●江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

數(shù)學(xué)思維在“碰壁”中“自然生長”
——一節(jié)高三復(fù)習(xí)課的啟示

●江蘇省泰興中學(xué) 吳衛(wèi)東

數(shù)學(xué)歷來被認為是思維的體操.數(shù)學(xué)的價值不僅在于數(shù)學(xué)知識是其他領(lǐng)域的基礎(chǔ)和工具，更在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對人思維的影響，以及對人的抽象概括能力、邏輯推理能力、判斷能力、探索能力的培養(yǎng)，這對人的影響將是終生的.不可否認，數(shù)學(xué)思維作為人類的一種思維方式正發(fā)揮著越來越重要的作用，數(shù)學(xué)對人思維的貢獻是不可沽滅的，無論在什么領(lǐng)域，從事什么工作，數(shù)學(xué)思維對人的影響都是非常深遠的.因此，數(shù)學(xué)教育的靈魂和核心是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該成為數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué).但是一方面數(shù)學(xué)思維無法量化，另一方面數(shù)學(xué)思維的形成是一項長期、系統(tǒng)的工程，因此，在教學(xué)中，究竟如何有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一直困擾著廣大教師.

最近，在省“送教下鄉(xiāng)”活動中，筆者觀摩了一堂高三復(fù)習(xí)課.這堂復(fù)習(xí)課不僅帶來新的教學(xué)理念，而且提供一條值得借鑒的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的途徑，那就是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在“碰壁”中自然“生長”.

一、在碰壁中建構(gòu)思維

圖1

教師拋出問題，先讓學(xué)生思考.數(shù)分鐘后，讓學(xué)生講述解題思路.

思路一：直接利用兩點間距離公式——“看似可行的卻不可行”.

（2）當(dāng)k存在時，設(shè)直線方程為y=kx+3，M（x1，y1），

一般認為，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中存在三種思維活動：數(shù)學(xué)家的思維活動、數(shù)學(xué)教師本身的思維活動、學(xué)生的思維活動.數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是把前兩種思維轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受的思維，而要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的前提是先暴露學(xué)生的思維，捕捉學(xué)生的思維痕跡，然后因勢利導(dǎo)，最終實現(xiàn)學(xué)生思維的重構(gòu).本課正是基于這樣的理念進行設(shè)計的.教師先讓學(xué)生嘗試按照原有的思維進行解題，但結(jié)果學(xué)生的思維處處“碰壁”，從而引發(fā)對原有解題思維的反?。骸按寺凡煌?，必須換條路”.然后，教師稍加引導(dǎo)和點撥，學(xué)生思維就猶如“迷宮中的小球”，經(jīng)過多次“碰壁”后，最終找到了“出口”.

二、在碰壁中優(yōu)化思維

生：想不到.

師：不轉(zhuǎn)化行不行？能不能直接把x1、x2解出來？

生：直接用求根公式解出x1、x2豈不是很煩瑣，一般在解題中都不主張直接求交點坐標.

師：實踐是檢驗真理的唯一標準，要不你們試一下.

思路三：利用求根公式，直接求出交點坐標——“看似煩瑣的卻不煩瑣”.

顯然，“看似煩瑣”的思路三更加自然，數(shù)據(jù)處理也相對容易.但思路三一般學(xué)生不會想到去嘗試的，因為它不符合一般的解題經(jīng)驗.解題一方面可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，但是另一方面大量的重復(fù)訓(xùn)練又容易形成思維定勢.因此，打破思維定勢就顯得尤為重要.波利亞就曾說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個方向是正確的方向、哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們可從各個方向、各個側(cè)面去試驗、變更問題.”通過不同的角度分析問題，探索問題的最佳解決策略，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步得到優(yōu)化，思維定勢自然就不攻而破.

三、在碰壁中活化思維

按理說思路三應(yīng)該是最好的選擇，解題似乎可以暫時告一段落，但教師并沒有停止思維的腳步.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維并不需要做太多的題目，關(guān)鍵是充分挖掘每道題的教育價值.

思路四：借助運動變化思想——“看似特殊的卻不特殊”.

師：如果這道題作為選擇題你會采取怎樣的方法？

師：能不能證明你的猜想.

生：直線在從斜率不存在到和橢圓相切的運動過程中，|MP|在增加，|NP|在減少，所以可以得到

師：你怎么知道“|MP|在增加，|NP|在減少”，如何證明？

經(jīng)過思考，學(xué)生給出的證明過程：設(shè)點Q（x0，y0）是橢則|PQ|2剛好在橢圓的上、下兩頂點處取得最小值和最大值，這就說明了直線在從斜率不存在到與橢圓相切的運動過程中，|MP|遞增，|NP|遞減，所以

思路五：變換解題視角——“看似無用的卻很有用”.

生：……（一臉茫然）

2線處于斜率不存在和橢圓相切位置時，分別取得最小值和最大值，所以

數(shù)學(xué)思維包含深刻性、靈活性、廣闊性、批判性、創(chuàng)造性、敏捷性等六方面的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的核心就是發(fā)展這六個思維品質(zhì).解決問題時力求抓住問題的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，從而訓(xùn)練思維的深刻性；從不同角度、不同方位思考問題的習(xí)慣，進行一題多解、一題多變的練習(xí)，靈活地運用公式、法則、命題，靈活地改變思維方向，以訓(xùn)練思維的靈活性；對一個事實作多方面的解釋，對一個對象用多種方式表達，對一個方法或理論作多方面的應(yīng)用，以訓(xùn)練思維的廣闊性；提倡獨立思考，善于質(zhì)疑，敢于發(fā)表不同意見，能夠抓住典型錯誤，細致分析，及時糾正，以訓(xùn)練思維的批判性；鼓勵學(xué)生大膽探索、猜想，進而訓(xùn)練思維的創(chuàng)造性；同時，采取循序漸進的教學(xué)方式，利用啟發(fā)式教學(xué)，利用問題驅(qū)動，以訓(xùn)練學(xué)生思維的敏捷性.由此可見，本節(jié)課緊扣思維品質(zhì)的這六個方面開展解題教學(xué)，從而系統(tǒng)而全面地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

更難能可貴的是，在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成過程中，教師遵循是“自然”的原則.抓住學(xué)生思維“碰壁”的時機，因勢利導(dǎo)，循循善誘，讓學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)問題的解決思路，自然地建構(gòu)思維、優(yōu)化思維、活化思維，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“自然生長”，這也充分印證了“數(shù)學(xué)是自然”的課程理念.