汪國(guó)銀

以小球?yàn)檩d體，設(shè)計(jì)摸球?qū)嶒?yàn)求概率是中考的常見題型，摸一個(gè)球的情況比較簡(jiǎn)單，因此中考相關(guān)命題更傾向于考查摸兩個(gè)球求概率的問題.

摸兩個(gè)球求概率的問題通常分為兩種情況：①無放回摸球；②有放回摸球.“無放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

（1） 無放回摸球是指每次摸出的一球放在袋外，下次再摸球時(shí)總數(shù)比前一次少一球；而有放回摸球是每次摸出一球再放回袋內(nèi)，下次再摸球時(shí)袋內(nèi)球的總數(shù)不變.

（2） 無放回摸球各次抽取不是相互獨(dú)立的；而有放回摸球各次抽取是相互獨(dú)立的.

（3） 對(duì)無放回摸球來講，事件A（無放回地逐個(gè)取k個(gè)球）與事件B（一次任取k個(gè)球）的概率相等，即P（A）=P（B）；而對(duì)于有放回摸球來講，事件（有放回地逐個(gè)取k個(gè)球）與事件B（一次任取k個(gè)球）的概率一般是不相等的，即P（A）≠P（B）.

如果能分清這兩種情況，就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.下面舉例說明這兩種情況.

【典型例題】2014年8月第二屆青奧會(huì)在中國(guó)南京舉行，青奧會(huì)服務(wù)中心要選拔一名志愿者，經(jīng)筆試、面試，結(jié)果小林和小亮并列第一，評(píng)委會(huì)決定通過摸球來確定人選.現(xiàn)在設(shè)計(jì)兩種抓球規(guī)則，甲規(guī)則：在不透明的布袋里裝有除顏色之外均相同的3個(gè)紅球和1個(gè)綠球，先摸出一個(gè)球，記住顏色后放回，然后再摸出一個(gè)球，若摸出的球都是紅色，則勝出；乙規(guī)則：在不透明的布袋里裝有除顏色之外均相同的3個(gè)紅球和1個(gè)綠球，一次性摸取兩個(gè)球，若都是紅球，則勝出.

你認(rèn)為選取哪個(gè)規(guī)則對(duì)雙方是公平的？請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法分析.

【分析】甲、乙兩規(guī)則中設(shè)定的袋中都是3個(gè)紅球和1個(gè)綠球，且都是摸出2個(gè)紅球，表面上看無區(qū)別.然而甲規(guī)則摸出的球仍放回，而乙規(guī)則一次摸取兩個(gè)球相當(dāng)于分兩次各摸一個(gè)球，但前面摸出的球不放回，因此兩規(guī)則是有本質(zhì)區(qū)別的.

解：為體現(xiàn)事件的等可能性，不妨將3個(gè)紅球分別設(shè)為紅1、紅2、紅3，列出表格：

甲規(guī)則：

乙規(guī)則：

對(duì)比兩個(gè)表中信息，顯然甲規(guī)則“有放回”，等可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)為16種；乙規(guī)則“無放回”，等可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)為12種.甲規(guī)則中兩次摸出的球都是紅球的概率= ，所以甲規(guī)則對(duì)雙方不公平；乙規(guī)則中一次性摸取兩個(gè)紅球的概率= = ，所以乙規(guī)則對(duì)雙方是公平的.

【考題再現(xiàn)】（2014·福建泉州）在一個(gè)不透明的箱子里，裝有紅、白、黑各一個(gè)球，它們除了顏色之外沒有其他區(qū)別.

（1） 隨機(jī)地從箱子里取出1個(gè)球，則取出紅球的概率是多少？

（2） 隨機(jī)地從箱子里取出1個(gè)球，放回?cái)噭蛟偃〉诙€(gè)球，請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果，并求兩次取出相同顏色球的概率.

【分析】（1） 由在一個(gè)不透明的箱子里，裝有紅、白、黑各一個(gè)球，它們除了顏色之外沒有其他區(qū)別，直接利用概率公式求解即可求得答案.

（2） 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次取出相同顏色球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1） ∵在一個(gè)不透明的箱子里，裝有紅、白、黑各一個(gè)球，它們除了顏色之外沒有其他區(qū)別，

∴隨機(jī)地從箱子里取出1個(gè)球，則取出紅球的概率是 ；

（2） 畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次取出相同顏色球的情況有3種，

∴P（兩次取出相同顏色球）= = .

【點(diǎn)評(píng)】從上述解析來看，摸球?qū)嶒?yàn)的問題中總會(huì)有一些關(guān)鍵詞語(yǔ)明確地表達(dá)出是“放回”還是“不放回”問題.因此，在解決有放回與無放回問題時(shí)我們只要仔細(xì)審題，認(rèn)真辨析即可.事實(shí)上，不僅僅是摸球游戲，摸牌、擲骰子等問題都有可能涉及類似問題，在解決相關(guān)問題時(shí)，我們還應(yīng)善于類比，融會(huì)貫通.

【綜合運(yùn)用】（2013·江蘇南通）在不透明的袋子中有四張標(biāo)著數(shù)字1，2，3，4的卡片，小明、小華兩人按照各自的規(guī)則玩抽卡片游戲.

小明畫出樹狀圖如圖所示：

小華列出表格如下：

回答下列問題：

（1） 根據(jù)小明畫出的樹形圖分析，他的游戲規(guī)則是，隨機(jī)抽出一張卡片后________（填“放回”或“不放回”），再隨機(jī)抽出一張卡片；

（2） 根據(jù)小華的游戲規(guī)則，表格中①表示的有序數(shù)對(duì)為________；

（3） 規(guī)定兩次抽到的數(shù)字之和為奇數(shù)的獲勝，你認(rèn)為誰(shuí)獲勝的可能性大？為什么？

【分析】（1） 根據(jù)小明畫出的樹狀圖知數(shù)字1在第一次中出現(xiàn)，但沒有在第二次中出現(xiàn)可以判斷；

（2） 根據(jù)橫坐標(biāo)表示第一次，縱坐標(biāo)表示第二次可以得到答案；

（3） 根據(jù)樹狀圖和統(tǒng)計(jì)表分別求得其獲勝的概率，比較后即可得到答案.

解：（1） 觀察樹狀圖知：第一次摸出的數(shù)字沒有在第二次中出現(xiàn)，所以小明的實(shí)驗(yàn)是一個(gè)不放回實(shí)驗(yàn)；

（2） 觀察表格發(fā)現(xiàn)其橫坐標(biāo)表示第一次，縱坐標(biāo)表示第二次，即（3，2）；

（3） P（小明）= >P（小華）= ，故小明獲勝可能性大.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）