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        帶周期位勢平面薛定諤-泊松方程組的結(jié)點解

        2015-10-18 00:47:06郭文艷章國慶劉三陽
        關(guān)鍵詞:位勢薛定諤泊松

        郭文艷,章國慶,劉三陽

        (1.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海200093;2.西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)院,陜西西安710071)

        帶周期位勢平面薛定諤-泊松方程組的結(jié)點解

        郭文艷1,章國慶1,劉三陽2

        (1.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海200093;2.西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)院,陜西西安710071)

        利用臨界點理論中的虧格定理和Nehari流形技巧,本文證明了在二維全空間上一類帶周期位勢的薛定諤-泊松方程組高能量解的存在性,且該解存在無窮多個結(jié)點區(qū)域.更進一步,得到了其基態(tài)解的存在性且是不變號的.

        平面薛定諤-泊松方程組;周期位勢;結(jié)點解

        1 引言

        本文考慮如下帶周期位勢的平面薛定諤-泊松方程組:

        其中b<0,2<p<4,函數(shù)a(x)滿足條件:

        (A)a:R2→(0,∞)為Z2周期連續(xù)函數(shù),a(x)∈L∞(R2)且

        因薛定諤-泊松方程組來源于量子力學(xué)和半導(dǎo)體理論,研究它的解的存在性是一個具有物理意義的問題.近年來,許多學(xué)者進行了廣泛地討論.對于在三維全空間上的薛定諤-泊松方程組,當(dāng)b=0時,文獻[1-2]證明了基態(tài)解的存在性、多重性以及對稱性.當(dāng)b>0,2<p<6時,文獻[3]得到了解的存在性.當(dāng)b<0時,此時薛定諤-泊松方程組描述了液晶中的Hartree模型,文獻[4]討論了,當(dāng)時,存在無窮多個徑向解.對于在二維全空間上的薛定諤-泊松方程組的研究,現(xiàn)有文獻并不多見.文獻[5]利用打靶法,證明了解的存在唯一性;特別是,2014年,文獻[6]利用變分法得到了,當(dāng)b>0,p≥4時,問題(1)解的存在性與對稱性.

        本文討論在b<0,2<p<4時,問題(1)高能量解的存在性與變號性(即:其解存在無窮多個結(jié)點區(qū)域),并進一步證明了其基態(tài)解的存在性與不變號性.當(dāng)b<0時,此時在物理學(xué)上表示物質(zhì)具有“正能量”,研究其解是一個有意義的課題.此外,因為函數(shù)a(x)為Z2周期函數(shù),需要更精細的估計來得到其對應(yīng)的能量泛函滿足Cerami條件(緊性條件);利用Nehari流形技巧時,因為b<0,此時需要分析對應(yīng)能量泛函的性態(tài)(如:單調(diào)性等).另一方面,因為問題(1)的第二個方程的Green函數(shù)是變號的,這為利用變分法研究帶來困難.

        2 預(yù)備知識和主要結(jié)論

        本文的主要工具是虧格定理和Nehari流形,下面給出本文所需要的一些預(yù)備知識和引理.

        定義2.1[9]設(shè)D?Y是X的閉對稱子集,定義Y相對于D的虧格γD(Y),如果存在k,使得Y能被閉對稱子集U,V覆蓋,且滿足下列性質(zhì):

        (1)D?U且存在奇連續(xù)映射χ:U→D使得χ(u)=u,u∈D;

        (2)γ(V)≤k.

        若不存在上述覆蓋,則定義γD(Y)=∞.

        引理2.2[9]設(shè)D,Y,Z是X的閉對稱子集,且D?Y,則

        (1)(次可加性)γD(Y∪Z)≤γD(Y)+γ(Z);

        (2)若D?Z,且存在奇連續(xù)映射φ:Y→Z使得φ(u)=u,u∈D,則γD(Y)≤γD(Z).

        定義2.3[10]稱集合

        為泛函I的Nehari流形.如果u≠0為泛函I(u)的臨界點并且滿足則稱u為I的最小能量臨界點(即:問題(1)的基態(tài)解).

        定理2.4假設(shè)b<0,2<p<4,且a(x)滿足條件(A),則問題(1)存在高能量解(u,Φ),且u有無窮多個結(jié)點區(qū)域,即,存在結(jié)點解序列{±un}∈X,使得I(un)→∞(n→∞).

        定理2.5假設(shè)b<0,2<p<4,且a(x)滿足條件(A),則問題(1)存在基態(tài)解,且基態(tài)解是不變號的.

        3 Cerami條件

        為了利用虧格定理和Nehari流形技巧,首先要證明Cerami條件(緊性條件)成立.因為函數(shù)a(x)滿足條件(A),故泛函I在Z2變換下是不變的.對于函數(shù)u:R2→R,x∈R2,定義

        定理3.1設(shè){un}是X中的Cerami序列,即I(un)→d>0,,則存在子列{un},點列{xn}∈Z2,n∈N,使得在X中,有xn?un→u(n→∞).

        引理3.2若{tn}是[0,∞)中的有界序列,則I(tnun)≤I(un)+o(1)(n→∞).此外,若tn→0(n→∞),則

        定理3.1的證明

        4 主要定理的證明

        斷言1ck為泛函I的臨界值.事實上,假設(shè)存在k,使得Kck=?,則對每個ρ>0,有Ac,ρ=?.由文獻[6]中,引理4.6知,存在ε>0及奇連續(xù)映射η:Ick+ε→Ick-ε,使得η|D=id|D.這與ck定義矛盾.

        斷言2當(dāng)k→∞時,有ck→∞.事實上,假設(shè)當(dāng)k→∞時,有ck→c<∞.則由形變引理及(7)知,存在ρ,ε>0,使得γ(Ac,ρ)<∞,Ac,ρ∩D=?,并存在奇連續(xù)映射φ:Ic+εAc,ρ→Ic-ε滿足φ|D=id|D.因此,由c的定義知γD(Ic+εAc,ρ)≤γD(Ic-ε)<∞.此外,由引理2.2知,γD(Ic+ε)≤γD(Ic+εAc,ρ)+γ(Ac,ρ)<∞.這與對所有的k∈N,有c+ε>ck矛盾.

        綜合斷言1和斷言2可得,存在結(jié)點解序列{±uk}∈X,k∈N,使得

        引理4.1存在α>0,使得

        則對充分小的α>0,有inf{I′(u)u:u∈X:‖u‖=β}>0.

        引理4.2設(shè)u∈X{0},則函數(shù)φu:R→R,φu(t)=I(tu)為偶函數(shù),且滿足下列性質(zhì)

        定理2.5的證明斷言

        [1]Lieb E H.Existence and uniqueness of the minimizing solution of Choquard's nonlinear equation[J].Stud.Appl.Math.,1977,57:93-105.

        [2]Lions P L.Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems[J].Commun.Math.Phys.,1984,109:33-97.

        [3]Ambrosetti A.On Schr?dinger-Poisson systems[J].Milan Journal of Mathematics,2008,76:257-274.

        [4]Mugnai D.The Schr?dinger-Poisson system with positive potential[J].Commun.Partial Differ.Equ.,2013,36:1009-1117.

        [5]Choquard P,Stubbe J,Vuffray M.Stationary solutions of the Schr?dinger-Newton model-an ODE approach[J].Differ.Integral Equ.,2008,21:665-679.

        [6]Cingolani S,Weth T.On the planar Schr?dinger-Poisson system[J].Ann.I.H.Poincare-AN(2014).

        [7]Lieb E H.Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities[J].Ann.of Math.,1983,118:349-374.

        [8]J.Stubbe,Bound states of two-dimensional Schr?dinger-Newton equation[J].ArXiv:0807.4059,2008.

        [9]Clapp M,Puppe D.Critical point theory with symmetries[J].J.Reine Angew.Math.,1991,418:1-29.

        [10]Willem M.Minimax Theorems[M].//Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications,Vol.24.Birkh?user:Boston,1996.

        Nodal solutions for a class of planar Schr?dinger-Poisson systems with periodic potential

        Guo Wenyan1,Zhang Guoqing1,Liu Sanyang2
        (1.College of Sciences,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai200093,China;2.College of Mathematics and Statistics,Xidian University,Xi′an710071,China)

        In this paper,using genus theorem and Nehari manifold techniques in critical points theory,we prove the existence of high energy solutions for a class of Schr?dinger-Poisson systems with periodic potential in dimension two,and obtain that the solution has infinitely nodal domains.Furthermore,the existence of ground state solution is proved which does not change sign.

        Planar Schr?dinger-Poisson systems,periodic potential,nodal solutions

        O175.25

        A

        1008-5513(2015)05-0542-09

        10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.016

        2015-04-07.

        上海市自然科學(xué)基金(15ZR1429500);滬江基金(B14005);上海理工大學(xué)培育基金(15HJPYMS03).

        郭文艷(1991-),碩士生,研究方向:非線性泛函分析.

        2010 MSC:35J60,35J65

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