何小燕（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010071）

淺談常微分方程的教學(xué)方法

何小燕
（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010071）

0　引言

常微分方程已經(jīng)出現(xiàn)了很長(zhǎng)時(shí)間，所以對(duì)它的研究也很漫長(zhǎng)，初期主要是求通解，它的解是用初等函數(shù)或超函數(shù)來表示。在不同的階段人們選擇的方法也是不同的：變量變換解決一階微分方程是萊布尼茨研究的；積分因子解決是歐拉提出來的.而一些特殊方程如伯努利方程、黎卡蒂方程，是后人為紀(jì)念他們的研究成果而名字命名的微分方程。對(duì)于一階常微分方程的初等解法，不僅要掌握的它的自身特點(diǎn)，還應(yīng)了解其與實(shí)際問題的密切聯(lián)系。通過對(duì)初等解法進(jìn)行歸類，可以有條理地進(jìn)行求解，最起碼可以很快判斷出所給方程的類型，然后利用各自的特征快速解出結(jié)果。不用死記一些解法，更重要的是訓(xùn)練自己思維方法。

1　基本方法的歸納總結(jié)

1.1變量分離方程

變量分離形如：

的方程，這里f（x），φ（y）分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。其實(shí)這是函數(shù)里最簡(jiǎn)單的一種一階函數(shù)形式。如果φ（y）≠0，我們可將（1）改寫成dy=f（x）dx，顯然變量φ（y ）已經(jīng)“分離”出來了，然后給兩邊同時(shí)積分，得：

1.2常數(shù)變易方程

（1）線性微分方程定義方程：首先未知函數(shù)y和導(dǎo)數(shù)y'都是一次的，也就是一階線性微分方程。

當(dāng)Q（x）≡0，那么（3）是齊次的，即可分離變量的微分方程。

當(dāng)Q（x）≠0，那么（3）是非齊次的，求解方法是首先把Q（x）換為0，即：

為（3）的齊次微分方程，其解為 y=ce-∫P（x）dx，這里c是任意常數(shù)。（3）的解可利用常數(shù)變易法，用u（x）代替

是方程（3）的通解，這里c是任意常數(shù).

此方法比較簡(jiǎn)便，所以在以后解方程的時(shí)候，就可以直接用運(yùn)（5）式來求解。

（2）伯努利微分方程

①形如

的方程就是伯努利方程P（x），Q（x）都是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)，如果n=0，1時(shí)，就是一階線性微分方程，直接就可用常數(shù)變易法求得結(jié)果。對(duì)于y≠0，在方程（6）兩邊同乘y-n，得：

引入變量變換：

從而：

將（8），（9）代入（7），得到：

為一階線性微分方程而且是非齊次線性微分方程，就可利用（5）求得它的通解：

然后將原來的變量代入，得到的便是（6）的通解.這里不要忘了在n＞0時(shí)，還有y=0的解。

（2）伯努利微分方程的解題步驟可以有以下：

①兩端同乘（1-n）yn；②代換z=y1-n；③解關(guān)于z的線性微分方程；④還原。

1.3恰當(dāng)微分方程求解

說明一下 φ（y）是 y的任意可微函數(shù)，現(xiàn)要求有

由此：

又因?yàn)椋?/p>

再對(duì)（13）關(guān)于y積分，得到：

將（14）代入（12），可得：

所以，恰當(dāng)微分方程（11）的通解就是：

這里c是任意常數(shù)。

1.4積分因子法

則稱μ（x，y）為方程（11）的積分因子。

這時(shí)v（x，y）=c是（17）的通解，因此也就是（16）的通解［2］。

①觀察法

求積分因子的最早方法就是觀察法，主要目的就是湊成恰當(dāng)微分方程，因?yàn)楹?jiǎn)單明了，當(dāng)我們遇到例題時(shí)再做進(jìn)一步解說。

②公式法

要使函數(shù)μ（x，y）為（16）的積分因子，則其充要條件是即：

（3）分組法

分組法針對(duì)的就是一類較復(fù)雜的微分方程，因?yàn)樗鼈冸y用觀察法和公式法直接求出，這時(shí)找積分因子就需要運(yùn)用分組積分因子法。

2　結(jié)語

以上是對(duì)一階常微分方程的初等解法技巧的幾種解法的總結(jié)，希望學(xué)生可以熟悉各種類型方程的解法，并正確而又快捷地判斷所給出的方程屬于何種類型，從而按照所掌握的方法進(jìn)行求解.但實(shí)際所遇見的方程未必都恰好是所介紹的，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中要多注意學(xué)習(xí)解題的技巧，學(xué)會(huì)舉一反三，以不變應(yīng)萬變，尤其能結(jié)合計(jì)算機(jī)去解決一些復(fù)雜難算的問題，這樣我們就可以掌握學(xué)習(xí)中的許多樂趣，也可以輕松解決一些問題。

［1］王高雄，朱思銘，周之銘，王壽松，李艷會(huì).常微分方程（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］龔雅玲.求解微分方程的積分因子法［J］.南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（01）.

［3］溫啟軍，張麗靜.關(guān)于積分因子的討論［J］.長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2006（10）.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［5］湯光宋，余復(fù)民.應(yīng)用交換變量位置法解兩類一階常微分方程［J］.蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1996（1）：20-25.

Ordinary Differential Equation；Variable Separation Method；Constant Variation Method；Integral Factor Method

Discussion on the Teaching Mode of Ordinary Differential Equation

HE Xiao-yan
（Inner Mongolia Institute of Finance and Economics，Hohhot 010071）

1007-1423（2015）23-0059-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.23.014

何小燕（1983-），女，內(nèi)蒙古人，碩士研究生，講師，研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)與控制

2015-07-03

2015-08-10

常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何的應(yīng)用于發(fā)展。在講授一階微分方程求解的過程中，有多種求解方法與技巧。根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，歸納總結(jié)給出求解一階微分方程的基本方法，如一變量分離法、常數(shù)變易法、恰當(dāng)微分方程以及積分因子法等，便于學(xué)生更好地了解和掌握一階微分方程的初等解法。

常微分方程；變量分離法；常數(shù)變易法；積分因子法

Ordinary differential equations is one of the required professional course for professional mathematics，and the application and development of the mathematical analysis，higher algebra and analytic geometry.In the process of learning of one order differential equation，there are many solving methods and techniques.Gives the general separation of variables，constant variation method，exact differential equation and the basic ways of integrating factor method，presents the basic method of application，so convenient we better understand their own characteristics.