減系數(shù)范圍內(nèi)元素的個(gè)數(shù)與解向量X元素總數(shù)的比值。解適用率ρ是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)，解適用率ρ的值越大說明解向量中合理元素成分越多。

圖4　解適用率曲面

令相關(guān)系數(shù)：

圖5　相關(guān)系數(shù)曲面

由于對于任意給定的λ1，ρ都是關(guān)于λ2的多峰函數(shù)，這為搜索到帶來了很大的困難。為此，本文通過對解適用率曲面的觀察后提出了快速搜索到的策略。由于λ對ρ和CC的變化影響不大且1對于任意的λ1總存在對應(yīng)的，所以確定前先任意給定λ2，當(dāng)‖AX-Y‖取得極小時(shí)確定。此后λ1固定為不變，這就將雙參數(shù)搜索問題變?yōu)閱螀?shù)搜索問題。

4　仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

從圖1換能器陣列系統(tǒng)中得到的投影數(shù)量為128。在第一次剖分中將圓形場域剖分為96個(gè)三角單元，第二次剖分將場域剖分為384個(gè)三角單元。黑色、深灰色和淺灰色分別表示漿體質(zhì)量濃度百分比為70％（高）、50％（中）和30％（低）3個(gè)濃度等級，白色代表純水的區(qū)域。圖6、圖7、圖8、圖9分別給出在（a）、（b）、（c）、（d）4種模型下的標(biāo)準(zhǔn)圖像、Tihkonv正則化算法、Landweber迭代算法和ASTPR算法的成像結(jié)果。

從圖7，圖8，圖9三種算法對模型（a）重建圖像的對比中可以看出，ASTPR對小占空比漿體分布的分辨能力要明顯高于Tikhonov正則化算法和Landweber迭代算法。從對模型（b）、（c）的重建圖像對比中可以看出，ASTPR算法得到的重建圖像在漿體區(qū)域位置，漿體區(qū)域邊界，以及漿體區(qū)域濃度3項(xiàng)對比中也明顯優(yōu)于正則化算法和Landweber迭代算法。最后，在表1中對3種算法對模型（a）、（b）、（c）重建圖像的相關(guān)系數(shù)做出了比較。

表1　相關(guān)系數(shù)

5　結(jié)論

圖6　標(biāo)準(zhǔn)圖像

本文在雙參數(shù)正則化算法的基礎(chǔ)上針對殘差曲面和解適用率曲面特性提出了自適應(yīng)步長正則化算法（ASTPR）。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于Tihkonv正則化算法和Landweber迭代算法，ASTPR算法對小占空比漿體分布具有更高的分辨力。所得重建圖像不僅在漿體區(qū)域的位置、濃度和邊緣信息對比中具有明顯優(yōu)勢而且相關(guān)系數(shù)也明顯高于前兩者，充分驗(yàn)證了ASTPR算法的有效性。

圖7　Tihkonv正則化算法重建圖像

圖8　Landweber迭代算法重建圖像

圖9　ASTPR算法重建圖像

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Image Reconstruction of Ultrasonic Process Tomography Based on Fast Two-parameter Regularization Algorithm

ZHANG Lin，SHAO Fu-qun，ZHOU Ming
（College of Information Science and Engineer Northeast University，Shenyang，Liaoning 110004，China）

A new adapted step two-parameter regularization algorithm is presented to reconstruct image in ultrasound tomography system for detecting distribution of slurry concentration.The overdetermined solution，as a priori information，is embedded into the regularization function by using the transition matrix for accelerate reconstruction.Higher space resolution is achieved and the over-smoothing deficiency of the reconstruction can be avoided effectively.The simulation results show that，compared to Tikhonov regularization algorithm and Landweber algorithm，the correlation coefficient of the reconstructed image by using SATPR are significantly improved and the boundary information of image is more reliable.

Metrology；Ultrasound progress；Adapted step；Two-parameter regularization algorithm；Priori information；Tomography；Image reconstruction

TB937

A

1000-1158（2015）01-0048-06

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.01.11

2012-09-29；

2013-12-24

張琳（1980-），男（滿族），遼寧沈陽人，博士，東北大學(xué)博士生導(dǎo)師，主要從事超聲波層析成像算法研究。zhanglin158158@163.com