項(xiàng)　青，尹征南，秦　昊

（1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.上海市特種設(shè)備監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院，上海 200333）

基于零階算法的軌道吊結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

項(xiàng)青1，尹征南1，秦昊2

（1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.上海市特種設(shè)備監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院，上海 200333）

工程機(jī)械軌道吊結(jié)構(gòu)的超差使用，使得材料利用率較低，造成經(jīng)濟(jì)成本的浪費(fèi).從軌道吊倉主梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析出發(fā)，將主梁重量的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成力學(xué)約束條件下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)值的求解問題.將主梁翼緣板、腹板的幾何尺寸作為輸入?yún)?shù)，以結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性作為響應(yīng)參數(shù)，建立了基于零階算法的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，通過有限元數(shù)值計(jì)算求得主梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果.計(jì)算結(jié)果表明，采用新的設(shè)計(jì)方法可以減輕主梁的重量，提高材料的使用效率.

零階算法；軌道吊結(jié)構(gòu)；優(yōu)化設(shè)計(jì)

工程機(jī)械中的軌道吊是起重運(yùn)輸設(shè)備之一，主要用于鋼鐵、冶金、建材等行業(yè)的大型加工企業(yè).軌道吊對于企業(yè)的安全生產(chǎn)具有非常重要的作用.在傳統(tǒng)工業(yè)設(shè)計(jì)中，軌道吊結(jié)構(gòu)常采用較大的安全系數(shù)，這就使得設(shè)備制造材料的利用率較低，造成不必要的材料浪費(fèi).箱形主梁是軌道吊的主要結(jié)構(gòu)之一，占軌道吊結(jié)構(gòu)質(zhì)量的60%以上.因此，對軌道吊的主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以在保證設(shè)備運(yùn)行安全可靠的同時(shí)減輕箱形主梁的質(zhì)量，從而減輕軌道吊結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，提高經(jīng)濟(jì)效率.由于工況復(fù)雜、結(jié)構(gòu)本身的幾何特征以及變形的非線性特性，通常采用強(qiáng)度和剛度的被動校核進(jìn)行安全驗(yàn)證［1-2］.結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是通過力學(xué)分析將結(jié)構(gòu)的被動安全校核轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃釉O(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)方案和初選構(gòu)件的截面尺寸，并從各種可能的設(shè)計(jì)中尋求較完善或較適宜的方案，以期對工程實(shí)際應(yīng)用提供理論指導(dǎo)［3-4］.

本工作通過分析軌道吊結(jié)構(gòu)中箱形主梁的結(jié)構(gòu)和受力特點(diǎn)，在考慮主梁外載荷自重、慣性力及風(fēng)載荷的基礎(chǔ)上，建立主梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，并通過零階算法，將結(jié)構(gòu)剛度、強(qiáng)度和穩(wěn)定性約束下的主梁自重極值問題轉(zhuǎn)化成無條件約束下的極值問題，進(jìn)而得到主梁幾何參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果.所得結(jié)果表明本設(shè)計(jì)方法可以為充分利用結(jié)構(gòu)部件的承載能力、控制結(jié)構(gòu)重量提供參考.

1　軌道吊主梁結(jié)構(gòu)

主梁作為軌道吊的主要承載構(gòu)件，在工作過程中直接承受工作載荷，因此要求具有較高的強(qiáng)度、較好的穩(wěn)定性以及盡可能小的自重.箱形雙梁橋架是目前使用較廣泛的主梁結(jié)構(gòu)形式，具有制造簡單、生產(chǎn)工效高、通用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，但也存在結(jié)構(gòu)自重大、主梁容易下?lián)稀蚣艿乃絼偠容^差等缺點(diǎn)［5-6］.因此，本工作擬對箱形雙梁橋架形式的主梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在減輕結(jié)構(gòu)自重的同時(shí)，滿足使用要求.

主梁的外載荷主要包括自重、慣性力和風(fēng)載荷［7］.

自重載荷為結(jié)構(gòu)本身重量，即

式中，m為構(gòu)件質(zhì)量，g為重力加速度.

慣性力通過采用附加運(yùn)動的機(jī)械加速度來計(jì)算，即

式中，a為構(gòu)件運(yùn)動加速度.

風(fēng)載荷p1依據(jù)起重機(jī)設(shè)計(jì)手冊提供的數(shù)據(jù)［8］來計(jì)算，即

式中，vs為風(fēng)速，C為風(fēng)力系數(shù)，A為構(gòu)件正面迎風(fēng)面積，?為構(gòu)件與風(fēng)向的夾角.因?yàn)楸竟ぷ骷俣L(fēng)載荷是沿起重機(jī)最不利的水平方向作用的靜力載荷，所以計(jì)算時(shí)取空曠地區(qū)高度10 m處的陣風(fēng)風(fēng)速（15.5 m/s）.

2　軌道吊主梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1優(yōu)化流程

現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是以最優(yōu)化理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為手段，根據(jù)所追求的性能目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，并在滿足給定的各種約束條件下，尋求最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案.目前，常用的數(shù)值優(yōu)化流程［9］如圖1所示.

由圖1可以看出，軌道吊結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)首先是確定優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，建立設(shè)計(jì)模型；然后將模型簡化為有限元模型，并以結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性為設(shè)計(jì)約束條件，得到需要的優(yōu)化結(jié)果.

圖1　數(shù)值優(yōu)化流程框圖Fig.1 Flow chart of numerical optimization

2.2力學(xué)模型

本工作針對軌道吊主梁結(jié)構(gòu)，以主梁結(jié)構(gòu)整體強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性作為約束函數(shù)，并采用主梁翼緣板、腹板幾何尺寸參數(shù)（如板長、板寬以及相應(yīng)厚度等）作為設(shè)計(jì)變量，通過進(jìn)行多參量優(yōu)化分析，以期得到優(yōu)化的主梁構(gòu)件幾何尺寸.軌道吊箱形主梁模型如圖2所示，其中模型的設(shè)計(jì)變量可用一組相互獨(dú)立的參數(shù)來表示：

式中，H為主梁高度，B為主梁寬度，T1和T2分別為上、下翼緣板的厚度，T3和T4分別為左、右腹板的厚度.

圖2　軌道吊箱形主梁模型Fig.2 Model of the main beam for track hanging structure

因?yàn)樵谥髁嚎缍菿固定的情況下，箱形主梁的自重和截面積成正比.因此，箱形主梁的體積（目標(biāo)函數(shù)）為

根據(jù)起重機(jī)設(shè)計(jì)手冊中的要求，主梁強(qiáng)度約束條件為最大應(yīng)力不超過許用應(yīng)力，即

式中，［σ］為結(jié)構(gòu)許用應(yīng)力.

主梁穩(wěn)定性約束條件為優(yōu)化后的屈曲特征值要小于原特征值，即

式中，λ0為優(yōu)化前的屈曲特征值.

將目標(biāo)函數(shù)與約束條件聯(lián)立，可得如下方程組：

因此，通過求解式（9），可將相應(yīng)的工程問題轉(zhuǎn)換為力學(xué)約束條件下的最優(yōu)解問題.

2.3基于零階算法的優(yōu)化方法

本工作采用零階算法［10-11］求解上述力學(xué)約束條件下的最優(yōu)解問題.零階算法是在抽樣統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，通過擬合設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)尋求最優(yōu)解.

對于式（9）所示的約束極小值問題，設(shè)計(jì)變量可以取為

目標(biāo)函數(shù)可以取為

式中，εg，εh，εw，εf為小參數(shù).

工程問題一般采用平方擬合方法.式（11）和（12）的擬合公式為

根據(jù)式（11）～（13），約束極小值問題可寫為如下形式：

利用求約束條件下極值問題的拉格朗日公式［12-13］，可將式（14）改寫為

式中，xi為設(shè)計(jì)變量，f0為目標(biāo)函數(shù)的參考值，pk為響應(yīng)面參數(shù)，X為施加設(shè)計(jì)變量約束的罰函數(shù)，G，H，W為狀態(tài)變量約束的罰函數(shù).罰函數(shù)的形式如下：

式中，i=1，2，···，n，c1，c2，c3，c4為系數(shù)，ε為小參數(shù).

通過式（14）～（16），可將約束條件及目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束方程，再利用有限元數(shù)值計(jì)算方法，即可求得無約束極小化目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化解［14］.

3　結(jié)果與討論

通過參數(shù)化建模、求解，提取并指定優(yōu)化變量和響應(yīng)變量，再利用零階優(yōu)化方法，進(jìn)行優(yōu)化分析，計(jì)算求解得到相應(yīng)的軌道吊主梁結(jié)構(gòu)極值問題的設(shè)計(jì)變量優(yōu)化值.相關(guān)的計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1　主梁結(jié)構(gòu)的計(jì)算特征量Table 1 Structural characteristic quantity for the main beam

由表1可以看出，主梁在優(yōu)化前后的等效應(yīng)力的最大值均出現(xiàn)在支腿約束處，二者僅相差4.96%；主梁在優(yōu)化前后的最大變形均出現(xiàn)在下翼緣板中間，二者相差5.74%.主梁在優(yōu)化前后的最大等效應(yīng)力及位移均滿足設(shè)計(jì)規(guī)范要求.主梁優(yōu)化后的屈曲特征值變小，表明其整體及局部穩(wěn)定性比優(yōu)化前要好，并且高于安全系數(shù).

表2為主梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化幾何尺寸.可以看出，在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的約束下，優(yōu)化構(gòu)件的幾何參數(shù)減輕了結(jié)構(gòu)質(zhì)量.與優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比可知，上、下翼緣板厚度、主腹板厚度、主梁高、寬等尺寸均比優(yōu)化前減小了約8%，而副腹板厚度僅增加了6.6%，最終主梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量減輕了20.28%.

表2　主梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化幾何尺寸Table 2 Optimization of the beam geometry

表3給出了構(gòu)件各參數(shù)尺寸與等效應(yīng)力、位移及屈曲特征值的相關(guān)度.相關(guān)度表示了結(jié)構(gòu)尺寸對構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的影響程度.主梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸的相關(guān)度如圖3所示.可以看出，主、副腹板厚度對強(qiáng)度影響較大；上、下翼緣板厚度和主、副腹板厚度對剛度影響較大；副腹板厚度、下翼緣板厚度、主腹板厚度對穩(wěn)定性有較大的影響.在主梁結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的綜合要求下，副腹板厚度、主腹板厚度和下翼緣板厚度對主梁重量優(yōu)化影響較大，而主梁的高和寬對強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性的影響較小.

表3　主梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸的優(yōu)化相關(guān)度Table 3 Relevance of the geometry optimization for the beam structure　a.u.

圖3　主梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸的相關(guān)度Fig.3 Geometry relevance of the beam structure

4　結(jié)束語

本工作利用零階算法將力學(xué)約束條件下的極值問題轉(zhuǎn)化為無條件約束下的極值問題，并通過優(yōu)化計(jì)算，將軌道吊主梁的相關(guān)幾何參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，在滿足設(shè)計(jì)要求的條件下，減輕了主梁約20%的質(zhì)量.

（1）通過優(yōu)化計(jì)算，在保證結(jié)構(gòu)剛度、強(qiáng)度及穩(wěn)定性的前提下，主梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量減輕達(dá)20.28%，主梁上、下翼緣板厚度，主腹板厚度、主梁高、寬等尺寸比優(yōu)化前減小了8%左右，副腹板厚僅僅增加了6.6%.

（2）獲得了相關(guān)幾何尺寸的優(yōu)化相關(guān)度，并通過相關(guān)度分析，得到了構(gòu)件各尺寸對強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性的影響.主、副腹板厚度對強(qiáng)度影響較大；上、下翼緣板厚度、主、副腹板厚度對剛度影響較大；副腹板厚度、下翼緣板厚度、主腹板厚度對穩(wěn)定性影響較大；主梁的高和寬對強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性的影響較小.

（3）通過力學(xué)建模、有限元計(jì)算和優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以合理利用結(jié)構(gòu)部件承載能力、控制結(jié)構(gòu)重量.在滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理、安全的前提下，可實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品精益制造，提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益.

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Optimal design of track hanging structure using a zero-order algorithm

XIANG Qing1，YIN Zheng-nan1，QIN Hao2
（1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，
Shanghai 200072，China；2.Shanghai City Special-Purpose Equipment Surveillance and Inspection，Shanghai 200333，China）

Use of out of tolerance in hanging rail construction in engineering machinery usually causes inadequate utilization of the material and results in waste.Based on a mechanical analysis of the main beam structure in track hanging，a design optimization problem of weight of the girder structure is transformed to a solution of optimal parameters values under mechanical constraints optimal parameters.Using a girder flange plate and the web geometry value as input parameters，structural strength，stiffness，stability as response parameters，an optimization model is established based on a zero-order algorithm. Optimization results of the main beam are obtained by finite element numerical calculation. The results show that the new design method can reduce weight of the main beam and improve the efficient use of materials.

zero-order algorithm；track hanging structure；optimal design

TH 21

A

1007-2861（2015）06-0742-07

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.03.003

2014-04-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10972128，11142004）；上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目（S30106）

尹征南（1975—），男，講師，博士，研究方向?yàn)闆_擊動力學(xué)、材料力學(xué)行為.E-mail：znyin@shu.edu.cn