汪海鵬，潘寶珍，劉　永

（上海大學理學院，上海 200444）

用于第二類Fredholm積分方程解的函數(shù)值Padé-Frobenius逼近

汪海鵬，潘寶珍，劉永

（上海大學理學院，上海 200444）

函數(shù)值Padé-型逼近已被應用于求第二類Fredholm積分方程的逼近解.函數(shù)值Padé-型逼近存在的首要條件是Hankel行列式不為0，為避免這一條件的限制，給出一種新的函數(shù)值Padé-Frobenius逼近的定義及構(gòu)造.通過分析Toeplitz矩陣核結(jié)構(gòu)的特征，給出了一種分母次數(shù)最低的函數(shù)值Padé-Frobenius逼近的算法，從而拓寬了求第二類Fredholm積分方程逼近解的范圍.最后，通過數(shù)值實例證明了該方法的有效性.

Hankel行列式；函數(shù)值Padé-Frobenius逼近；Fredholm積分方程；Toeplitz矩陣

設第二類Fredholm積分方程為

式中，K（s，t）和y（s）分別是在正方形區(qū)域［a，b］×［a，b］和區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù).通過連續(xù)迭代，方程（1）的解可以展開為一個具有函數(shù)值系數(shù)的冪級數(shù)：

式中，

其中稱Ki（s，t）為第i階迭核.假定f（s，λ）作為λ的函數(shù)在λ=0處是解析的，則對于足夠小的|λ|，冪級數(shù)f（s，λ）（式（2））是收斂的.同時，yi（s）∈L2［a，b］是實平方可積函數(shù).

設yi（s），yj（s）∈L2［a，b］，它們的內(nèi)積及范數(shù)分別定義如下：

為了獲得難以處理的積分方程的解，尤其當積分方程具有形如式（2）的發(fā)生函數(shù)時，人們對Padé逼近方法產(chǎn)生了興趣.這是因為Padé逼近易于計算，同時對有限秩的積分方程解的逼近最終是精確的.Baker等［2］提出了廣義逆函數(shù)值Padé-型逼近的定義.Gu等［3］提出了廣義逆函數(shù)值Padé逼近的計算方法，并應用于第二類Fredholm積分方程的求解.由于構(gòu)造的特點，廣義逆函數(shù)值Padé逼近的分母多項式必須是偶數(shù)階多項式，這是由整除的性質(zhì)所決定的.潘寶珍等［4］引入了一種從多項式空間到函數(shù)值空間的廣義線性泛函，建立了函數(shù)值Padé-型逼近（function-valued Padé-type approximation，F(xiàn)PTA）的定義和算法.本工作為了避免在FPTA構(gòu)造過程中要求Hankel行列式不為零的這一條件限制，受文獻［5］啟發(fā)，給出了函數(shù)值Padé-Frobenius逼近（function-valued Padé-Frobenius approximation，F(xiàn)PFA）的定義及構(gòu)造.通過討論Toeplitz矩陣核結(jié)構(gòu)的特征，從而得到在保持逼近階不變的情況下，分母次數(shù)最低的一種函數(shù)值Padé-Frobenius逼近的計算方法.最后，通過實例說明FPFA拓寬了求第二類Fredholm積分方程逼近解的范圍.

1　函數(shù)值Padé-Frobenius逼近的定義與構(gòu)造

定義1設f（s，λ）是形如式（2）的函數(shù)值形式冪級數(shù)，Pm，n（s，λ）是關于λ的次數(shù)不超過m的函數(shù)值多項式，Qm，n（λ）是關于λ的次數(shù)不超過n的數(shù)量多項式，若滿足條件：

注1當Qm，n（λ）/=0時，定義1中的函數(shù)值Padé-Frobenius逼近與經(jīng)典函數(shù)值Padé逼近一致；當Qm，n（λ）=0時，函數(shù)值Padé-Frobenius逼近關于λ的逼近階小于m+n+1.

為了求出方程組（6）的系數(shù)q0，q1，···，qn，參照文獻［3］，對方程組（6）中的每個方程等式兩邊分別關于ym-n+1（s）作內(nèi)積，則有

式中，當k＜0時，yk=0.

記Hankel矩陣

首先引進Toeplitz矩陣序列

式中，m-n+1≤k≤m+n.記

顯然，向量空間Ker Tk與多項式空間Nk同構(gòu).記dk為多項式空間Nk的維數(shù)，為了研究方便，約定

為了給出Toeplitz矩陣序列Tk核空間所同構(gòu)的多項式空間Nk中元素間的結(jié)構(gòu)關系及特征，需要用到如下3個引理.

引理1記Δk=dk-dk-1（m-n+1≤k≤m+n+1），設Hk+1是空間Nk+1中子空間Nk+λNk的補空間，hk+1是空間Hk+1的維數(shù)，則

證明由Nk的定義可知，Nk，λNk是Nk+1的子空間，且有NkTλNk=λNk-1.由維數(shù)公式可得

根據(jù)式（13）可得

所以，Δk+1≥Δk.由規(guī)定dm-n=0及觀察所知dm-n+1=0，可得Δm-n+1=0.

同理，可得Δm+n+1=2.

觀察不等式（12）可知，一定存在上臨界值μ1和下臨界值μ2（μ1≤μ2），使得

引理2設u=rank Tm，其中Tm是由方程組（9）確定的矩陣，則μ1=m-n+u，μ2= m+n-u+1.

證明由Δk的定義及式（11）可得

另外，由式（14）可得

由式（16）和（17）可得

從而推導出

同理，可得

最后，求得μ1=m-n+u，μ2=m+n-u+1.

引理3 設Toeplitz矩陣Tk（k=m-n+1，m-n+2，···，m+n）所對應的多項式空間為Nk，則

當k=μj（j=1，2）時，由式（14）可得，hμj+1=Δμj+1-Δμj=1-0=1，即dimHμj+1= hμj+1=1，則Nμj+1=（Nμj+λNμj）˙+Hμj+1.

定理1設Q1（λ），Q2（λ）分別是關于f（s，λ）對應上、下臨界值μ1，μ2的兩個多項式，則多項式空間Nk中的元素特征如下：

式中，q1（λ），q2（λ）分別是次數(shù)不高于k-μ1-1和k-μ2-1的任意多項式.

證明（1）當m-n+1≤k≤μ1時，由式（11）及約定可知dk=0，即Nk=0.

（2）當μ1+1≤k≤μ2時，可分兩步完成證明.

當k=μ1+1時，由Δk的定義及式（15）可知

即dimNμ1+1=1.因此，設Nμ1+1=｛Q1（λ）｝.

當μ1+1＜k≤μ2時，由式（14）和（15）可得

結(jié)合引理3，可知

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則

式中，q1（λ）是次數(shù)不高于k-μ1-1的任意多項式.

（3）當μ2+1≤k≤m+n時，與μ1+1≤k≤μ2時的情形類似，同理可證.

定理2設滿足式（7）的所有（m/n）Ff（s，λ）中的分母多項式組成的集合為｛Qm，n（λ）｝，則

定理1中的Q1（λ）就是｛Qm，n（λ）｝中次數(shù)最低的分母多項式.

證明對式（7）的系數(shù)矩陣Tm+1進行討論.

由式（18）及定理1可知，

3　分母次數(shù)最低的的計算步驟及數(shù)值實例

3.1計算步驟

步驟1由式（10）寫出關于冪級數(shù)f（s，λ）的Toeplitz矩陣Tm.

步驟2計算上、下臨界值μ1=m-n+u，μ2=m+n-u+1，其中u=rank Tm.

步驟3由定理1可知，dμ1+1=1，可設齊次線性方程組Tμ1+1x=0的解為｛η｝，其中η=（q0，q1，···，qμ1-m+n）T，從而得到定理2中的次數(shù)最低的分母，即

3.2數(shù)值實例

考慮如下第二類Fredholm積分方程：

該方程的積分核K（s，t）=sin（s+t），其準確解為

因為m=n=4，所以可由式（6）寫出Toeplitz矩陣：

由u=rank T4=2，可得上、下臨界指標μ1=2，μ2=7.

由式（10）寫出Toeplitz矩陣：

通過式（8）得到如下分子表達式：

最后，不難得出

4　結(jié)束語

通過上述的數(shù)值實例可以發(fā)現(xiàn)，因為detH（y1）=0，所以文獻［4］中的4階函數(shù)值Padé-型逼近是不存在的.而本工作不但較好地解決了此類問題，并且數(shù)值實例的結(jié)果表明積分方程的逼近解與準確解完全相同.接下來將要探討的是如何將本方法推廣應用到奇異的阿貝爾積分方程求解中.

［1］Brezinski C.Padé-type approximation and general orthogonal polynomials［M］.Basel：Birkh¨auser Verlag，1980.

［2］Baker G，Graves-Morris P R.Padé approximants［M］.London：Cambridge University Press，1997.

［3］Gu C Q，Li C J.Computation formulas of generalised inverse Padé approximant using for solution of integral equation［J］.Applied Mathematics and Mechanices：English Edition，2001，22（9）：1057-1063.

［4］潘寶珍，顧傳青.用于積分方程解的函數(shù)值Padé-型逼近的代數(shù)性質(zhì)和收劍性定理［J］.上海大學學報：自然科學版，2005，11（3）：269-274.

［5］Ibryaeva O L，Adukov V M.An algorithm for computing a Padé approximant with minimal degree denominator［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，237（1）：529-541.

［6］Gu C Q，Pan B Z，Wu B B.Orthogonal polynomials and determinant formulas of functionalvalued Padé-type approximation using for solution of integral equations［J］.Applied Mathematics and Mechanices：English Edition，2006，27（6）：853-860.

［7］Graves-Morris P R.Solution of intergral equations using generalised inverse，function-valued Padé approximantsⅠ［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，1990，32（1）：117-124.

［8］Benouahmane B，Cuyt A.Multivariate orthogonal polynomials，homogeneous Padé approximants and Gaussian cubature［J］.Numerical Algorithms，2000，24（1）：1-15.

［9］Draux A.Approximants de type Padé et de Padé en deux points［M］.Lille：Universi′e des Science et Technologies de Lille，1983：1-89.

［10］張石生.積分方程［M］.重慶：重慶出版社，1988.

Function-valued Padé-Frobenius approximation using solution of integral equations of the second kind

WANG Hai-peng，PAN Bao-zhen，LIU Yong
（College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Function-valued Padé-type approximation（FPTA）was applied to solve the Fredholm integral equations of the second kind.To avoid the constraint that the determinant of Hankel cannot equal to zero for FPTA，a definition and its construction of a function-valued Padé-Frobenius approximation（FPFA）is given.By studying the kernel structure of the Toeplitz matrix，an algorithm is presented for the function-valued Padé-Frobenious approximation with reduced denominator.Thus the application range of approximation solution of the integral equations is developed.Finally，an example is given to show effectiveness of the method.

determinant of Hankel；function-valued Padé-Frobenius approximation；Fredholm integral equation；Toeplitz matrix

O 241.83

A

1007-2861（2015）06-0717-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.03.020

2014-06-20

國家自然科學基金資助項目（11371243）

潘寶珍（1965—），女，副教授，博士，研究方向為數(shù)值有理逼近.E-mail：bzpan@staff.shu.edu.cn