王蓮花，楊伏香，徐明潔

（1.北京物資學(xué)院信息學(xué)院，北京 101149；2.河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南鄭州 450008；3.河南教育學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州 450046）

特征值與特征向量考研題型分析

王蓮花1，楊伏香2，徐明潔3

（1.北京物資學(xué)院信息學(xué)院，北京 101149；2.河南水利與環(huán)境職業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南鄭州 450008；3.河南教育學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州 450046）

分析近幾年線性代數(shù)有關(guān)特征值和特征向量考研試題，歸納相關(guān)題型，強(qiáng)調(diào)理解數(shù)學(xué)基本概念及培養(yǎng)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的重要性.

特征值；特征向量；相似對(duì)角化；正交變換；二次型

矩陣的特征值和特征向量是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，也是全國(guó)碩士研究生考試的重點(diǎn)之一，不僅出題較多，而且分值較大.因此，無論是授課教師還是考研學(xué)生都要給予充分的重視.矩陣的特征值和特征向量常與矩陣多項(xiàng)式的特征值、行列式、相似對(duì)角化和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起進(jìn)行考核，從每年的考研試題來看，要解決好相關(guān)問題均需要有清晰的數(shù)學(xué)概念、扎實(shí)的基本功以及靈活的解題技巧.下面結(jié)合近幾年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題為例，分析有關(guān)特征值和特征向量的主要題型及涉及的主要知識(shí)點(diǎn)，指出理解數(shù)學(xué)基本概念和培養(yǎng)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的重要性.

1 根據(jù)矩陣的特征值求與之相關(guān)矩陣的特征值或行列式問題

2 根據(jù)矩陣的特征值和特征向量討論矩陣的相似對(duì)角化問題

例2 設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=O，A的秩為3，則A相似于（ ）［2］.

考查知識(shí)點(diǎn)及解題思路分析：根據(jù)例1的知識(shí)點(diǎn)求出A的特征值，再根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣一定與它的特征值組成的對(duì)角矩陣相似及相似矩陣具有相同的秩，就可以確定選項(xiàng).

解設(shè)λ為A的特征值，由A2+A=O，所以λ2+λ=0，即（λ+1）λ=0，所以A的特征值為-1或0.又A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，故A可以對(duì)角化，即A～Λ.

考查知識(shí)點(diǎn)及解題思路分析：本題是一個(gè)綜合性試題，雖是證明，實(shí)則計(jì)算題，該題綜合考查如下知識(shí)點(diǎn)：①矩陣特征值的求法；②實(shí)對(duì)稱矩陣必與特征值組成的對(duì)角陣相似；③齊次線性方程組（λE-A）x=0的基礎(chǔ)解系含有n-r解向量，其中r=r（λE-A）；④n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；⑤相似具有傳遞性.按照這個(gè)思路，本題容易得到證明.

3 根據(jù)矩陣的特征值和特征向量化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形問題

4 根據(jù)矩陣的特征值和特征向量反求矩陣問題

考查知識(shí)點(diǎn)及解題思路分析：本題考查求矩陣的特征值和特征向量知識(shí)；實(shí)對(duì)稱矩陣必可以對(duì)角化，對(duì)角化矩陣的對(duì)角線上的元素即為矩陣的特征值.而變換矩陣則由特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成.本題所涉及的知識(shí)均是常考的知識(shí)點(diǎn)，屬于基本類型.

解（1）由于A的秩為2，故0是A的一個(gè)特征值.由題設(shè)可得所以-1是A的一個(gè)特征值，且α1=（1，0，-1）T是屬于-1的一個(gè)特征向量，故屬于-1的所有特征向量為k1α1（k1≠0）.

綜上所述，矩陣的特征值和特征向量是考研的重要內(nèi)容之一，不僅有分值為4分的選擇題和填空題，而且有分值為11分的解答題和證明題.要想輕松解出這些題目，需要熟練掌握如下3方面的基本內(nèi)容：①特征值、特征向量的概念和性質(zhì)；②相似矩陣的定義、性質(zhì)及矩陣可對(duì)角化的條件；③正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的相關(guān)理論.同時(shí)，還要具有較扎實(shí)的基本功，以確保在計(jì)算時(shí)既快捷又不出差錯(cuò)，再加上靈活的解題技巧，才能取得理想的成績(jī).

［1］ 233網(wǎng)校.2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題［EB/OL］.［2015-01-06］.http：//www.233.com/newsfiles/2014-12/29/ 00000/.jpg.

［2］ 教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱：2011版［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［3］ 教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱：2013版［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［4］ 教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱：2015版［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［5］ 教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱：2012版［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［6］ 教育部考試中心.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱：2014版［M］.北京：高等教育出版社，2013.

The Topic Analysis on M atrix Eigenvalues and Eigenvectors of the Nationw ide M aster’s Entrance Exam ination

WANG Lian-hua1，YANG Fu-xiang2，XU Ming-jie3

（1.College of Information，Beijing Wuzi University，Beijing 101149，China；2.Department of Mathematics，Henan Vocational College of Water Conservancy and Environment，Zhengzhou 450008，China；3.Academic Adm inistration，Henan Institute of Education，Zhengzhou 450046，China）

The test questions on matrix eigenvalues and eigenvectors of the nationwide master’s entrance exam ination are analysis and summarized.The importance of understanding basic mathematics concepts and applyingmathematics flexibly is emphasized.

eigenvalues；eigenvectors；similarity diagonalization；orthogonal transformation；quadratic form

O172. 2；G642.0

A

1007-0834（2015）03-0054-05

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.03.014

2015-03-04

北京市信息類特色專業(yè)建設(shè)資助項(xiàng)目（PXM 2015-014214-000039）

王蓮花（1964—），女，河南寧陵人，北京物資學(xué)院信息學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：代數(shù)及其應(yīng)用.