何軍

當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中許多教師沒(méi)能正確對(duì)待和利用學(xué)生的錯(cuò)誤，對(duì)“錯(cuò)誤”資源利用不夠，談“錯(cuò)”色變，或回避錯(cuò)誤，導(dǎo)致學(xué)生害怕錯(cuò)誤，面對(duì)錯(cuò)誤時(shí)不知所措，無(wú)法用新的思路去思考問(wèn)題；或?qū)W(xué)生的錯(cuò)題缺乏詳細(xì)的分析和講解，簡(jiǎn)單機(jī)械地加以處理，不能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，從而影響數(shù)學(xué)成績(jī)的提高。

對(duì)錯(cuò)題實(shí)行問(wèn)卷調(diào)查

數(shù)學(xué)對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)是一門(mén)復(fù)雜的學(xué)科，因?yàn)閿?shù)學(xué)周密性很強(qiáng)，需要學(xué)生用心思考，認(rèn)真計(jì)算。所以有的學(xué)生做錯(cuò)題是不可避免的。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中犯錯(cuò)誤，是由于學(xué)生在重新建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中發(fā)生偏差的結(jié)果，它本身體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程。毛澤東在哲學(xué)著作里說(shuō)“錯(cuò)誤和教訓(xùn)常常教育了我們”，古人“吃一塹，長(zhǎng)一智”說(shuō)的也是這個(gè)道理。因此，教師害怕學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，甚至對(duì)錯(cuò)誤采取嚴(yán)厲禁止的態(tài)度是大可不必的。相反，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤，找出學(xué)生做錯(cuò)的原因，然后和學(xué)生一起討論，讓學(xué)生在“錯(cuò)誤”中思考，找出正確的答案。使他們面對(duì)錯(cuò)題時(shí)不再有懼怕的心理，真實(shí)體驗(yàn)失敗走向成功感受，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”，從而預(yù)防和減少學(xué)生犯錯(cuò)的幾率，幫助學(xué)生建構(gòu)好新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

筆者為了全面了解班里學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的態(tài)度，在任教的2個(gè)班級(jí)中做了一個(gè)問(wèn)卷調(diào)查，現(xiàn)將調(diào)查情況總結(jié)如下。

從調(diào)查數(shù)據(jù)可以看出，有相當(dāng)一部分學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，對(duì)錯(cuò)題不重視或重視不夠，或者雖然重視，但缺乏科學(xué)的學(xué)習(xí)策略，這嚴(yán)重影響了學(xué)習(xí)的效率。下面筆者結(jié)合自己在教學(xué)中遇到的問(wèn)題，談?wù)勛约涸阱e(cuò)題教學(xué)方面的幾點(diǎn)思考。

透析錯(cuò)因、深化概念理解

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，有很多定義、概念需要學(xué)生理解并牢記。但概念是抽象的，而在以往的教學(xué)中，很多老師上課給學(xué)生讀一遍，還有的老師讓學(xué)生背概念，這樣的教法是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷W(xué)生根本沒(méi)有深刻理解這些概念，在解題中也就沒(méi)有應(yīng)用概念和原理的能力。如果在形成概念的過(guò)程中能夠通過(guò)對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的原因的辨析，引導(dǎo)學(xué)生積極參與辨析糾錯(cuò)的全程，那么在側(cè)面和反面挖掘概念的屬性過(guò)程中，就能夠達(dá)到展示知識(shí)形成過(guò)程、促進(jìn)學(xué)生概念形成的目的，特別是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差的學(xué)生，能理解定義、概念型問(wèn)題，就可以克服其對(duì)數(shù)學(xué)概念模糊不清或理解不完整的現(xiàn)象。

例1.已知為奇函數(shù)，求的值。

這是一道典型的易錯(cuò)題，學(xué)生的習(xí)慣思維，筆者在實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)把形式改變一下：，從而另一個(gè)班級(jí)出現(xiàn)用的錯(cuò)誤的只有8人，但是計(jì)算不好的學(xué)生達(dá)到30人，不論是，還是計(jì)算不好，主要原因是學(xué)生對(duì)于奇函數(shù)定義的理解，忽視的適用范圍。基于大多數(shù)學(xué)生得到前面的錯(cuò)誤答案，為了讓學(xué)生從根本上認(rèn)識(shí)到自己所犯錯(cuò)誤，我設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：

①怎樣得到的？（由可得）

②奇函數(shù)就有？（奇函數(shù)，令）

③這對(duì)所有奇函數(shù)都成立嗎？若不是，舉出反例（不是，如）

④現(xiàn)在回頭思考問(wèn)題②，請(qǐng)分析另一位同學(xué)的答案。（若，由得到，若，利用，或用特殊值）

通過(guò)上述步步緊逼式的問(wèn)題，不難理解：若，一定有，而若，又為奇函數(shù)，則一定有，通過(guò)設(shè)問(wèn)、追問(wèn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“追其因、探其根、明其錯(cuò)”的過(guò)程，讓學(xué)生在思考、探究中理解概念，解決問(wèn)題，形成能力，使得學(xué)生以后在對(duì)于概念的理解和識(shí)記上會(huì)更加的留心。

分析錯(cuò)解，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，我們往往會(huì)遇到表面看似正確實(shí)則錯(cuò)誤的結(jié)論。對(duì)于這類(lèi)錯(cuò)題，我們只有進(jìn)一步分析和講解，才能讓學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)更周密。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)疑問(wèn)、提出疑問(wèn)并發(fā)表不同的觀(guān)點(diǎn)的能力。

正解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，從而只能取正?hào)。教學(xué)中必須要深化錯(cuò)題解析，這樣可以增強(qiáng)思維的免疫力和判斷力，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性。

編擬錯(cuò)題變式，挖掘思維深度

習(xí)題是檢查學(xué)生學(xué)習(xí)情況的一個(gè)手段，也是鍛煉學(xué)生思維的方法。要不被千變?nèi)f化的表象所迷惑，抓住本質(zhì)的東西，變式教學(xué)是一種有效的辦法。通?？梢詫?duì)一些易錯(cuò)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，使學(xué)生在多變的問(wèn)題中受到磨練，舉一反三，加深理解。

例3.已知，分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，你能求嗎？

問(wèn)題拋出后，很快就有學(xué)生回答：原式，學(xué)生輕松給出結(jié)果并期待老師的肯定，但是這時(shí)有學(xué)生說(shuō)答案不對(duì)，我也很淡定的說(shuō)答案的確不對(duì)，你犯了個(gè)“美麗”的錯(cuò)誤，因?yàn)檫@道題大多數(shù)學(xué)生都會(huì)做錯(cuò)。接著給出正確解答：原式，然后給出變式：

①如何求？（原式）

②如何求？（原式）

經(jīng)過(guò)逐步分析之后，學(xué)生對(duì)于這種題型恍然大悟，再遇到此類(lèi)問(wèn)題就會(huì)信手拈來(lái)。通過(guò)一連串的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握可以很好的縱向延伸，可謂“一花引來(lái)萬(wàn)花開(kāi)，一題問(wèn)出萬(wàn)題來(lái)”。合理設(shè)計(jì)變式，可以幫助挖掘?qū)W生思維深度，從多角度思考和解決問(wèn)題。

“有意設(shè)錯(cuò)”培養(yǎng)學(xué)生的批判性

思維的批判性表現(xiàn)在有主見(jiàn)的評(píng)價(jià)事物，既不人云亦云，也不自以為是。 在教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)一些錯(cuò)誤迷惑學(xué)生，讓學(xué)生開(kāi)動(dòng)思維，激發(fā)學(xué)生探求新知的動(dòng)力，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性。

由于出現(xiàn)了不同的解法，有的學(xué)生認(rèn)為老師的解法是正確的，也有學(xué)生提出老師的解法是錯(cuò)誤的，于是同學(xué)們開(kāi)始相互討論，發(fā)表自己的見(jiàn)解，經(jīng)過(guò)大家的辯論認(rèn)為老師的解法不對(duì)，主要原因是對(duì)集合概念理解不到位，集合實(shí)質(zhì)是這個(gè)集合中有且僅有一個(gè)元素0，其有兩層意思，一方面是方程的根，另一方面方程有且僅有一個(gè)根，上述解法中只考慮到了第一層含義，可以驗(yàn)證方程 時(shí)，方程有兩個(gè)根，顯然與第二層含義不符。數(shù)學(xué)中每個(gè)公式、法則、定理都有它的來(lái)龍去脈，都有使它成立的前提條件，都有它特定的使用范圍，要做到言必有據(jù)，選擇一些習(xí)題讓學(xué)生先做，再針對(duì)學(xué)生思維中的漏洞進(jìn)行教學(xué)分析，對(duì)學(xué)生牢固掌握相關(guān)知識(shí)是大有益處的。

敢于質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維

要開(kāi)動(dòng)學(xué)生思維能力，就要讓學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)和解決自己或別人所未發(fā)現(xiàn)或未解決的問(wèn)題，這是素質(zhì)教育中特別提倡和強(qiáng)調(diào)的。在教學(xué)過(guò)程中，我們會(huì)做一些課外輔導(dǎo)材料，但這些教材中的解答會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，面對(duì)錯(cuò)誤，我們應(yīng)該找出原因：“錯(cuò)在哪里？如何改正？有幾種方式解答？“這樣能變廢為寶，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提高學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

例5.已知的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）

A.1 B.2 C.3 D.1或2或3

提供的解答：根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

在同一直角坐標(biāo)系下畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖所示），由圖可知，這兩個(gè)函數(shù)圖象只有2個(gè)交點(diǎn)，故答案選B。

如果迷信書(shū)本，以為書(shū)本一定對(duì)的，那就錯(cuò)了。事實(shí)上：特別地，取，由于的圖象除了在它們的對(duì)稱(chēng)軸上有一個(gè)交點(diǎn)，另外還有這兩個(gè)交點(diǎn)，因此的圖象就有3個(gè)交點(diǎn)，從而的圖象就有4個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)方程就有4個(gè)實(shí)數(shù)根，所以原題中無(wú)正確答案。

其題的病因是：誤認(rèn)為當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象將出現(xiàn)3個(gè)交點(diǎn)。

蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果茨基指出：“只有當(dāng)教學(xué)走在發(fā)展前面的時(shí)候，才是好的教學(xué)?！币簿褪钦f(shuō)，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)，再去教，才是高效的教學(xué)。筆者認(rèn)為錯(cuò)題教學(xué)就是糾正錯(cuò)誤、鞏固知識(shí)，讓學(xué)生正確地掌握知識(shí)。因此教師要善于利用錯(cuò)題資源，讓學(xué)生獨(dú)立思考解決，或通過(guò)老師、同學(xué)的幫助去解決問(wèn)題。這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還培養(yǎng)學(xué)生的自覺(jué)性，克服受暗示性和獨(dú)斷性。

（作者單位：江蘇省張家港市崇真中學(xué)）