程剛 盧淑群

摘 要 針對(duì)兩正交圓柱體相貫線的形狀特征和投影規(guī)律，通過(guò)空間曲線方程推導(dǎo)了兩正交圓柱體相貫線在非積聚性投影面投影為雙曲線或直線，對(duì)于空間曲線的投影直觀性較差的問(wèn)題，通過(guò)三維建模軟件表達(dá)了直徑變化時(shí)兩正交圓柱體相貫線演變趨勢(shì)，結(jié)合實(shí)際操作并給出了兩圓柱體相貫線的求解流程圖。

關(guān)鍵詞 工程制圖 正交圓柱體 相貫線 投影

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.09.038

Two Orthogonal Cylinders Intersecting Lines

Teaching in Engineering Drawing

CHENG Gang[1][2]， LU Shuqun[3]

（[1] Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001;

[2] Anhui Mine Mechanical and Electrical Equipment Collaborative Innovation Center， Huainan， Anhui 232001;

[3] School of Mechanical and Automotive Engineering， Chuzhou University， Chuzhou， Anhui 239000）

Abstract For shape characteristics and laws of the two orthogonal projection cylinders intersecting line space curve equation was derived by two orthogonal lines intersecting cylinders in the accumulation of non-hyperbolic or linear projection surface projection， the projection of the space curve intuitive when the problem of the poor， expressed by three-dimensional modeling software change in diameter of two orthogonal lines intersecting cylinders evolution trend， combined with the actual operation and gives a flowchart for solving the two cylinders intersecting lines.

Key words engineering drawing; orthogonal cylinder; intersecting Line; projection

0 前言

相貫線是工程制圖中重、難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。教材中關(guān)于相貫線的定義是：“兩立體表面的交線稱(chēng)為相貫線?！眱汕媪Ⅲw表面的相貫性一般是封閉的空間曲線，其形狀取決于曲面立體的形狀、大小和它們軸線的相對(duì)位置。求作時(shí)，首先是判定相貫線的形狀特點(diǎn)，再根據(jù)相貫線各投影特點(diǎn)，作出投影圖。在教學(xué)實(shí)踐中，由于相貫性的相對(duì)抽象性，學(xué)生很難理解并正確作圖，究其原因是在于：一是沒(méi)有深度地理解相貫線的形狀特征;二是沒(méi)有通過(guò)三維模擬技術(shù)生動(dòng)表達(dá)出相貫性的形成原理。文章以?xún)烧粓A柱體相貫線為例，針對(duì)上述問(wèn)題做一些教學(xué)上的探討研究。

1 數(shù)學(xué)分析

教材中針對(duì)兩正交圓柱體相貫線的作圖方法和步驟敘述較多，而對(duì)于其相貫線的由來(lái)或形狀的準(zhǔn)確描述很少。準(zhǔn)確描述曲線在于利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)求解相貫線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出其對(duì)應(yīng)方程。方程在邏輯上的優(yōu)勢(shì)對(duì)于工科學(xué)生來(lái)說(shuō)更具備深刻記憶的特征，一旦相貫線方程和投影方程被確定，對(duì)應(yīng)的曲線形狀通過(guò)前期數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，學(xué)生將會(huì)很容易地搜索到曲線的特征，這對(duì)后面找點(diǎn)近似描出相貫線投影具有很強(qiáng)的提示作用，從而強(qiáng)化了形狀預(yù)判的理論根據(jù)。

1.1基本理論

從高等數(shù)學(xué)上可以獲知，空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線，如圖1所示。假設(shè)兩曲面的方程分別為：（，，）=0，（，，）=0，它們所產(chǎn)生的空間交線為，的任意點(diǎn)坐標(biāo)均滿(mǎn)足兩曲面的方程，因此交線的一般方程為：

（1）

方程組（1）消去變量后得到方程：

（）=0（2）

方程（2）即為曲線在面上的投影。同理，消去方程組（1）的變量或變量，分別和=0或=0聯(lián)立，就可以得出空間曲線在面或面上的投影方程。

圖1空間曲面交線圖2兩正交圓柱體相貫

1.2方程推導(dǎo)

根據(jù)上述空間曲線方程和空間曲線在坐標(biāo)面上的投影理論，對(duì)于兩正交圓柱體，如圖2所示。其相貫線（圓柱面交線）方程為：（3）

消去變量，可得出兩正交圓柱體的相貫線在面上的投影方程組為：=（4）

從圖2中可以看出：相貫線在面和面上的因投影具有積聚性特點(diǎn)，判斷較易，為圓弧或整圓。兩圓柱體是正交，前后對(duì)稱(chēng)，因而相貫線在面上的投影即可以看作在面上的投影，方程組（4）便可描述。通過(guò)對(duì)方程組（4）的分析可以得出，其表達(dá)式為雙曲線形式（=情況除外）。

當(dāng)=時(shí)，方程組（4）簡(jiǎn)化為：

（5）

此時(shí)為兩個(gè)相等直徑的正交圓柱體相貫，其面投影從雙曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€相交形式，類(lèi)似于“住焙擰？

2三維輔助模型

實(shí)踐教學(xué)中，學(xué)生對(duì)相貫線的形成過(guò)程和相關(guān)規(guī)律并不能理解透徹、融會(huì)貫通，原因在于學(xué)生對(duì)于三維轉(zhuǎn)換成二維的思維過(guò)程沒(méi)有徹底解放，而且相貫線相對(duì)其它形體投影又比較抽象，空間曲線的投影往往給學(xué)生造成巨大的困惑。直觀度較差是學(xué)生無(wú)法充分領(lǐng)會(huì)相貫線特性的重要障礙。因而，在實(shí)踐教學(xué)中，為了讓學(xué)生能從充分認(rèn)知相貫性的形成過(guò)程和投影規(guī)律，利用現(xiàn)階段成熟的三維建模軟件，配合相關(guān)的動(dòng)畫(huà)技術(shù)，建立三維模型的動(dòng)態(tài)效果來(lái)幫助學(xué)生建立起空間概念是非常有必要的。常用的三維建模軟件有AutoCAD、Solidworks、Pro/E、Catia、3dmax等等，實(shí)際上在當(dāng)前的機(jī)械設(shè)計(jì)過(guò)程中，三維模型造型已經(jīng)滲透到設(shè)計(jì)諸多環(huán)節(jié)中，亦成為工程師繪制工程圖重要的輔助參考，可以說(shuō)三維造型技術(shù)與二維繪圖已融為一體。對(duì)兩正交圓柱體相貫線投影特性，借以三維建模軟件，繪制出兩正交圓柱體相貫時(shí)，豎直圓柱直徑不變而水平圓柱直徑改變時(shí)，相貫線的變化趨勢(shì)與規(guī)律。如圖3所示。

（a）（b）（c）（d）（e）

圖3直徑變化時(shí)兩正交圓柱體相貫線演變趨勢(shì)

結(jié)合前文對(duì)兩正交圓柱體相貫線的數(shù)學(xué)方程的推導(dǎo)結(jié)論，通過(guò)建模軟件的三維造型功能，從圖3可以看出直徑變化時(shí)兩正交圓柱體相貫線演變趨勢(shì)為：豎直圓柱直徑不變而水平圓柱直徑改變時(shí)，當(dāng)豎直圓柱直徑大于水平圓柱直徑時(shí)，相貫線在非積聚性投影面上投影為左右對(duì)稱(chēng)的兩條雙曲線;當(dāng)豎直圓柱直徑等于水平圓柱直徑時(shí)，相貫線在非積聚性投影面上投影為兩條直線，類(lèi)似于“住焙牛壞筆痹倉(cāng)本緞∮謁皆倉(cāng)本妒保喙嵯咴詵腔坌醞隊(duì)懊嬪賢隊(duì)拔舷露猿頻牧教跛摺W苤礁鮒本恫煌倉(cāng)逭皇保湎喙嵯咴詵腔坌醞隊(duì)懊嬪賢隊(duì)拔擼沂竅蚪閑〉腦倉(cāng)宸較虬枷蟯淝？

3投影畫(huà)法

通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們獲得：除相貫線為直線這種特殊情況外，其余兩正交圓柱體相貫線在非積聚性的投影面上投影均為雙曲線。對(duì)于兩正交圓柱體相貫線畫(huà)法可采用表面取點(diǎn)法去求作，求出相貫線上的特殊點(diǎn)，然后再根據(jù)需求求出一般點(diǎn)，最后用光滑的曲線連接各點(diǎn)即可。這好比已經(jīng)知道了該問(wèn)題的答案，只不過(guò)利用表面取點(diǎn)法這種方法來(lái)重演這個(gè)問(wèn)題，抑或說(shuō)求作方法更強(qiáng)調(diào)的是一種過(guò)程，這里估且不去討論表面取點(diǎn)法來(lái)求作相貫線的投影步驟。在現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)中，圖紙上出現(xiàn)兩圓柱體的相貫線情況較多，兩圓柱軸線正交相貫且直徑不相等時(shí)，在不致引起誤解的情況下，通常是采用的簡(jiǎn)化畫(huà)法來(lái)替代取點(diǎn)方法求作相貫線的投影，即以相貫兩圓柱體中較大圓柱的半徑為半徑，以圓弧替代相貫線。所以說(shuō)兩正交圓柱體相貫線在實(shí)際操作中更注重的是最后制圖表達(dá)的效果。兩圓柱體相貫線求解流程圖如圖4所示。

圖4兩圓柱體相貫線求解流程圖

4小結(jié)

工程制圖圓柱體相貫線的教學(xué)中要求學(xué)生重點(diǎn)熟悉和掌握兩正交圓柱體相貫線投影規(guī)律和作圖方法。正確理解和化抽象為具體的思路在于要深度領(lǐng)會(huì)兩正交圓柱體相貫線的投影形狀特征。本文是以數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建立了相貫線的投影方程，如此可強(qiáng)化學(xué)生的邏輯記憶，同時(shí)也具備更強(qiáng)的說(shuō)服力。此外，通過(guò)三維模擬技術(shù)生動(dòng)再現(xiàn)了兩正交圓柱體相貫線的演變趨勢(shì)，這對(duì)學(xué)生從理性再到感性認(rèn)識(shí)度又再次強(qiáng)化，如此可以將兩正交圓柱體相貫線的形狀特征深刻地固化在大腦里，在后期遇到繪制兩正交圓柱體相貫線時(shí)便可快速地作出形狀預(yù)判，結(jié)合簡(jiǎn)化畫(huà)法，在實(shí)際操作中將更為準(zhǔn)確、方便。

基金項(xiàng)目：安徽理工大學(xué)校青年基金（編號(hào)：QN201317）

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