郭爭昊 戴依墨

摘 要：本文通過對給出的統(tǒng)計數據建立相應的數學模型，揭示了SARS對北京市旅游業(yè)造成的巨大影響，同時也預測了這種影響何時將會完全消除。

關鍵詞：季節(jié)趨勢;預測;數學模型;季節(jié)指數

在2003年全國大學生數學建模競賽A題第（3）小題中，要求根據北京市1997年1月至2003年8月的北京市接待的海外旅游人數，建立相應的數學模型，預測SARS疫情對北京市旅游人數造成的影響。本文根據所提供的數據的特點，采用平均趨勢整理法，僅從來京旅游的海外人數的變化上，分析了SARS對北京市旅游業(yè)造成的巨大影響，同時根據給出的數據也估計出了北京市旅游業(yè)何時將徹底擺脫SARS造成的影響，使得來京旅游的海外人數將趨于正常。

一、問題的提出

根據上表給出的數據，建立相應的數學模型并進行預測。分析SARS對北京市旅游業(yè)造成的影響以及北京市的旅游業(yè)何時將趨于正常。

二、問題的分析

從表1給出的數據可以看出，1997～2002年的數據明顯呈周期性的變化規(guī)律，其中周期為一年，且在不同年份的相同月份，來京旅游的海外人數是呈穩(wěn)定增長趨勢的。根據數據的這些特點，我們將建立平均數趨勢整理法，結合1997～2002年給出的數據，預測2003年1～8月份來冰旅游的海外人數，同時跟實際人數比較，通過這幾個月來京旅游的海外人數的變化，可大概得出SARS對北京市旅游業(yè)造成的影響。另外，由表1中2003年1～8月份的數據可看出，前三個月的數據基本是正常的，因此它們不受SARS的影響。從四月份開始，數據的變化明顯是受SARS的影響，并且這些數據的變化規(guī)律明顯呈二次曲線的變化趨勢，故我們對這些數據建立它的二次曲線預測模型，來估計2003年哪個月份來京旅游的海外人數將趨于正常水平，擺脫SARS的影響。

三、模型的建立

1.趨勢季節(jié)預測模型

我們使用平均數趨勢整理法來建立預測模型。所謂平均數趨勢整理法是先對歷史資料中各年同月或同季的數據求出平均數，再利用所求出的平均數，消除其中的趨勢成分，求出季節(jié)指數，最后建立趨勢季節(jié)模型進行預測的方法。

以下我們用N表示年份數（即周期數），y1，y2，…yt-1，yt表示表1中1997～2003年各月份的數據，即時間序列，其中12N。

（1）求各年份同月平均數

我們以ri表示各年份第i個月的同月平均數，則有

（2）求各年份的月平均數

我們以Yj表示第j（j=1，2…，N）年的月平均數，則有

（3）建立趨勢直線模型，求各趨勢值

首先根據各年的月平均數，建立年趨勢直線模型：T=a+bt

（t以年為單位）?？捎米钚《朔▉砉烙嬈渲袇礱，b，并取序列{Yj}的中點年作為時間原點（若N為偶數，則取年作為時間原點）。

然后我們再將此模型轉化為原點年的月趨勢直線模型：=a0+b0t（t以月為單位），式中a0=a+，b0=。它們分別為新原點的月趨勢值和每月的增量，利用此月趨勢直線模型便可求得原點年份各月份的趨勢值，設分別為：1，2，…，12。

（4）求季節(jié)指數

我們先計算同月平均數與原點年該月的趨勢值的比值，以fi（i=1，2，3，…，12）表示。再消除數據的隨機干擾，經修正后便可得到季節(jié)指數Fi（i=1，2，…，12）。

fi=（i=1，2，…，12）

Fi=fi·θ （i=1，2，…，12. θ為修正系數）。

（5）計算預測值

首先我們用月趨勢直線模型來求月份的趨勢值：t=a0+b0t;其次，建立趨勢季節(jié)預測模型：=（a0+b0i）Fi

（i=1，2，…，12），利用此預測模型便可求得各預測值。

2.二次拋物線預測模型

從表1給出的2003年4月份至8月份的數據可以看出，由于受到SARS的影響，它明顯呈先減速后增的趨勢，具有拋物線的性質，因此我們對其建立二次拋物線模型，來預測2003年8月份以后各月份海外來京旅游人數。二次拋物線預測模型為yt=a+bt+ct2，其中a，b，c為參數，t為時間變量，表示月份。同樣，我們可以用最小二乘法來估計式中的參數a，b，c。

四、問題的求解

1.趨勢季節(jié)預測模型的求解

根據表1給出的數據，我們可分別求出趨勢季節(jié)預測模型中的各值，結果如以下表2所示：

表2 趨勢季節(jié)模型各月趨勢值、季節(jié)指數計算表

月份

年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均數

1997 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 19.1

1998 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 18.1

1999 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 20.8

2000 11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 24.4

2001 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 24.8

2002 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 30.4 32.6 29.2 22.9 27.1

同月平均數 10.95 19.7 18.9 23.6 24.4 22.8 22.5 27.5 27.0 28.1 24.6 18.9

各月趨勢值 21.57 21.72 21.87 22.02 22.17 22.32 22.47 22.62 22.77 22.92 23.07 23.22

比值 0.507 0.907 0.864 1.072 1.101 1.022 1.001 1.216 1.186 1.226 1.066 0.814

季節(jié)指數 0.508 0.909 0.848 1.074 1.103 1.024 1.003 1.218 1.888 1.228 1.099 0.832

根據最小二乘法，且分別取1997、1998、1999、2000、2001、2002的時間t分別為-3、-2、-1、0、1、2，則可算得參數a=22.39，b=1.82，故我們可得年趨勢直線模型為T=22.39+1.82t。進一步我們可得：a0=22.47，b0=0.15。因此我們可得原點年（2000年）的月趨勢直線模型為：=22.47+0.15t。此模型以7月為原點，則t分別取-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，便可得原點年1—12月的月趨勢值（如表2所示）。

另外，我們可出公式fi=（i=1，2，…，12）可得各比值（見表2）。

一般來講，12個月的季節(jié)指數的平均數應為1，12個月的季節(jié)指數之和應為12，但是表2中的比值之和卻為：Σ fi=11.982，因此，我們需要對它們進行修正。為此，先求修正系數θ。

再用此系數分別乘以表2中的各比值，即為各季節(jié)指數Fi（如表2所示）。

最后，根據趨勢季節(jié)預測模型，我們可預測得到2003年各月份的海外來京旅游人數分別為

1=（22.47+0.15×30）×0.508=13.7

2=（22.47+0.15×31）×0.909=24.7

3=（22.47+0.15×32）×0.848=23.1

4=（22.47+0.15×33）×1.074=29.4

5=（22.47+0.15×34）×1.103=30.4

6=（22.47+0.15×35）×1.024=28.4

7=（22.47+0.15×36）×1.003=28.0

8=（22.47+0.15×37）×1.218=34.1

9=（22.47+0.15×38）×1.888=53.2

10=（22.47+0.15×39）×1.228=34.8

11=（22.47+0.15×40）×1.099=31.8

12=（22.47+0.15×41）×0.832=23.8

通過分析比較實際的數據與預測的數據，尤其是4月份至8月份的數據，我們可以看到，由于受到SARS的影響，實際上2003年4月份至8月份的數據分別為：11.6、1.87、2.61、8.8、16.2，而按到正常情況下，它應當和我們預測的數據差不多，這幾個月預測的數據分別為：29.4、30.4、28.4、28.0、34.1。因此我們得到如下結論：由于SARS的影響，這幾個月來京旅游的海外人數呈現急劇下降的態(tài)勢，特別是5、6、7三個月，可見SARS對北京市旅游業(yè)的影響是非常嚴重的。另外，根據1至3月份的預測數據可以看出，用季節(jié)趨勢預測模型去刻畫表1中的數據還是比較精確的。

2.二次拋物線預測模型的求解

根據表1給出的2003年各月的數據，使用最小二乘法，可以估計出二次拋物線預測模型yt=a+bt+ct2中的各參數分別為：a=27.0259，b=-6.7477，c=0.6064。因此可得以上模型為yt=27.0529-6.7477t+0.6064t2

我們分別令t=9，10，11，12，則可得到2003年9、10、11、12這四個月份的預測數據為：y9=15.4，y10=20.2，y11=26.2，y12=33.4。

從這些數據可以看出，這四個月來京旅游的海外人數呈現恢復性增長，到11月份已基本上恢復正常了，這與事實也是比較相符的。

以上給出的兩個模型雖然只是針對北京市的情況，但它具有一般性，對于其他地方也具有較好的應用價值。

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