錢金宇 嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

一位教師執(zhí)教蘇教版三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”——

師：“熊媽媽準(zhǔn)備了一箱蘋果，平均分給兄弟倆，每人得到這箱蘋果的幾分之幾？”

生：“每人得到這箱蘋果的?！?/p>

師：“你們猜猜這個(gè)箱子里會(huì)有多少個(gè)蘋果？請(qǐng)同學(xué)們拿出空的蘋果箱（磁性小黑板）和信封里的蘋果（磁性紅色圓片），我們來幫熊媽媽分一分。”

教師挑選2個(gè)蘋果、4個(gè)蘋果和6個(gè)蘋果的學(xué)生作品板貼在黑板上，并讓學(xué)生向全班介紹自己小組的作品。

此時(shí)，有一位學(xué)生小聲詢問：“老師，我猜這個(gè)箱子里有3個(gè)蘋果，可以嗎？”

是啊，其他學(xué)生也產(chǎn)生了同樣的疑問：箱子里可以是5、7、9……個(gè)蘋果嗎？

教師反問道：“這樣能分嗎？”

學(xué)生沒能分出結(jié)果來，教師趁機(jī)告訴學(xué)生：“其實(shí)呀，不管箱子里有多少只蘋果，只要是平均分成2份，每一份都是它的。”

……

在課的最后環(huán)節(jié)，教師出示一條線段（如下圖），提問：“你能找到嗎？”

許多學(xué)生在這條線段上找到這樣的結(jié)果（如下圖）：

教師接著啟發(fā)：“你還能找到嗎？”

許多學(xué)生找到了更多的（如下圖）：

……

此時(shí)，有一位學(xué)生找到了這樣的（如下圖）：

教師追問：“你是怎么想的？”

這位學(xué)生回答：“這個(gè)地方正好是這條線段的一半?！?/p>

教師順勢(shì)在他的作品上添加了兩個(gè)大括號(hào)，擦掉了原來的，添上了這樣的兩個(gè)（如下圖）：

教師接著補(bǔ)充道：“其實(shí)這位同學(xué)的意思也就是把剛才的這兩張圖（如下圖）合在了一起?！?/p>

……

【“問”：病歷記錄】

課后，筆者問執(zhí)教教師：“在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，你有沒有想到學(xué)生會(huì)想到一個(gè)箱子里有3、5、7、9……個(gè)蘋果這些可能呢？”

“我想到的?！苯處熜赜谐芍竦鼗卮?，“但我在反饋時(shí)可以只選一個(gè)箱子里有2、4、6、8……個(gè)蘋果這些例子?！?/p>

“那如果是一個(gè)箱子里有3、5、7、9……個(gè)蘋果，你覺得可以平均分成2份嗎？”筆者接著問。

“這個(gè)……還真不好分。教材也沒選擇這些數(shù)據(jù)?！贝藭r(shí)，教師有點(diǎn)懊悔，“都是開放惹的禍?！?/p>

……

之后，筆者找來一些學(xué)生，問：“你會(huì)把3個(gè)蘋果平均分給兩個(gè)人嗎？”

有學(xué)生這樣分：“先每人1個(gè)，然后把剩下的1個(gè)一分為二，每人分得半個(gè)，合起來就是每人分得一個(gè)半蘋果。”

……

最后，筆者找來那個(gè)說“這個(gè)地方正好是這條線段的一半”的學(xué)生，問：“老師的解釋，是你想說的意思嗎？”

這位孩子搖了搖頭，又點(diǎn)了點(diǎn)頭，也說不清楚。

……

【“切”：病理診治】

上述這節(jié)三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體（一群物體）的幾分之一”的新授課，可以說是由“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之幾”到“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之幾”的重要轉(zhuǎn)折，從分?jǐn)?shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”，是學(xué)生認(rèn)識(shí)的一次飛躍，也是學(xué)生分?jǐn)?shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，教師教得累，學(xué)生也學(xué)得累。

在起點(diǎn)教材“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一”這一節(jié)課中，一開始就由例題情境圖（如下圖）分得的結(jié)果“個(gè)”這個(gè)具體數(shù)量轉(zhuǎn)換成“一個(gè)蛋糕的”，其中“”成了表示部分與整體之間關(guān)系的一個(gè)數(shù)。

之后，教材開始專門長(zhǎng)時(shí)間地研究這種表示兩者關(guān)系的分?jǐn)?shù)，以致一看到分?jǐn)?shù)，腦海中就會(huì)跳出“誰(shuí)是（占）誰(shuí)的幾分之幾”，例如上述課例最后環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，“你能找到嗎？”的本意應(yīng)該是“你能找到這條線段的嗎？”只是教師在匆忙中漏說了單位“1”。教師的意圖是想讓學(xué)生能夠找到“這條線段的”的多種表示方法，由此它可以看成一個(gè)開放性問題。事實(shí)證明，學(xué)生確實(shí)能夠依據(jù)部分與整體之間的關(guān)系找到更多的“這條線段的”。

在此，筆者想說的是，其中有一位學(xué)生提出與眾不同的觀點(diǎn)——“這個(gè)地方正好是這條線段的一半”值得我們思考，從課后的交流看，這尚是學(xué)生一種模糊的直覺，他或許表達(dá)的依然是“這個(gè)地方把這條線段一分為二，每一份是這條線段的”，這也就是教師隨后的處理操作。我們繼續(xù)揣測(cè)，如果他想表達(dá)的是“只有這個(gè)地方（這個(gè)點(diǎn)）正好是這條線段的一半，其他地方（其他點(diǎn)）都不能用這個(gè)數(shù)表示”，那么恰好給了教師趁機(jī)進(jìn)行知識(shí)延伸的機(jī)會(huì)，教師可以作這樣的技術(shù)處理：把線段巧妙地變成數(shù)軸（如下圖），或者先變成一條數(shù)射線（可視為數(shù)軸的雛形），充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。

在此意義上，“你能找到嗎？”這一屬于教師沒說清楚的開放性問題，反而給了學(xué)生更大的思考空間，只要教師合理引導(dǎo)，學(xué)生就可以豐富對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。如果教師具有高超的資源捕捉能力和轉(zhuǎn)化能力，此時(shí)就不必為沒說清楚的教學(xué)“事故”而懊悔，相反應(yīng)該為能導(dǎo)出不可多得的生成資源這樣的教學(xué)“故事”而感到高興?？梢哉f，掌握分?jǐn)?shù)概念的重要標(biāo)志是理解分?jǐn)?shù)所表征的這些相關(guān)但不同的意義。

在教學(xué)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之幾”的時(shí)候，盡管我們只需要關(guān)注分得的份數(shù)和取得的份數(shù)（上述課例設(shè)計(jì)，教師之所以把“一個(gè)箱子”作為教學(xué)素材，也是想刻意回避總數(shù)和每份數(shù)等具體數(shù)量），然而學(xué)生很難繞開以往具體數(shù)量的思維慣性，總想算一算總數(shù)被平均分后每份數(shù)是多少。于是，課中學(xué)生提出“老師，我猜這個(gè)箱子里會(huì)有3個(gè)蘋果，可以嗎？”這樣的問題，其實(shí)并不奇怪。

對(duì)這個(gè)問題，執(zhí)教教師之所以感到難以回答，從課后的交流中可以獲知，是教師認(rèn)為它們難以“平均分”，然而學(xué)生卻有辦法——“先每人1個(gè)，然后把剩下的1個(gè)一分為二……”當(dāng)然，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生這樣“平均分”：把每個(gè)蘋果一分為二，得到6個(gè)半塊，然后把6個(gè)半塊作為一個(gè)整體平均分成2份，每份3個(gè)半塊，合起來就是1個(gè)半蘋果（如下圖）。由此可見，3個(gè)蘋果平均分成2份，也是可以“平均分”的。

如果說“把3個(gè)蘋果平均分成2份，每一份是多少個(gè)”，因?yàn)榉值姆輸?shù)比較特殊，尚且“好”分，學(xué)生能自己想到“先分整個(gè)再分單個(gè)”的方法，也能理解“先全部分成半個(gè)后再分”的方法，那么對(duì)“把3個(gè)蘋果平均分成4份、5份……每一份是多少個(gè)”等情景，學(xué)生就不能輕松應(yīng)對(duì)了。當(dāng)然，學(xué)生也有可能受“先把每個(gè)蘋果一分為二然后再分”的啟發(fā)，想到“先把每個(gè)蘋果一分為四、一分為五……然后再分”。也就是說，如果執(zhí)教教師一開始就知道它們是可以“平均分”的，在教學(xué)中也會(huì)刻意避開后一類問題，因?yàn)檫@樣分要繞一個(gè)彎，實(shí)際上教材在選擇數(shù)據(jù)時(shí)也刻意回避這一類問題。

馬丁（J.Martin）總結(jié)出“整體‘1’”可以分為以下六種情況：以為例，（1）1個(gè)物體，例如1個(gè)蘋果，平均分為5份，取其中的1份。（2）5個(gè)物體，例如“5個(gè)蘋果”，其中的“1個(gè)蘋果”占“5個(gè)蘋果”的。（3）5個(gè)以上但是5的倍數(shù)，例如“10個(gè)蘋果”，平均分為5份，取其中的1份。（4）比1個(gè)多但比5個(gè)少，例如“2個(gè)蘋果”作為“整體”。（5）比5個(gè)多但不能被5整除，例如“7個(gè)蘋果”作為“整體”。（6）一個(gè)單獨(dú)物體的一部分的，例如1個(gè)蘋果的的。其中，第（1）（2）（3）種情況，在三年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之幾”和三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)一群物體的幾分之幾”中作為研究素材進(jìn)行教學(xué)，而第（4）（5）種情況所反映的這一類問題就是五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”的教材內(nèi)容（如下圖）。

上述課例，教師設(shè)計(jì)的問題——“你們猜猜這個(gè)箱子里會(huì)有多少個(gè)蘋果？”讓第（1）種至第（5）種情況都有出現(xiàn)的可能，在此意義上，這一問題也屬于開放性問題。從教師課后交流看，教師在設(shè)計(jì)這一開放性問題的時(shí)候，雖然預(yù)設(shè)到了學(xué)生可能會(huì)想到各種情況，但她對(duì)此也預(yù)設(shè)了應(yīng)對(duì)之策——“但我在反饋時(shí)可以只選一個(gè)箱子里有2、4、6、8……個(gè)蘋果這些例子”，教師這樣有選擇的處理，只能說是一種“假開放”，所以教師事后感到懊悔——“都是開放惹的禍”。其實(shí)，這樣的開放恰恰順應(yīng)了學(xué)生的原始思維，暴露了真實(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，只要教師尊重學(xué)生、相信學(xué)生，因開放而惹來的“禍”無(wú)疑又是一次豐富學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì)，所以教師完全不必為此而懊悔。另外，筆者在想：“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”的教材內(nèi)容能否早一點(diǎn)教學(xué)？以早一點(diǎn)給上述課例遭遇的尷尬一個(gè)說法。

（江蘇省常熟市張橋中心小學(xué) ? ?215552

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 ? 214191）