趙前程

（1.東北財經(jīng)大學 數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院，遼寧 大連 116025；2.大連海洋大學 經(jīng)濟管理學院，遼寧 大連 116023）

JSZ期限結(jié)構(gòu)模型對我國債券收益率曲線的擬合實證

趙前程1，2

（1.東北財經(jīng)大學 數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院，遼寧 大連 116025；
2.大連海洋大學 經(jīng)濟管理學院，遼寧 大連 116023）

利率期限結(jié)構(gòu)是指債券的到期收益率與到期期限之間的關(guān)系，該結(jié)構(gòu)可以通過利率期限結(jié)構(gòu)圖表示，圖中的曲線即為收益率曲線。本文利用JSZ模型對我國債券市場利率期限結(jié)構(gòu)模型進行估計，擬合效果好，而且運算速度比卡爾曼濾波更快。本文旨在提煉出JSZ模型的精華內(nèi)容并闡述其計算的邏輯過程，并用于擬合我國銀行間固定利率債券，使研究利率期限結(jié)構(gòu)學者能快速掌握JSZ模型的核心思想及其應用。

JSZ模型；利率期限結(jié)構(gòu)；卡爾曼濾波

對高斯動態(tài)期限結(jié)構(gòu)模型（GDTSM）的估計大多采用卡爾曼濾波方法，這種方法的最大問題是模型中的變量太多，如果初始值設(shè)置的不好，模型不易收斂，或因計算過程中矩陣出現(xiàn)奇異矩陣，造成運算無法繼續(xù)運行或結(jié)果不準確。JSZ模型是Scott Joslin、Kenneth J.Singleton、HaoxiangZhu（2011）提出，用于利率期限結(jié)構(gòu)模型的估計。但JSZ（2011）文章內(nèi)容較多，晦澀難懂，筆者下面的內(nèi)容旨在提煉出JSZ模型的精華內(nèi)容及其在我國債券收益率曲線擬合過程中的應用，相應的文獻綜述和證明過程請參考JSZ（2011）原文。

1　JSZ模型的核心

JSZ模型描述如下：

Xt是定價因子，∑x∑x′是Xt的條件協(xié)方差矩陣，εtP，εtQ～N（0，IN）。

對于0息票債券模型收益率仍然遵循Duffiee和Kan（1996）仿射函數(shù)，表示成：

Am，Bm滿足Riccati差分方程：

（1）、（2）、（3）、（4）是JSZ模型的規(guī)范化形式，為了便于計算，在命題1中JSZ給出其規(guī)范形式的等價形式：

任何規(guī)范的GDTMS觀測上等價于下面形式：

與標準的規(guī)范形式不同之處是：t是單位1向量，∑X是下三角矩陣，是按順序排列的約當型（Jordan）矩陣。

各個約當塊是按特征值的順序排列（從大到小）。

這種等價形式簡化了運算過程，而且便于計算機的處理，但定價因子Xt仍然是不可觀測變量，因此，JSZ給出定理1，存在可觀測的定價因子Ft=Wyt，任何規(guī)范的GDTMS等價于下面的模型：

在此模型里，定價因子可以用可觀測變量代替，假設(shè)名為Ft，這樣不可觀測的定價因子Xt變?yōu)榭捎^測的定價因子Ft，可以假定N個0息票債券或其線性組合可以被模型精確定價；Ft的Q分布可以描述成參數(shù)：

綜上所述，JSZ模型設(shè)置了2個測度P和Q，2種定價因子，可觀測的P和不可觀測的X，因此模型顯得復雜，但運算并不復雜，JSZ對似然函數(shù)的處理進一步簡化了估計難度。P測度下可觀測的收益率的條件似然函數(shù)為：

這樣，參數(shù)而JSZ模型只有前4個參數(shù)，存在實質(zhì)性的改進。

2　JSZ模型對我國國債利率期限結(jié)構(gòu)的實證

這里選取銀行間固定利率國債收益率數(shù)據(jù)，時間是從2006 年3月到2014年2月，取每月最后一天的數(shù)據(jù)，期限取6月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。每一期限共計96個月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源是wind數(shù)據(jù)庫。數(shù)據(jù)的基本情況如圖1所示。

圖1銀行間固定利率國債收益率數(shù)據(jù)基本情況圖

為了利用Matlab軟件編程，將式（6）到式（11）描述成計算機可以處理的形式：

在P測度下：

F（t+1）-F（t）=K0P_F+K1P_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

在風險中性Q測度下：

X（t+1）-X（t）=K0Q_X+K1Q_X*X（t）+eps_X（t+1）

其中：Cov（eps_X（t+1））=Sigma_X

F（t+1）-F（t）=K0Q_F+K1Q_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

式（4）描述成計算機處理形式為：

模型收益率Yt=AF’+BF’*F（t）或：Yt＝AX’＋BX’*X（t）

利用JSZ模型及JSZ提供的Matlab工具箱，對模型的各參數(shù)進行估計，結(jié)果如下：

AF=［-0.076 9 0.075 8 0.101 1-0.026 3-0.190 7-0.0831 0.217 7］

BF=［0.458 30.459 00.435 80.399 90.328 70.273 5 0.216 7-0.4501-0.336 5-0.106 50.091 40.357 50.488 3 0.548 3-0.630 4-0.019 5 0.471 0 0.485 80.139 0-0.183 7 -0.441 0］

AX=［0.747 21.546 22.821 03.716 04.809 25.399 5 5.688 2］

BX=［0.975 50.947 10.893 70.844 30.756 10.680 4 0.585 80.873 10.748 30.565 00.441 60.294 90.216 2 0.152 50.869 80.742 50.556 90.433 20.287 80.210 5 0.148 4］

K0P_F=［-0.108 6 0.224 8-0.286 7］

K1P_F=［-0.050 00.182 40.001 8-0.013 1-0.129 3 -0.431 9 0.001 7-0.003 4-0.467 9］

K0Q_F=［0.274 1 0.122 7-0.050 3］

K1Q_F=［-0.005 10.075 80.285 0-0.006 8-0.008 4 -0.191 0-0.003 8 0.005 6-0.107 1］

K0Q_X=［0.315 0 0.000 0 0.000 0］

K1Q_X=［-0.009 9 0.000 0 0.000 0 0.000 0-0.054 6

0.0000 0.000 0 0.000 0-0.056 1］

下面對比模型的擬合值和實際值，如圖2所示。

圖2 JSZ模型計算的收益率數(shù)值與實際值比較

圖2中黑色實線表示實際值，紅色實線（如果無顏色，則是較淡的曲線）表示模型求得的擬合值，如果不放大圖，二者幾乎重合，說明JSZ模型非常好地擬合收益率曲線數(shù)據(jù)。

3　結(jié)論

JSZ模型可以很好地擬合我國銀行間國債收益率曲線，而且收斂的速度比用卡爾曼濾波技術(shù)快得多，幾秒完成運算。使用卡爾曼濾波需要設(shè)置初始值較多，如果設(shè)置不好，收斂的速度會非常慢，甚至不收斂，而JSZ模型無此問題。JSZ模型的另一個優(yōu)點是需要估計的參數(shù)少，三因子模型只有4個，利用卡爾曼濾波需要估計22個參數(shù)。JSZ模型本身也非常靈活，感興趣學者可以在此基礎(chǔ)上加入宏觀經(jīng)濟變量，來分析利率期限結(jié)構(gòu)與宏觀經(jīng)濟之間的關(guān)系。

主要參考文獻

［1］D Duffie，R Kan.A Yield-factor Model of Interest Rates［J］.MathematicalFinance，1996（6）：379-406.

［2］S Joslin，K Singleton，H Zhu.A New Perspective on Gaussian DTSMs［J］.The Review of Financial Studies，2011，24（3）：926－970.

［3］S Joslin.Pricing and Hedging Volatility in Fixed Income Markets［R］.Working Paper，MIT，2007.

［4］S Joslin，A Le，K Singleton.The Conditional Distribution of Bond Yields Implied by GaussianMacro－finance Term Structure Models［R］.Working Paper，Sloan School，MIT，2010.

［5］S Joslin，M Priebsch，K Singleton.Risk Premiums in Dynamic Term Structure Models with UnspannedMacro Risks［R］.Working Paper，Stanford University，2010.

［6］S Joslin，K Singleton，H Zhu.Supplement to“A New Perspective on Gaussian DTSMs.”［R］.WorkingPaper，Sloan School，MIT，2010.

［7］李宏瑾.市場預期、利率期限結(jié)構(gòu)與間接貨幣政策轉(zhuǎn)型［M］.北京：經(jīng)濟管理出版社，2013.

［8］周榮喜，楊豐梅.利率期限結(jié)構(gòu)模型：理論與實證［M］.北京：科學出版社，2011.

10.3969/j.issn.1673-0194.2015.17.061

F812.5

A

1673-0194（2015）17-0115-03

2015-07-16