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        向量優(yōu)化中(C,ε)-真解的一個非線性標量化特征

        2015-10-18 00:46:58夏遠梅林安趙克全
        關(guān)鍵詞:標量定理向量

        夏遠梅,林安,趙克全

        (重慶師范大學數(shù)學學院,重慶401331)

        向量優(yōu)化中(C,ε)-真解的一個非線性標量化特征

        夏遠梅,林安,趙克全

        (重慶師范大學數(shù)學學院,重慶401331)

        利用一類Minkowski型非線性標量化泛函及相應(yīng)的分離定理給出了向量優(yōu)化問題(C,ε)-真解的一個新的非線性標量化特征.此外,給出了一些例子對主要結(jié)果進行了解釋.

        向量優(yōu)化;(C,ε)-真解;非線性標量化

        1 引言

        近年來,近似解在向量優(yōu)化領(lǐng)域中扮演了十分重要的作用.到目前為止,一些學者已經(jīng)通過不同方式,借助不同工具提出了向量優(yōu)化問題的各種不同類型的近似解概念.特別地,文獻[1-2]利用co-radiant集引入了ε-有效解,這類新的近似有效解概念包含了許多近似解作為其特例.文獻[3]通過co-radiant集提出了一類新的近似真有效解概念-ε-真有效解,并獲得了這類近似真有效性的一些性質(zhì).在文獻[3]的基礎(chǔ)上,文獻[4]提出了一類新的(C,ε)-真有效解概念,指出在一定條件下這兩類近似真有效解概念是等價的,并給出了(C,ε)-真有效解的一些線性標量化特征.此外,利用一些非線性標量化泛函及其相應(yīng)的分離定理,一些學者也已經(jīng)研究了向量優(yōu)化問題各類解的非線性標量化特征(見文獻[5-8]).

        受文獻[3-4,6]中研究工作的啟發(fā),本文利用Minkowski型非線性標量化泛函給出了向量優(yōu)化問題(C,ε)-真解的一個新特征并給出了一些具體例子對主要結(jié)果進行了解釋.

        2 預(yù)備知識

        假定X是實線性空間,Y是實Hausdorff拓撲線性空間,Rn是n維歐幾里得空間.對于非空集合A?Y,用int A,cl A,bd A和YA分別表示A的拓撲內(nèi)部、拓撲閉包、拓撲邊界和補集.A的生成錐定義為如果A滿足對任意的d∈A和α>1,αd∈A,則稱A是co-radiant集.此外,如果A∩(-A)?{0},則稱A是點的;如果int A≠?,則稱A是solid的;如果A≠?且A≠Y,則稱A是真的.設(shè)C?Y是真點solid co-radiant集.定義

        引理2.1[12]設(shè)C是solid凸集.則

        (i)C(0)+C(ε)?C(ε),?ε≥0;

        (ii)C(0)是solid凸錐;

        (iii)int(cl C(ε))=int C(ε),?ε>0.

        本文考慮下面的向量優(yōu)化問題:

        其中,f:X→Y,S?X且S≠?.基于真點錐D?Y定義的Y中的偏序“≤”為:

        定義2.1[12]設(shè)ε≥0.可行點稱為問題(VP)的弱C(ε)-有效解,如果

        問題(VP)的弱C(ε)-有效解全體記為WAE(f,C,ε).

        定義2.2[34]設(shè)ε≥0.可行點稱為問題(VP)的(C,ε)-真解,如果

        問題(VP)的(C,ε)-真解全體記為PAE(f,C,ε).

        本文將用到文獻[6]中提出的Minkowski型非線性標量化泛函φq,G:Y→R∪{±∞}:φq,G(y)=inf{s∈R|y∈sq-G},其中?≠G?Y,y∈Y且q∈Y.約定inf?=+∞.根據(jù)文獻[3]中的引理4.2,下面的分離定理是顯然的.

        引理2.2設(shè)C是真閉solid凸集且q∈int C.則對任意ε>0,φq,C(ε)(y)連續(xù)且滿足:

        3 (C,ε)-真解的一個非線性標量化特征

        本節(jié)首先給出一些例子表明文獻[3]中建立的(C,ε)-真解的非線性標量化定理的逆不一定成立.進而提出問題(VP)的(C,ε)-真解的兩個新的非線性標量化特征.

        文獻[3]中建立了下面的非線性標量化定理.

        定理3.1設(shè)C是真閉solid凸集,0?C,q∈int C且ε>0.則

        下面建立向量優(yōu)化問題(VP)的(C,ε)-真解的兩個新的非線性標量化特征.

        定理3.2設(shè)C是真solid凸集且q∈int C,ε≥0,β=inf{c∈R+|cq∈cl C(ε)}.則

        定理3.3設(shè)C是真solid凸集且q∈int C,ε≥0,β=inf{c∈R+|cq∈cl C(ε)}.如果C(0)是開集,則

        [1]Gutiérrez C,Jiménez B,Novo V.A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].SIAM Journal on Optimization,2006,17(3):688-710.

        [2]Gutiérrez C,Jiménez B,Novo V.On approximate efficiency in multiobjective programming[J].Mathematical Methods of Operations Research,2006,64(1):165-185.

        [3]Gao Ying,Yang Xinmin,Teo K L.Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):483-496.

        [4]Gutiérrez C,Huerga L,Novo V.Scalarization and saddle points of approximate proper solutions in nearly subconvexlike vector optimization problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(2):1046-1058.

        [5]Zaffaroni A.Degrees of efficiency and degrees of minimality[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2003,42(3):1071-1086.

        [6]G?pfert A,Tammer C,Riahi H,Z?linescu C.Variational Methods in Partially Ordered Spaces[M].New York:Springer-verlag,2003.

        [7]Tammer C,Z?linescu C.Lipschitz properties of the scalarization function and applications[J].Optimization,2010,59(2):305-319.

        [8]Flores-Bazán F,Hernández E.A unified vector optimization problem:complete scalarizations and applications[J].Optimization,2011,60(12):1399-1419.

        A nonlinear scalarization characterization of(C,ε)-proper solutions in vector optimization

        Xia Yuanmei,Lin An,Zhao Kequan

        (College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

        In this paper,a new nonlinear scalarization characterization of(C,ε)-proper solutions is obtained by means of a kind of Minkowski-type nonlinear scalarization functionals and the corresponding separation theorem for vector optimization problems.Some examples are given to illustrate the main results.

        vector optimization,(C,ε)-proper solutions,nonlinear scalarization

        O221.6

        A

        1008-5513(2015)05-0503-06

        10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.010

        2014-12-08.

        國家自然科學基金(11301574,11271391);第二批重慶市高等學校青年骨干教師資助計劃.

        夏遠梅(1990-),碩士生,研究方向:向量優(yōu)化理論及應(yīng)用.

        2010 MSC:90C29,90C30,90C46

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