袁淑峰，金海林

（1.上海大學理學院，上海 200444；2.紹興文理學院上虞分院，浙江上虞 312300）

一些幾何不等式的等價關系

袁淑峰1，2，金海林1

（1.上海大學理學院，上海 200444；2.紹興文理學院上虞分院，浙江上虞 312300）

Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式是凸幾何中的兩個重要而基本的不等式.近期，已有學者得到了這兩個不等式的Orlicz版本，從而構建起Orlicz-Brunn-Minkowski理論的框架.本工作證明經(jīng)典的Brunn-Minkowski不等式、Minkowski不等式、Orlicz-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz-Minkowski不等式是等價的.

Brunn-Minkowski不等式；Minkowski不等式；Minkowski和；Orlicz和；均質積分

幾何不等式的等價性一直是凸幾何分析的重點研究對象［1-2］.Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式作為Brunn-Minkowski理論中的兩個重要而基本的不等式，一直受到廣泛的關注.

經(jīng)典Minkowski不等式［3-4］描述如下：

如果凸體K，L∈Kn，則有

等號成立當且僅當K和L是位似的.

經(jīng)典Brunn-Minkowski不等式［5］描述如下：如果凸體K，L∈Kn，則有

等號成立當且僅當K和L是位似的.式（2）中，K+L表示凸體K和L的Minkowski和.

令Φ2表示定義在［0，∞）2→［0，∞）上的凸函數(shù)φ的集合.凸函數(shù)φ對于兩個變量都是單調遞增的，且有φ（0，0）=0和φ（0，1）=φ（1，0）=1.

近期，Gardner等［6］給出了關于Orlicz和的Brunn-Minkowski不等式以及Orlicz-Minkowski不等式.

如果凸體K，L∈Kno，φ∈Φ2，那么Orlicz-Brunn-Minkowski不等式表示為

式中，如果φ是嚴格凸的，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

式中，如果φ是嚴格凸的，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

本工作主要是證明上述4個不等式（式（1）～（4））的等價關系.

1　預備知識

令Sn-1表示Rn中質心在原點的單位球B的表面，h（K，·）=hK（·）：Sn-1→R表示凸體K∈Kn的支撐函數(shù)，即

式中，〈u，x〉表示u和x在Rn上的通常內積.

凸體K的徑向函數(shù)ρ（K，·）：Sn-1→R定義為ρ（K，u）=max｛λ＞0：λu∈K｝，u∈Sn-1.若凸體K，L滿足ρ（K，·）/ρ（L，·）：Sn-1→R是常數(shù)，則稱K和L是互為伸縮的.對于凸體K，L，若存在常數(shù)a＞0，b∈Rn，使得K=aL+b成立，則稱凸體K和L是位似的.

對于Rn中的凸體K和L，若u∈Sn-1，則它們的Minkowski和K+L［4］定義為

如果p≥1，凸體K，L包含原點且原點在其內部，對于u∈Sn-1，凸體K+pL通過支撐函數(shù)定義為

式中，稱運算+p為Firey p-和［7］.目前，F(xiàn)irey p-和已被Lutwak等［8］推廣到任意非凸集.

若凸體K，L∈Kno，φ∈Φ2，任意向量u∈Rn，則對于凸體K和L的Orlicz和K+φL，很容易得到hK+φL（u）=λ（u）的必要條件為

當φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y），φ1，φ2∈Φ時，則有

當φ（x，y）=xp+yp，1≤p＜∞時，Orlicz和變成Firey p-和；而當φ（x，y）=max｛x，y｝時，凸體K和L的Orlicz和就變成K和L的并的凸包.

均質積分是混合體積的一個重要的例子［4］.如果K是Rn中的一個緊凸集，0≤i≤n，那么K的均質積分Wi（K）定義為Wi（K）=V（K，n-i；B，i），則W0（K）=V（K）（K的體積），nW1（K）=S（K）（K的表面積），Wn（K）=V（B）=ωn（單位球的體積）.

如果凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則K，L的混合均質積分Wi（K，L）［9-10］定義為

式中，Borel測度Si（K，·）是K的i次表面積測度.由于Wi（λK）=λn-iWi（K），則對于所有的i，可得到Wi（K，K）=Wi（K）.

如果凸體K，L∈Kno，0≤i≤n-1，且p≥1，那么凸體K，L的混合p-均質積分Wp，i（K，L）［11］定義為

如果p=1，那么Wp，i（K，L）=Wi（K，L），顯然有Wp，i（K，K）=Wi（K）.

假設μ是X空間中的一個概率測度，g：X→I?R是一個μ-可測函數(shù)，其中I可能是一個無界區(qū)間.Jensen不等式表述為如果?：I→R是一個凸函數(shù)，那么

如果?是嚴格凸的，等號成立的充要條件是對于X中的每個x幾乎處處μ-可測的函數(shù)g（x）是一個常數(shù)函數(shù)［12］.

2　定理的證明

下面建立相對于定理1的更廣泛的均質積分形式，并給出詳細的證明.

1993年，Lutwak［11］證明了Lp-Minkowski不等式的均質積分形式.若p≥1，凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則

當p＞1時，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

若取p=1，則式（9）變?yōu)榻?jīng)典Minkowski不等式的均質積分形式［9-10］：

等號成立當且僅當K和L是位似的.

Firey［7］證明了下列關于Firey p-和的Lp-Brunn-Minkowski不等式的均質積分形式.若p≥1，凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則

當p＞1時，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

若取p=1，則式（11）變?yōu)榻?jīng)典Brunn-Minkowski不等式的均質積分形式：

等號成立當且僅當K和L是位似的.

Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式的均質積分形式如下.

如果φ是嚴格增的，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

如果φ是嚴格增的，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

當φ嚴格凸時，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

證明根據(jù)式（5）～（7）和式（13），可得

如果φ是嚴格凸的，那么φ1和φ2也是嚴格凸的，于是根據(jù)式（13）的等號成立條件，可得到凸體K，L分別與K+φL是互為伸縮的，所以K和L也是互為伸縮的.

在定理2中，若取i=0，就得到了Gardner等［5］給出的結論.

當φ嚴格凸時，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

已知經(jīng)典Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式的均質積分形式是等價的，因此可得如下引理.

引理1［11］如果凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則有

等號成立當且僅當K和L是位似的.

在定理2中，若取φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y）=x+y，就可得到引理1的部分結論.

如果φ是嚴格凸的，那么不等式等號同時成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

證明“?”因為

“?”取φ（t）=t，易證得結論.

如果φ是嚴格凸的，那么不等式等號同時成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

證明在式（14）中取φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y）=x+y，即可得到經(jīng)典Brunn-Minkowski不等式的均質積分形式：

根據(jù)引理1和引理2，易得所需的推導關系.

根據(jù)式（15）、引理1和引理2的等號成立條件可知，當φ嚴格凸時，定理3中的等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.結合定理2和定理3，可得到如下定理.

當φ嚴格凸時，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

在定理4中，當i=0，φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y）時，可以發(fā)現(xiàn)Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式是等價的，并有如下推論.

當φ嚴格凸時，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

在定理4中，若取i=0，φ（x，y）=xp+yp，p≥1，可得到Lp-Brunn-Minkowski不等式和Lp-Minkowski不等式的等價性.

推論3［2］如果凸體K，L∈Kno，p≥1，那么

等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

根據(jù)定理2、引理1、引理2和定理3，可以得到如下定理.

當φ∈Φ2且φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y），φ1，φ2∈Φ時，式（3）可變?yōu)?/p>

如果φ是嚴格凸的，等號成立當且僅當K和L是互為伸縮的.

由定理5可以看出，當i=0時，定理5就轉化為定理1.

［1］虞志剛，袁俊，冷崗松.Lp投影不等式和Lp質心不等式的等價性［J］.上海大學學報：自然科學版，2009，15（1）：8-10.

［2］趙長健，冷崗松，李小燕.凸體幾何一些經(jīng)典不等式的等價性［J］.數(shù)學學報，2005，48（2）：347-354.

［3］Gardner R J.Geometric tomography［M］.2nd ed.New York：Cambridge University Press，2006.

［4］Schneider R.Convex bodies：the Brunn-Minkowski theory［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1993.

［5］Osserman R.The isoperimetric inequality［J］.Bull Amer Math Soc，1978，84（6）：1182-1238.

［6］Gardner R J，Hug D，Weil W.The Orlicz-Brunn-Minkowski theory：a general framework，additions，and inequalities［J］.J Differential Geom，2014，97（3）：427-476.

［7］Firey W J.p-means of convex bodies［J］.Math Scand，1962，10：17-24.

［8］Lutwak E，Yang D，Zhang G Y.TheBrunn-Minkowski-Fireyinequality for non-convex sets［J］. Adv in Appl Math，2012，48（2）：407-413.

［9］Busemann H.Convex surfaces［M］.New York：Interscience Publishers，1958.

［10］Leichtwei K.Konvexe mengen［M］.Berlin：Springer-Verlag，1980.

［11］Lutwak E.The Brunn-Minkowski-Firey theory I：mixed volumes and the Minkowski problem［J］.J Differental Geom，1993，38（1）：131-150.

［12］Hoffmann-Jorgensen J.Probability with a view toward statistics［M］.New York：Chapman and Hall，1994.

［13］Burago Y D，Zalgaller V A.Geometric inequalities［M］.Berlin：Springer-Verlag，1998.

Equivalence properties of some geometric inequalities

YUAN Shu-feng1，2，JIN Hai-lin1
（1.College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China；2.Shangyu Branch，Shaoxing University，Shangyu 312300，Zhejiang，China）

Brunn-Minkowski inequality and Minkowski inequality are two important and fundamental inequalities in convex geometric analysis.Recently，some researchers established Orlicz extension of these two inequalities，and constructed a general framework for the Orlicz-Brunn-Minkowski theory.The purpose of this paper is to show equivalence properties of these four inequalities，i.e.，classical Brunn-Minkowski inequality，classical Minkowski inequality，Orlicz-Brunn-Minkowski inequality and Orlicz-Minkowski inequality.

Brunn-Minkowski inequality；Minkowski inequality；Minkowski addition；Orlicz addition；Quermassintegral

O 186.5

A

1007-2861（2015）06-0725-07

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.01.043

2014-03-04

國家自然科學基金資助項目（11271244）；浙江省教育廳科研基金資助項目（Y201328555）

袁淑峰（1976—），女，副教授，博士，研究方向為凸幾何.E-mail：yuanshufeng2003@163.com