陳宏志

問(wèn)題背景：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)復(fù)習(xí)題19最后一題，即第122頁(yè)第15題.

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線(xiàn)，求證：AE=EF.

圖1 圖2

分析：顯然AE與EF相等的數(shù)量關(guān)系，急需二者分別所在的形狀——三角形之間的形狀關(guān)系決定，圖中AE與EF直觀(guān)的三角形不能全等，因此需構(gòu)造全等的三角形來(lái)證明，由條件∠AEF=90°易得∠BAE=∠FEC.由此構(gòu)造EF所在的直角三角形與Rt△BAE全等的三角形，即過(guò)點(diǎn)F作FG上BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)與G，由條件可知構(gòu)造十分正常，如能證明Rt△PEG≌Rt△EAB，問(wèn)題就能解決.圖中兩個(gè)直角三角形對(duì)應(yīng)角相等，但在邊的元素上要對(duì)應(yīng)相等實(shí)屬困難，看來(lái)構(gòu)造與Rt△BAE全等困難.當(dāng)這種構(gòu)造思路出現(xiàn)障礙時(shí)，不得不另辟蹊徑，與△ECF全等的三角形呢？要知道∠ECF=135°，為特殊角且有∠CEF=∠BAE，利用要證的AE=CH，且∠AHE=∠ECF=135°，連接EH則易證△AHE≌△ECF，此法為課本上提示之法，顯然有如圖2所示構(gòu)造出的輔助線(xiàn).

變式：如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（出B、C外）的任意一個(gè)點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？

類(lèi)比在A(yíng)B上截取AH=EC，連接EH證△AHE≌△ECF即可.

義務(wù)教育階段的正方形的素材中，像這樣經(jīng)典題如果就滿(mǎn)足于這樣簡(jiǎn)單的研究，不是新課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的.由于正方形這個(gè)這個(gè)特殊的平行四邊形有著美妙的性質(zhì)，因此猜想，證明是否還有獨(dú)到的方法呢？假如還有其他方法，如何突破？還是從最特殊的中點(diǎn)找感覺(jué).

正方形的對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)豐富，如圖3嘗試連接對(duì)角線(xiàn)，先連AC，將AE構(gòu)置于△AEC中，顯然△AEC與△ECF不全等，能否構(gòu)造出于△ECF全等的三角形？再?lài)L試連接BD交AC于O，連接EO，正方形的性質(zhì)展現(xiàn)著其威力，與△ECF全等的三角形不知不覺(jué)中構(gòu)造出來(lái)，根據(jù)尋找對(duì)應(yīng)元素相等的原則，于是延長(zhǎng)PC過(guò)點(diǎn)E作FB⊥BC交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)G，即構(gòu)造△EGF≌△ECA，如圖4輔助線(xiàn)構(gòu)造.從圖中由大截小，大補(bǔ)小的感覺(jué)能否推廣到一般呢？

圖3 圖4

連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)E作垂線(xiàn)，如此類(lèi)比推廣此題才有點(diǎn)新味.

還有別的途徑嗎？思維既興奮又抑制，不知路在何方，此時(shí)更需回到母題，如能換視野看看，那才是真功夫.最初簡(jiǎn)單的構(gòu)造沒(méi)有成功，能否給我們別的方向，如把AE連接起來(lái)，此圖形結(jié)構(gòu)多像趙爽弦圖的一部分，用“勾股定理”能證明嗎？

圖5 圖6

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于H，交DC于L，設(shè)AB=2a，F(xiàn)L=FG=x，由∠AEF=90°，得AF■=AE■+EF■，即（2a+x）■+a■=（2a）■+a■+（a+x）■+x■ X=a，即FG=EC=BE，Rt△ABE≌Rt△EGF，即得剛才猜想的驗(yàn)證.這個(gè)證明方法能否推廣？設(shè)AB=a，EC=x，CG=y，同理AF■=AE■+EF■，（a+y）■+（a-y）■=a■+（a-y）■+（x+y）■+y■得x（x+y-a）=0，因?yàn)閤不等于0，則a=x+y，即AB=EG，故得證.

題目慢慢品，味道就出來(lái)了，完美的正方形給大家以挑戰(zhàn)，當(dāng)用智慧的雙眼欣賞那美妙的風(fēng)景，那種身心的愉悅爽朗無(wú)以言表.對(duì)于以正方為背景的證明，只要你牢牢抓住正方形的性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想，大膽地嘗試構(gòu)造，探究更多的方法，相信定能收獲智慧成果.新課程標(biāo)準(zhǔn)下，正是要求我們做好素材的整合，扮演好引導(dǎo)者的角色，因此，大膽預(yù)言，隨著知識(shí)的加深，學(xué)生對(duì)此題的證明必會(huì)有更妙的方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)及八（下）教師用書(shū).

[2]G.波利亞.數(shù)學(xué)猜想.

[3]江蘇省教育廳主辦.初中數(shù)學(xué)教與學(xué).