夏遠梅，林安，趙克全

（重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331）

向量優(yōu)化中（C，ε）-真解的一個非線性標量化特征

夏遠梅，林安，趙克全

（重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331）

利用一類Minkowski型非線性標量化泛函及相應(yīng)的分離定理給出了向量優(yōu)化問題（C，ε）-真解的一個新的非線性標量化特征.此外，給出了一些例子對主要結(jié)果進行了解釋.

向量優(yōu)化；（C，ε）-真解；非線性標量化

1　引言

近年來，近似解在向量優(yōu)化領(lǐng)域中扮演了十分重要的作用.到目前為止，一些學者已經(jīng)通過不同方式，借助不同工具提出了向量優(yōu)化問題的各種不同類型的近似解概念.特別地，文獻［1-2］利用co-radiant集引入了ε-有效解，這類新的近似有效解概念包含了許多近似解作為其特例.文獻［3］通過co-radiant集提出了一類新的近似真有效解概念-ε-真有效解，并獲得了這類近似真有效性的一些性質(zhì).在文獻［3］的基礎(chǔ)上，文獻［4］提出了一類新的（C，ε）-真有效解概念，指出在一定條件下這兩類近似真有效解概念是等價的，并給出了（C，ε）-真有效解的一些線性標量化特征.此外，利用一些非線性標量化泛函及其相應(yīng)的分離定理，一些學者也已經(jīng)研究了向量優(yōu)化問題各類解的非線性標量化特征（見文獻［5-8］）.

受文獻［3-4，6］中研究工作的啟發(fā)，本文利用Minkowski型非線性標量化泛函給出了向量優(yōu)化問題（C，ε）-真解的一個新特征并給出了一些具體例子對主要結(jié)果進行了解釋.

2　預(yù)備知識

假定X是實線性空間，Y是實Hausdorff拓撲線性空間，Rn是n維歐幾里得空間.對于非空集合A?Y，用int A，cl A，bd A和YA分別表示A的拓撲內(nèi)部、拓撲閉包、拓撲邊界和補集.A的生成錐定義為如果A滿足對任意的d∈A和α＞1，αd∈A，則稱A是co-radiant集.此外，如果A∩（-A）?｛0｝，則稱A是點的；如果int A≠?，則稱A是solid的；如果A≠?且A≠Y，則稱A是真的.設(shè)C?Y是真點solid co-radiant集.定義

引理2.1［12］設(shè)C是solid凸集.則

（i）C（0）+C（ε）?C（ε），?ε≥0；

（ii）C（0）是solid凸錐；

（iii）int（cl C（ε））=int C（ε），?ε＞0.

本文考慮下面的向量優(yōu)化問題：

其中，f：X→Y，S?X且S≠?.基于真點錐D?Y定義的Y中的偏序“≤”為：

定義2.1［12］設(shè)ε≥0.可行點稱為問題（VP）的弱C（ε）-有效解，如果

問題（VP）的弱C（ε）-有效解全體記為WAE（f，C，ε）.

定義2.2［34］設(shè)ε≥0.可行點稱為問題（VP）的（C，ε）-真解，如果

問題（VP）的（C，ε）-真解全體記為PAE（f，C，ε）.

本文將用到文獻［6］中提出的Minkowski型非線性標量化泛函φq，G：Y→R∪｛±∞｝：φq，G（y）=inf｛s∈R|y∈sq-G｝，其中?≠G?Y，y∈Y且q∈Y.約定inf?=+∞.根據(jù)文獻［3］中的引理4.2，下面的分離定理是顯然的.

引理2.2設(shè)C是真閉solid凸集且q∈int C.則對任意ε＞0，φq，C（ε）（y）連續(xù)且滿足：

3?。–，ε）-真解的一個非線性標量化特征

本節(jié)首先給出一些例子表明文獻［3］中建立的（C，ε）-真解的非線性標量化定理的逆不一定成立.進而提出問題（VP）的（C，ε）-真解的兩個新的非線性標量化特征.

文獻［3］中建立了下面的非線性標量化定理.

定理3.1設(shè)C是真閉solid凸集，0?C，q∈int C且ε＞0.則

下面建立向量優(yōu)化問題（VP）的（C，ε）-真解的兩個新的非線性標量化特征.

定理3.2設(shè)C是真solid凸集且q∈int C，ε≥0，β=inf｛c∈R+|cq∈cl C（ε）｝.則

定理3.3設(shè)C是真solid凸集且q∈int C，ε≥0，β=inf｛c∈R+|cq∈cl C（ε）｝.如果C（0）是開集，則

［1］Gutiérrez C，Jiménez B，Novo V.A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems［J］.SIAM Journal on Optimization，2006，17（3）：688-710.

［2］Gutiérrez C，Jiménez B，Novo V.On approximate efficiency in multiobjective programming［J］.Mathematical Methods of Operations Research，2006，64（1）：165-185.

［3］Gao Ying，Yang Xinmin，Teo K L.Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems［J］.Journal of Industrial and Management Optimization，2011，7（2）：483-496.

［4］Gutiérrez C，Huerga L，Novo V.Scalarization and saddle points of approximate proper solutions in nearly subconvexlike vector optimization problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，389（2）：1046-1058.

［5］Zaffaroni A.Degrees of efficiency and degrees of minimality［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2003，42（3）：1071-1086.

［6］G?pfert A，Tammer C，Riahi H，Z?linescu C.Variational Methods in Partially Ordered Spaces［M］.New York：Springer-verlag，2003.

［7］Tammer C，Z?linescu C.Lipschitz properties of the scalarization function and applications［J］.Optimization，2010，59（2）：305-319.

［8］Flores-Bazán F，Hernández E.A unified vector optimization problem：complete scalarizations and applications［J］.Optimization，2011，60（12）：1399-1419.

A nonlinear scalarization characterization of（C，ε）-proper solutions in vector optimization

Xia Yuanmei，Lin An，Zhao Kequan

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

In this paper，a new nonlinear scalarization characterization of（C，ε）-proper solutions is obtained by means of a kind of Minkowski-type nonlinear scalarization functionals and the corresponding separation theorem for vector optimization problems.Some examples are given to illustrate the main results.

vector optimization，（C，ε）-proper solutions，nonlinear scalarization

O221.6

A

1008-5513（2015）05-0503-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.010

2014-12-08.

國家自然科學基金（11301574，11271391）；第二批重慶市高等學校青年骨干教師資助計劃.

夏遠梅（1990-），碩士生，研究方向：向量優(yōu)化理論及應(yīng)用.

2010 MSC:90C29，90C30，90C46