秦璇，蘇雅拉圖

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）

置換空間PXXn的范數(shù)k-粗性

秦璇，蘇雅拉圖

（內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）

利用Banach空間理論的方法，主要研究了k-粗性和k-強(qiáng)粗性從Banach空間Xn到置換空間PXXn上的提升問(wèn)題，證明了這兩種k-粗性都可以在置換空間PXXn上得到提升.

置換空間；k-粗范數(shù)；k-強(qiáng)粗范數(shù)；k-點(diǎn)態(tài)粗范數(shù)

1　引言

Banach的凸性與光滑性研究是Banach空間幾何學(xué)的主要研究對(duì)象之一.為了研究光滑性較差的Banach空間范數(shù)的性質(zhì)，文獻(xiàn)［1］提出并研究了粗范數(shù)這一概念，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［2］中引進(jìn)并討論了強(qiáng)粗范數(shù)這一概念，強(qiáng)粗范數(shù)是比粗范數(shù)更強(qiáng)的概念，即具有強(qiáng)粗范數(shù)的Banach空間的光滑性要比具有粗范數(shù)的Banach空間的光滑性差.這兩個(gè)概念在刻畫(huà)光滑性較差的Banach空間特征時(shí)起到了重要作用，它們也成為了研究光滑性較差的Banach空間的有力工具.文獻(xiàn)［3］中進(jìn)一步研究了粗范數(shù)和強(qiáng)粗范數(shù)的特征刻畫(huà)及性質(zhì)，完善了光滑性較差的Banach空間的研究.為了研究光滑性更差的Banach空間范數(shù)的性質(zhì)，文獻(xiàn)［4-5］作為粗范數(shù)和強(qiáng)粗范數(shù)的相應(yīng)推廣引入了k-粗范數(shù)與k-強(qiáng)粗范數(shù)（k=1時(shí)，1-粗范數(shù)與1-強(qiáng)粗范數(shù)分別等價(jià)于粗范數(shù)與強(qiáng)粗范數(shù)），研究了k-粗范數(shù)與k-強(qiáng)粗范數(shù)，并把k-粗性和k-強(qiáng)粗性提升到了Banach序列空間lp（Xi）.文獻(xiàn)［6］于1977年引入的置換空間是包含lp（Xi）在內(nèi)的更廣泛的一類(lèi)Banach空間，于是本文考慮了k-粗性和k-強(qiáng)粗性在置換空間PXXn上的提升問(wèn)題，并對(duì)此問(wèn)題得到了肯定的回答.

本文中，X表示Banach空間，S（X）和S（X?）分別表示X及X?的單位球面，對(duì)x∈X，令∑（x）=｛f∈S（X?）：f（x）=‖x‖｝，對(duì)x1，x2，···，xk+1∈S（X），令

2　定義及引理

定義2.1［4］Banach空間X的范數(shù)稱(chēng)為k-粗的，若存在ε＞0，使?x∈S（X），f∈∑（x）和δ＞0，存在y1，···，yk∈S（X）及gi∈∑（yi），i=1，···，k，使得當(dāng)‖yi-x‖＜δ時(shí)，有A（f，g1，g2，···，gk）≥ε.

定理2.1［4］Banach空間X的范數(shù)是k-粗的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x∈S（X），存在ε＞0和fn1，···，fnk+1∈S（X?），使得當(dāng)

定理2.2［5］Banach空間X的范數(shù)稱(chēng)為k-強(qiáng)粗的，若存在ε＞0，使?x∈S（X），f，g1，g2，···，gk∈∑（x），有

定理2.3［4］設(shè)X是Banach空間，x∈S（X）稱(chēng)為范數(shù)的k-粗糙點(diǎn)，若存在ε＞0，使?f∈∑（x）和δ＞0，存在y1，···，yk∈S（X）及gi∈∑（yi），i=1，···，k，滿(mǎn)足

定義2.1［4］Banach空間X的范數(shù)稱(chēng)為k-點(diǎn)態(tài)粗的，若S（X）的點(diǎn)是范數(shù)的k-粗糙點(diǎn).

定義2.2［7］設(shè)X是有超正交基（xn）的空間，（Xn）是一列Banach空間，令

引理2.1［7］如果X有超正交基（xn），且（xn）的共軛序列是（X?）的基，則（x?n）是（X?）的超正交基且（PXXn）?等距同構(gòu)于PX?X?n，即

3　主要結(jié)果

定理3.1 Xn的范數(shù)是k-粗的當(dāng)且僅當(dāng)PXXn的范數(shù)是k-粗的.

定理3.2 Xn的范數(shù)是k-強(qiáng)粗的當(dāng)且僅當(dāng)PXXn的范數(shù)是k-強(qiáng)粗的.

證明充分性是顯然的.

定理3.3Xn的范數(shù)是k-點(diǎn)態(tài)粗的當(dāng)且僅當(dāng)PXXn的范數(shù)是k-點(diǎn)態(tài)粗的.

證明證法與定理3.1類(lèi)似.

［1］Leach E B，Whitfield J H M.Differentiable functions and rough norms on Banach spaces［J］.Proc.A.M.S，1972，33：120-126.

［2］John K，Zizler V.On rough norms on Banach spaces［J］.Comment.Math.Univ.Carolinae，1978，19：335-349.

［3］Godini G.Rough and strongly rough norms on Banach spaces［J］.Proc.of the Amer.Math.Soc.，1983，87：239-245.

［4］義徳日胡，蘇雅拉圖.Banach空間范數(shù)的k-點(diǎn)態(tài)粗性和k-粗性［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（4）：553-558.

［5］義徳日胡，蘇雅拉圖，李婷婷.Banach序列空間的范數(shù)粗性［J］.寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，3（8）：6-9.

［6］Partington J R.On the Banach-Saks property［J］.Proc.Cambridge Philos.Soc.，1977，82：369-374.

［7］束立生，王建華.置換空間的一些性質(zhì)［J］.南京大學(xué)學(xué)報(bào)：數(shù)學(xué)半年刊，1994，11（1）：50-58.

The k-roughness on substitution space PXXn

Qin Xuan，Suyalatu

（College of Mathematics Sscience，Inner Mongolia Normal University，huhhot 010022）

Based on the method of Banach space theory，the lifting results of k-roughness and k-strongly roughness from Banach space Xnto substitution space PXXnare researched mainly.These two k-roughness are improved on substitution space PXXn.

substitution space，k-rough norm，k-strongly rough norm，k-pointwise rough norm

O178

A

1008-5513（2015）05-0518-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.012

2015-05-09.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11561053）；內(nèi)蒙古師范大學(xué)人才工程基金（RCPY-2-2012-K-034）.

秦璇（1991-），碩士生，研究方向：Banach空間理論.

2010 MSC:46B25