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        置換空間PXXn的范數(shù)k-粗性

        2015-10-18 00:47:02秦璇蘇雅拉圖
        關(guān)鍵詞:雅拉范數(shù)內(nèi)蒙古

        秦璇,蘇雅拉圖

        (內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010022)

        置換空間PXXn的范數(shù)k-粗性

        秦璇,蘇雅拉圖

        (內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010022)

        利用Banach空間理論的方法,主要研究了k-粗性和k-強(qiáng)粗性從Banach空間Xn到置換空間PXXn上的提升問題,證明了這兩種k-粗性都可以在置換空間PXXn上得到提升.

        置換空間;k-粗范數(shù);k-強(qiáng)粗范數(shù);k-點(diǎn)態(tài)粗范數(shù)

        1 引言

        Banach的凸性與光滑性研究是Banach空間幾何學(xué)的主要研究對象之一.為了研究光滑性較差的Banach空間范數(shù)的性質(zhì),文獻(xiàn)[1]提出并研究了粗范數(shù)這一概念,在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[2]中引進(jìn)并討論了強(qiáng)粗范數(shù)這一概念,強(qiáng)粗范數(shù)是比粗范數(shù)更強(qiáng)的概念,即具有強(qiáng)粗范數(shù)的Banach空間的光滑性要比具有粗范數(shù)的Banach空間的光滑性差.這兩個概念在刻畫光滑性較差的Banach空間特征時起到了重要作用,它們也成為了研究光滑性較差的Banach空間的有力工具.文獻(xiàn)[3]中進(jìn)一步研究了粗范數(shù)和強(qiáng)粗范數(shù)的特征刻畫及性質(zhì),完善了光滑性較差的Banach空間的研究.為了研究光滑性更差的Banach空間范數(shù)的性質(zhì),文獻(xiàn)[4-5]作為粗范數(shù)和強(qiáng)粗范數(shù)的相應(yīng)推廣引入了k-粗范數(shù)與k-強(qiáng)粗范數(shù)(k=1時,1-粗范數(shù)與1-強(qiáng)粗范數(shù)分別等價于粗范數(shù)與強(qiáng)粗范數(shù)),研究了k-粗范數(shù)與k-強(qiáng)粗范數(shù),并把k-粗性和k-強(qiáng)粗性提升到了Banach序列空間lp(Xi).文獻(xiàn)[6]于1977年引入的置換空間是包含lp(Xi)在內(nèi)的更廣泛的一類Banach空間,于是本文考慮了k-粗性和k-強(qiáng)粗性在置換空間PXXn上的提升問題,并對此問題得到了肯定的回答.

        本文中,X表示Banach空間,S(X)和S(X?)分別表示X及X?的單位球面,對x∈X,令∑(x)={f∈S(X?):f(x)=‖x‖},對x1,x2,···,xk+1∈S(X),令

        2 定義及引理

        定義2.1[4]Banach空間X的范數(shù)稱為k-粗的,若存在ε>0,使?x∈S(X),f∈∑(x)和δ>0,存在y1,···,yk∈S(X)及gi∈∑(yi),i=1,···,k,使得當(dāng)‖yi-x‖<δ時,有A(f,g1,g2,···,gk)≥ε.

        定理2.1[4]Banach空間X的范數(shù)是k-粗的當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x∈S(X),存在ε>0和fn1,···,fnk+1∈S(X?),使得當(dāng)

        定理2.2[5]Banach空間X的范數(shù)稱為k-強(qiáng)粗的,若存在ε>0,使?x∈S(X),f,g1,g2,···,gk∈∑(x),有

        定理2.3[4]設(shè)X是Banach空間,x∈S(X)稱為范數(shù)的k-粗糙點(diǎn),若存在ε>0,使?f∈∑(x)和δ>0,存在y1,···,yk∈S(X)及gi∈∑(yi),i=1,···,k,滿足

        定義2.1[4]Banach空間X的范數(shù)稱為k-點(diǎn)態(tài)粗的,若S(X)的點(diǎn)是范數(shù)的k-粗糙點(diǎn).

        定義2.2[7]設(shè)X是有超正交基(xn)的空間,(Xn)是一列Banach空間,令

        引理2.1[7]如果X有超正交基(xn),且(xn)的共軛序列是(X?)的基,則(x?n)是(X?)的超正交基且(PXXn)?等距同構(gòu)于PX?X?n,即

        3 主要結(jié)果

        定理3.1 Xn的范數(shù)是k-粗的當(dāng)且僅當(dāng)PXXn的范數(shù)是k-粗的.

        定理3.2 Xn的范數(shù)是k-強(qiáng)粗的當(dāng)且僅當(dāng)PXXn的范數(shù)是k-強(qiáng)粗的.

        證明充分性是顯然的.

        定理3.3Xn的范數(shù)是k-點(diǎn)態(tài)粗的當(dāng)且僅當(dāng)PXXn的范數(shù)是k-點(diǎn)態(tài)粗的.

        證明證法與定理3.1類似.

        [1]Leach E B,Whitfield J H M.Differentiable functions and rough norms on Banach spaces[J].Proc.A.M.S,1972,33:120-126.

        [2]John K,Zizler V.On rough norms on Banach spaces[J].Comment.Math.Univ.Carolinae,1978,19:335-349.

        [3]Godini G.Rough and strongly rough norms on Banach spaces[J].Proc.of the Amer.Math.Soc.,1983,87:239-245.

        [4]義徳日胡,蘇雅拉圖.Banach空間范數(shù)的k-點(diǎn)態(tài)粗性和k-粗性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(4):553-558.

        [5]義徳日胡,蘇雅拉圖,李婷婷.Banach序列空間的范數(shù)粗性[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,3(8):6-9.

        [6]Partington J R.On the Banach-Saks property[J].Proc.Cambridge Philos.Soc.,1977,82:369-374.

        [7]束立生,王建華.置換空間的一些性質(zhì)[J].南京大學(xué)學(xué)報:數(shù)學(xué)半年刊,1994,11(1):50-58.

        The k-roughness on substitution space PXXn

        Qin Xuan,Suyalatu

        (College of Mathematics Sscience,Inner Mongolia Normal University,huhhot 010022)

        Based on the method of Banach space theory,the lifting results of k-roughness and k-strongly roughness from Banach space Xnto substitution space PXXnare researched mainly.These two k-roughness are improved on substitution space PXXn.

        substitution space,k-rough norm,k-strongly rough norm,k-pointwise rough norm

        O178

        A

        1008-5513(2015)05-0518-07

        10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.012

        2015-05-09.

        國家自然科學(xué)基金(11561053);內(nèi)蒙古師范大學(xué)人才工程基金(RCPY-2-2012-K-034).

        秦璇(1991-),碩士生,研究方向:Banach空間理論.

        2010 MSC:46B25

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