●江蘇省沭陽如東中學(xué) 洪 兵

追溯本源 挖掘本質(zhì)
——一道課本習(xí)題的拓展、推廣及應(yīng)用

●江蘇省沭陽如東中學(xué) 洪 兵

一、問題的呈現(xiàn)

蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（選修1-1）》習(xí)題2.3有這樣的一道習(xí)題（第7題）：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB、AC的斜率乘積為，求頂點A的軌跡．

這道習(xí)題的設(shè)計，從本節(jié)內(nèi)容上看，實際上承擔(dān)了三個教學(xué)目標(biāo)：一是考查學(xué)生對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解程度，二是考查學(xué)生求軌跡方程的方法——直接法，三是考查學(xué)生對曲線與方程的完備性的理解——去除不合題意的點B、C.這道習(xí)題看似平凡，但是如果對該題進(jìn)行拓展推廣，就會得到一些有關(guān)圓錐曲線的結(jié)論，而這些結(jié)論能夠揭示近幾年高考解析幾何題的命題背景．

二、變式拓展

將上述習(xí)題進(jìn)行一般化，便得到拓展1．

拓展1：平面內(nèi)與兩定點A（-a，0），B（a，0）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的動點P的軌跡是曲線C．當(dāng)m<-1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓（去掉A、B兩點）；當(dāng)m=-1時，曲線C是圓心在原點的圓（去掉A、B兩點）；當(dāng)-10時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線（去掉A、B兩點）．

證明：設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≠±a時，得kPA·

當(dāng)m=-1時，曲線C的方程為x2+y2=a2，C是圓心在原點的圓（去掉A、B兩點）；

由上述結(jié)論可知，平面內(nèi)到兩定點的斜率之積是定值m（m<0，m≠-1）的動點軌跡是橢圓（去掉兩個定點）．那么橢圓上任意一點與橢圓左右兩個頂點的連線的斜率之積是否為定值？經(jīng)過探究，得到拓展2．

如果把拓展2進(jìn)一步延伸，把A（-a，0），B（a，0）改為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，便可以得到拓展3．3已知橢圓，過原點的一條直線交橢

拓展：圓于A、B兩點，點P是橢圓上異于A、B兩點的任意一點，則直線AB與AC的斜率之積證明方法與拓展2類似，此處略，讀者自證

同樣，對拓展3進(jìn)行逆向探究，便得到拓展4．

拓展 ：一點，過點P作直線AP、BP，交橢圓于A、B兩點，PA與PB的斜率之積kPA·kPB=n（n為定值）.

證明：以P為坐標(biāo)原點建立新直角坐標(biāo)系x′O′y′，且新直角坐標(biāo)系的O′x′軸、O′y′軸與原坐標(biāo)系的Ox軸、Oy軸方向相同，則橢圓方程在新坐標(biāo)系下的方程整理得a2y′2+b2x′2+2b2x0x′+2a2y0y′=0． ①

又直線AB不經(jīng)過O′，設(shè)直線AB在新坐標(biāo)系中的方程為sx′+ty′=1，代入①得a2y′2+b2x′2+（2b2x0x′+2a2y0y′）（sx′+ty′）=0，整理得 （a2+2a2y0t）y′2+（b2+2b2x0s）x′2+（2b2x0s+2a2y0t）x′y′=0，此方程兩端同除以x′2，得（a2+2a2y0t）=0.此方程中是關(guān)于的一個一元二次方程，方程的兩個根可以看作直線PA、PB在新坐標(biāo)系下的斜率，而在新坐標(biāo)系和原坐標(biāo)系下直線的斜率不變，由根與系數(shù)的關(guān)系，得=n，整理得2b2x0s-2a2y0nt=na2-b2．

由此可以看出，把這道題放在本節(jié)之后，其針對性非常強(qiáng)，能夠很好地實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)——理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征.而且這種兩條動直線斜率乘積成定值的條件可以構(gòu)造諸如雙曲線和圓的軌跡，它能很好地形成一個思維鏈條把解析幾何中最重要的曲線有機(jī)地聯(lián)系起來，使得橢圓與雙曲線渾然一體，將雙曲線與橢圓的內(nèi)在聯(lián)系揭示得淋漓盡致.作為教材的使用者，如果能夠用心揣摩認(rèn)真研究數(shù)學(xué)本體，領(lǐng)會編者的意圖從而提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷地嘗試，不斷地反思，不斷地總結(jié)，不斷地磨練自己心智的過程！

三、鏈接高考

例1（2011年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科第20題）平面內(nèi)與兩定點A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上A1、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線．

（1）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；

（2）略．

例2（2009年高考數(shù)學(xué)福建卷理科第19題）如圖1，已知A、B分別為曲線C（y≥0，a>0）與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B，且與x軸垂直，S為l上異于點B的一點，連接AS交曲線C于點T．

（1）略；

（2）如圖1，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在a，使得O，M，S三點共線？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

解析：（2）由拓展2易證，此處略．

例3（2010年高考數(shù)學(xué)

圖1

圖2

（1）、（3）略.

（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l2：y=k2x于點E．若證明：E為CD的中點.

解析：（2）在圖2中，連接CO交橢圓于點F，因為CF過原點，D是橢圓上的點，由拓展3可知即DF平行于OE.又因為O是CF的中點，故E是CD的中點．

例4（2011年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k．

圖3

（1）、（2）略；

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB．

例5（2010年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設(shè)過點T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0．

圖4

（1）、（2）略；

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）．

解析：（3）連接BM，設(shè)AM，BN，BM的斜率為kAM，kBN，kBM，由題意可知，A（-3，0），B（3，0），故由拓展5可知，MN必過x軸上的定點（1，0）．

四、幾點反思

1.源于課本，對教材實施“再開發(fā)”

課本是重要知識點的精華與濃縮，往往言簡意賅，或是限于篇幅，有些過程未詳細(xì)說明導(dǎo)致學(xué)生常常產(chǎn)生思維障礙.這是教師必定要充當(dāng)教材與學(xué)生之間的協(xié)調(diào)者，對教材所呈現(xiàn)的思維鏈接進(jìn)行“再開發(fā)”.對教材實施“再開發(fā)”中，通過暴露教師或教材編寫者的思維過程，對跳躍性的內(nèi)容進(jìn)行“加密”、拓展、補(bǔ)充和完善，才能使教材變得豐滿和易于接受，真正從“教教材”到“用教材教”.

2.變式、引申、推廣是促進(jìn)理解、研究問題的常用手段

數(shù)學(xué)的魅力就在于“變化”，在變化中求得重復(fù)，在重復(fù)中獲取變化.有“變”才能“活”，設(shè)計恰當(dāng)?shù)摹白兪健?，能避免讓學(xué)生反復(fù)地練習(xí)同一題型，避免學(xué)生在低水平層次之間反復(fù)的重復(fù)，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地理解知識，從而使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化，思維能力得到拓寬和加強(qiáng).因此，我們要認(rèn)真鉆研教材，吃透教材的精神和實質(zhì)，把握好教學(xué)的重難點，挖掘教材編寫者的“言外之意”，彈奏出教材文本的“弦外之音”，通過對問題進(jìn)行變式、引申、推廣，把“露出海面的冰山一角”的其余部分挖掘出來.

3.教師要加強(qiáng)自身的修養(yǎng)

張奠宙、趙小平教授指出：數(shù)學(xué)教師還是要清醒一些，繼續(xù)保持自己的“一桶水”，而不是“一碗水”.新課程標(biāo)準(zhǔn)實施以來，教師的地位從知識的傳輸者變成了學(xué)生學(xué)習(xí)的“組織者、參與者、引導(dǎo)者”，與學(xué)生的關(guān)系是平等的，唯一的優(yōu)勢是“首席”而已.一堂課的時間是有限的！又怎能面對學(xué)生提出的各種問題？又怎能提高學(xué)生的各種能力？因此，教師不僅要有“一桶水”，還要立足課本，對教材實施“再開發(fā)”，研究教育規(guī)律，掌握先進(jìn)的教育理念，學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)，再學(xué)習(xí)；研究，研究，再研究.才能繼續(xù)保持自己的“一桶水”，也才能把自己的“一桶水”變成學(xué)生的“一碗水”.