●安徽省東至縣第三中學 查曉寶

厘清知識關(guān)聯(lián)，思路生成自然
——導數(shù)在抽象函數(shù)中的應用

●安徽省東至縣第三中學 查曉寶

導數(shù)是處理函數(shù)問題的有力工具，這里不僅包括具體的函數(shù)，也包括抽象的函數(shù).抽象函數(shù)沒有具體的解析式，理解研究起來比較困難，是高中數(shù)學函數(shù)部分的難點.但抽象函數(shù)問題既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學生的思維能力，因此備受命題專家的青睞.以抽象函數(shù)為背景的導數(shù)問題，在高考中常以把關(guān)題的形式出現(xiàn)，同學們在處理此類問題時常感無從下手，下面簡舉幾例，展示筆者在課堂中的探究過程，以期對同學們解此類問題有所幫助.

一、由局部看整體，化生為熟

例1（2015年新課標）設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）的導函數(shù)，f（-1）=0，當x>0時，xf′（x）-f（x）>0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

師：題目中并沒有給出函數(shù)的具體形式，請仔細審題，如何尋找問題的突破口？

生1：從條件xf′（x）-f（x）<0的形式看，像商的導數(shù)法則.

師：哪兩個函數(shù)的商？

師：觀察一下求導結(jié)果與所給的條件有何異同.

生眾：條件是g′（x）的分子，但分母恒為正，由條件知g（′x）>0，故函數(shù)為增函數(shù).

師：接下來如何處理？要求的結(jié)論是（fx）>0，與g（x）=又有什么關(guān)系？

師：那么當x<0時呢？

生2：因為y=（fx）（x∈R）為奇函數(shù)，y=x也為奇函數(shù)，所以g（x）為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)g（x）在生3：因為（f-1）=0，所以g（-1）=，故函數(shù)g（x）與x軸的兩個交點為（-1，0）、（1，0）.

師：條件的轉(zhuǎn)化已經(jīng)充分到位，如何據(jù)此來判斷（fx）>0時x的取值范圍？

師：圖像的大致形狀確定了，接下來我們還要確定一些關(guān)鍵的信息，比如圖像與坐標軸的交點.

綜上所述，使得f（x）≥0成立的x的取值范圍是（-1，0）∪（1，+∞）.

評析：新課程高考導數(shù)試題命題的宗旨在于考查考生利用導數(shù)工具分析、解決與函數(shù)有關(guān)的問題，為考生求解提供廣闊的想象空間，對于考生分析運用知識、尋找合理的運算程序及推理論證能力提出了較高的要求，也突出選拔功能，因此教學中應注意認真提煉和總結(jié)解題方法，不斷提高邏輯思維能力及運算求解能力.本題能否順利解答，關(guān)鍵是對題目條件的合理轉(zhuǎn)化與準確利用，化生為熟是轉(zhuǎn)化的常用策略，所給的條件與我們所熟悉的知識結(jié)構(gòu)不一定完全相同，可能是我們所熟悉知識的一部分，進而通過部分聯(lián)想整體，找到解題思路.同理，若遇到題目條件為xf′（x）+f（x）≤0（≥0）的情形，可聯(lián)想乘積導數(shù)法則尋找解題思路.

二、懸疑設(shè)問，層層聯(lián)想

例2已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f′（x）>f（x），則下列結(jié)論正確的是（）.

A.f（1）>ef（0）B.f（1）

C.f（1）>f（0）D.f（1）

師：請同學們觀察一下本題與例1的區(qū)別與聯(lián)系，該如何處理？

生4：f′（x）>f（x），即f′（x）-f（x）>0.從形式上看與例1類似，但條件中只有f′（x）與f（x）.

師：缺少的那部分去哪了？

生眾：……

生5：會不會通過與分母約分，消去了？

師：好想法！但f′（x）與f（x），怎么能同時約分？

生5：說明原函數(shù)與導函數(shù)相同.

師：哪個函數(shù)的導函數(shù)與原函數(shù)相同？

生眾：f（x）=ex

師：如何與選項建立關(guān)聯(lián)？

生6：根據(jù)選項，由1>0，得g（1）>g（0），即

評析：從題目所給條件來看，本題較例1，思維難度有所加大，但我們只要把握問題的關(guān)鍵，并不是無根可尋.通過教師引導，層層設(shè)問，使學生經(jīng)歷了探究的過程，在探究過程中，筆者只充當了課堂的引導者，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)及結(jié)論的得出都是通過學生的觀察、分析得出的，整個解題過程中學生積極參與其中，由被動接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹骄空?類似地，定義在2上的函數(shù)（fx）滿足f′（x）>tanx·（fx），我們可以根據(jù)式子的特點，得到 f′（x）cosx>f（x）sinx，f′（x）cosx-f（x）sinx>0，即有f′（x）cosx+f（x）（cosx）′>0，故（（fx）·cosx）′>0，故可構(gòu)造函數(shù)h（x）=（fx）cosx.

三、由整體到局部，各個擊破

例3（2015年福建理科）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導函數(shù)f′（x）滿足f′（x）>k>1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）.

師：觀察所給的條件，與前兩個例題相比又有什么變化？

生眾：所給條件為連不等式？

師：如何處理？

生7：可將f′（x）>k>1分開為兩部分看待，即f′（x）>k及f′（x）>1.由f′（x）>k得f′（x）-k>0，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx，則g（x）在R上單調(diào)遞增.

師：如何與選項建立關(guān)聯(lián)？

評析：在面對一個抽象函數(shù)與導數(shù)、不等式相結(jié)合的問題時，觀察已知條件結(jié)構(gòu)，把條件與所掌握的知識之間構(gòu)建橋梁，與所求問題特點相結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題，是很重要的方法，也是我們需要培養(yǎng)與發(fā)展的重要能力.對于本題，從所給的條件看，難度較例2又有所加大，即將兩個不等式合二為一，審題中只要抓住問題的本質(zhì)，即可化生為熟.我們利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性時，大多數(shù)情況下都是把所得導函數(shù)與0進行比較.本題題設(shè)條件中，有關(guān)f′（x）的信息是f′（x）>k，需要創(chuàng)造條件使其出現(xiàn)與0之間的大小關(guān)系，進而通過移項得到f′（x）-k>0，即可以構(gòu)造函數(shù)解題.

總之，數(shù)學解題的過程就是轉(zhuǎn)化的過程，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，從中尋找解題思路.本文通過問題導引，將知識以問題的形式呈現(xiàn)給學生，從而引導學生對問題進行探究得出一般結(jié)論，既鞏固了知識，又鍛煉了能力，而且增強了學生和教師之間的“互動”，提高了課堂效率.在高中數(shù)學的教學過程當中，將“問題”設(shè)成課堂的核心，把“探究”當成達成教學目的的手段，這樣的課堂教學將教師的教和學生的學統(tǒng)一成一體，在教師的引導下，使學生全身心地投入到課堂教學中來，既提高了課堂效率，又落實了新課程理念.A