張躍

【摘 要】根據(jù)計(jì)算機(jī)的整數(shù)取值有限，本文提出了一個(gè)基本假設(shè)。在此假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用C語言編程，證明了：對應(yīng)于無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，存在無窮多個(gè)p+2的素?cái)?shù)；即孿生素?cái)?shù)猜想。

【關(guān)鍵詞】孿生素?cái)?shù)；假設(shè)；C語言程序

【Abstract】In accord with the limitation of the integer taken by a computer， an assumption is suggested， and on the basis of it， using the program of C language， the paper proves that corresponding to infinite primes p， there are infinite p+2 being primes； namely， the conjecture of pair primes.

【Key words】Pair primes； Assumption； Program of C language

0 引言

目前，數(shù)論中尚未解決的難題有兩個(gè)，一個(gè)是偶數(shù)情形的哥德巴赫猜想，另一個(gè)是孿生素?cái)?shù)的哥德巴赫猜想（孿生素?cái)?shù)猜想）[1]。從一些有關(guān)數(shù)學(xué)的期刊上可以發(fā)現(xiàn)， 關(guān)于孿生素?cái)?shù)的猜想，一直是國內(nèi)外數(shù)學(xué)界關(guān)注和研究的一個(gè)重要課題。迄今為止，數(shù)學(xué)家陳景潤已經(jīng)證明：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使p+2為不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積[2]。國內(nèi)外還沒有人能夠做到利用純粹的數(shù)學(xué)理論方法證明這一猜想。本文將設(shè)計(jì)C語言的程序證明孿生素?cái)?shù)的猜想。如果用Q（p）表示無窮多個(gè)素?cái)?shù)p組成的集合，Q（p+2）是相應(yīng)的無窮多個(gè)p+2的素?cái)?shù)組成的集合，并且假設(shè)計(jì)算機(jī)二進(jìn)制的數(shù)碼的位數(shù)沒有限制，則通過C程序的運(yùn)算可以由Q（p）的所有元素得到Q（p+2）的所有元素。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，可以將C程序的運(yùn)算視為由Q（p）到Q（p+2）的一個(gè)映射M（mapping）[3]， 表示為M： Q（p）→Q（p+2）。

1 假設(shè)

計(jì)算機(jī)將整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)碼表示，假設(shè)數(shù)碼的位數(shù)不受限制，則任意大的整數(shù)k可以無限地轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)碼。但由于機(jī)器的規(guī)模限制，機(jī)器的二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)是有限的。例如，對于浮點(diǎn)機(jī)表示的數(shù)碼，若數(shù)碼的階數(shù)的位數(shù)是k位，尾數(shù)的位數(shù)是m位，則整數(shù)N的取值范圍為：如果不考慮數(shù)碼的位數(shù)，計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)會出現(xiàn)“機(jī)器零”或者“溢出”的情況。證明孿生素?cái)?shù)的猜想，需要考慮的素?cái)?shù)p有無窮多個(gè)，不能利用“窮舉法”對所有的p+2的數(shù)字一一列舉進(jìn)行判斷。如果應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的思想，則必須作某些假設(shè)。

由于計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制運(yùn)算僅與邏輯電路或者布爾代數(shù)有關(guān)系，其運(yùn)算規(guī)則和結(jié)果不因計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)多少而引起變化。因此，可以作以下假設(shè)。

假設(shè)：已知計(jì)算機(jī)限制的整數(shù)的最大取值為n，p為無窮多個(gè)素?cái)?shù)p1

在假設(shè)中，顯然，R（k+1）？勱R（k），R（k+1）-R（k）=k+1，僅僅多一個(gè)k+1的數(shù)字。如果計(jì)算機(jī)對整數(shù)的取值范圍沒有限制，可以設(shè)k為任意大的整數(shù)，但是不會當(dāng)k大到某一整數(shù)之后，j≡i，因?yàn)樗財(cái)?shù)p有無窮多個(gè)，可能成為素?cái)?shù)的k+1的數(shù)也有無窮多個(gè)，故j≥i的情形有無窮多。

2 證明猜想

在所有的素?cái)?shù)中，如果p是素?cái)?shù)，且p+2也是素?cái)?shù)，則稱（p，p+2）為一對孿生素?cái)?shù)。因而數(shù)論中孿生素?cái)?shù)的哥德巴赫猜想，可以用下面的定理表述：[1]

定理：有無窮多個(gè)素?cái)?shù)p使得p+2也是素?cái)?shù)。

根據(jù)定理編寫程序，首先假設(shè)p是任意的素?cái)?shù)，然后從所有p+2的數(shù)中篩選出全部素?cái)?shù)，并證明其數(shù)目有無窮多個(gè)。用C語言編寫的源程序代碼如下：

可以任意舉一個(gè)計(jì)算機(jī)取值范圍內(nèi)的正整數(shù)，例如，取max=k=100，利用C-Free 5 CJY版運(yùn)行程序prime.c的結(jié)果顯示，若p為素?cái)?shù)，則不大于100的p+2的素?cái)?shù)是：

7，13，19，31，43，61，73。

實(shí)際上5和3也構(gòu)成一對孿生素?cái)?shù)，相對于3，5也是一個(gè)p+2的素?cái)?shù)，在運(yùn)算結(jié)果中沒有顯示，原因是相對于運(yùn)算結(jié)果中的p+2的素?cái)?shù)7，5又是一個(gè)p的素?cái)?shù)，不能同時(shí)出現(xiàn)在p+2的素?cái)?shù)中。類似的情況在后面的p+2的素?cái)?shù)里可能還會有很多，但是這些情況不影響證明p+2的素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。

那么，當(dāng)max=k+1=101時(shí)，利用C-Free 5 CJY版運(yùn)行程序prime.c的結(jié)果顯示，若p為素?cái)?shù)，則不大過101的p+2的素?cái)?shù)也是：

7，13，19，31，43，61，73，

這相當(dāng)于假設(shè)中的j=i的情況。如果取max=k=102，prime.c運(yùn)算的結(jié)果仍然和上述p+2的素?cái)?shù)一樣，但是當(dāng)max=k+1=103時(shí)，利用C - Free 5CJY版運(yùn)行prime.c，得到p+2的素?cái)?shù)為：7， 13， 19， 31， 43， 61， 73， 103，

這相應(yīng)于假設(shè)中j >i的情況。如果計(jì)算機(jī)的整數(shù)取值范圍沒有限制，則可以取任意大的k以及k+1進(jìn)行驗(yàn)證。

因而，根據(jù)假設(shè)，利用C- Free 5 CJY版運(yùn)行程序prime.c的數(shù)字結(jié)果表明：可以找到無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，相應(yīng)的p+2亦為素?cái)?shù)。定理得以證明。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳景潤.陳景潤文集[M].江西教育出版社，1998：346-347.

[2]王元.解析數(shù)論在中國[J].自然雜志，1980，3（8）：568-570，592.

[3]日本數(shù)學(xué)會編.數(shù)學(xué)百科辭典（中譯本）[M].科學(xué)出版社，1984：42-45.

[責(zé)任編輯：湯靜]