●江蘇省如東縣豐利中學(xué) 顧愛軍

開展探究教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生主動構(gòu)建知識
——以正弦定理的教學(xué)為例

●江蘇省如東縣豐利中學(xué) 顧愛軍

隨著課程改革的不斷深入與發(fā)展，傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)逐漸退出了舞臺，小組探究式教學(xué)越來越受到多數(shù)教師的青睞，新課程標準也明確提出：讓學(xué)生在自主探究與合作交流中自主建構(gòu)知識.在一師一優(yōu)課、一課一名師活動中，筆者執(zhí)教了“正弦定理”一課，在教研團隊的幫助下，取得了較好的效果.本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維.現(xiàn)把教學(xué)過程等整理成文，與讀者交流、研討，以期拋磚引玉.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章.正弦定理（第一課時），是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)等知識后學(xué)習(xí)的，顯然是對三角知識的應(yīng)用.同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用十分廣泛.

根據(jù)實際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實際問題的探索，大膽提出猜想；第二層次，由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角關(guān)系的驗證，通過“作高法”“等積法”“外接圓法”“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形的面積公式；第三層次，利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應(yīng)用.學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察—實驗—猜想—證明—應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神.

二、教學(xué)過程實錄

（一）結(jié)合實例，激發(fā)動機

師：展示情景圖（如圖1），船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為600m，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得C、A之間的距離，如果船上有測角儀，我們能否計算出A、B間的距離？

圖1

生：測量角A、C.

師：若測得∠BAC=75°，∠ACB=45°，要計算A、B兩地的距離，你有辦法解決嗎？

生：畫一個三角形A′B′C′，使得B′C′為6cm，∠B′A′C′=75°，∠A′C′B′=45°，量得A′、B′間的距離約為4.9cm，利用三角形相似的性質(zhì)可知AB約為490m.

師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？

（師生共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角；②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角）

師：△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？

生：過A作AD⊥BC于D，把△ABC分為兩個直角三角形，……（解題過程由學(xué)生闡述，教師板書）

師：若AC=b，AB=c，能否用B、b、C表示c呢？

設(shè)計意圖：興趣是最好的老師.如果一節(jié)課有良好的開頭，那么就意味著成功了一半.因此，筆者通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思想意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

（二）數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想

（1）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C分別為60°、60°、60°，對應(yīng)的a∶b∶c為1∶1∶1，對應(yīng)角的正弦值分別為的關(guān)系.（學(xué)生回答它們相等）

（學(xué)生按事先安排分組，教師出示實驗報告單，讓學(xué)生閱讀實驗報告單，然后質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動手計算）

（學(xué)生分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度，通過實驗數(shù)據(jù)計算，比較的近似值）

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)實驗，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望.學(xué)生自己進行實驗，體會到數(shù)學(xué)實驗的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面.

（三）證明猜想，得出定理

師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗，有多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面的探索過程對我們有沒有啟發(fā)？

（學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)）

生：①在Rt△ABC中，成立，如前面的檢驗.

②在銳角三角形中，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC，垂足為D.在Rt△ABD中，sinB=，則AD=AB·sinB=c·sinB.

師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)課后再探索.

設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程.

（四）利用定理，解決引例

師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題.

（五）了解解三角形概念

師：一般地，把三角形的三個內(nèi)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形.

設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會用新的知識、新的定理，解決問題更方便、更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望.

（六）運用定理，解決例題

（師引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決的問題）

生：①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如

目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補充交流.

設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使學(xué)生體驗到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”“我要研究”的主動學(xué)習(xí).

（七）嘗試小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；（2）正弦定理的應(yīng)用范圍，即①已知三角形的任意兩角及一邊，求其他元素，②已知三角形的任意兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素；（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想.

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達能力.

三、教后思考

本節(jié)定理教學(xué)課，把重點放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學(xué)只注重結(jié)論的傾向.首先，利用解決一個可測量兩角及一對邊，求另一對邊的實際問題引入，在解決實際問題中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形的三邊與其對應(yīng)角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角形成立；接著證明這個定理.在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過程，使學(xué)生感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時讓學(xué)生體驗了“觀察—實驗—歸納—猜想—證明”的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷了知識形成的過程，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新，符合新課標重視過程與方法的理念.其次，在解決引例中的測量問題時，利用初中的相似三角形知識、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三角形、輔助以三角形的外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了“在已有知識體系的基礎(chǔ)上去建構(gòu)新的知識體系”的理念，加強了知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性.定理證明的方法，滲透了分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.但是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容還是偏多，在時間分配上要有規(guī)劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條件更加明確、直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費時間.A